The effect of disordered perturbations on the entropy of an unstable system

全文:

ВВЕДЕНИЕ

Регулярные уравнения многомоментной гидродинамики использованы в работе [1] для интерпретации вихревого испускания в задаче обтекания сферы. Найденные неустойчивые решения этих уравнений позволили воспроизвести дорожки вихревых колец в следе за сферой. Критерий эволюции неустойчивой системы, сформулированный в терминах парной энтропии в [1], позволил обосновать переходы между неустойчивыми решениями. В работе [2] регулярные уравнения многомоментной гидродинамики дополнены стохастическими составляющими, ответственными за неупорядоченные возмущения скорости течения. Путем численного интегрирования стохастических уравнений зарегистрировало возникновение накоплений неупорядоченных возмущений скорости, которые вызвали искажение регулярной картины течения в следе за сферой. В работе [3] проведен расчет неупорядоченных возмущений плотности и давления. Учет вклада неупорядоченных возмущений плотности, скорости и давления в парную энтропию системы позволяет оценить влияние возмущений на параметры вихревой дорожки в следе за сферой.

В разд. 1 статьи выводится уравнение, позволяющее учесть вклад неупорядоченных возмущений в парную энтропию системы. В разд. 2 проводится оценка влияния неупорядоченных возмущений на вихревое испускание в следе за сферой. Параметры вихревой дорожки рассчитываются с учетом вклада неупорядоченных возмущений. В разд. 3 проводится обсуждение результатов и сравнение их с имеющимися данными и c экспериментом.

1. УЧЕТ ВКЛАДА НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПАРНУЮ ЭНТРОПИИ

Понятия локальной парной энтропии S_p⁽⁰⁾(t,x) и парной энтропии системы S_p⁽⁰⁾(t) вводятся в работах [4] и [5, гл. 6]. Локальная парная энтропия S_p⁽⁰⁾(t,x) определяется в терминах главных гидродинамических величин. В задаче обтекания сферы явные аналитические выражения для пространственных распределений главных гидродинамических величин содержат двадцать безразмерных коэффициентов ^C_i⁽⁰⁾(t) = ^^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0)(t), i = 1, ...20, [6]. Верхний индекс функций S_p⁽⁰⁾(t,x) и S_p⁽⁰⁾(t) соответствует решению ^C_i⁽⁰⁾(t), i = 1, ...20, используемому для расчета.

В соответствии с представлениями из работы [7] при описании отдельной системы каждая гидродинамическая величина дополняется стохастической составляющей, ответственной за неупорядоченные возмущения. Коэффициенты ^C_i⁽⁰⁾(t), i = 1, ..., 7, 19, содержатся в выражениях для скалярных гидродинамических величин – плотности среды n и давления p^G. Вклад неупорядоченных возмущений в n и p^G учитывается за счет членов, пропорциональных коэффициентам d ^C_i^d(0)(t), i = 1, ..., 7, 19. Коэффициент ^C₂₀⁽⁰⁾(t) содержатся в выражениях для давления p^v. Выражение для скалярной величины p^v дополняется членами, пропорциональными коэффициентам d ^C_i^d(0)(t, x), i = 23, ..., 26.

Коэффициенты ^C_i⁽⁰⁾(t), i = 10, ..., 17, 20, содержатся в выражениях для векторных гидродинамических величин – скорости течения U и теплового потока q^v. Вклад неупорядоченных возмущений в U и q^v учитывается за счет членов, пропорциональных коэффициентам d ^C_{i, j}^d(0)(t, x), i = 10, ..., 17, 20, j = r, q (r, q, j – сферические координаты вектора x). Коэффициенты ^C_i⁽⁰⁾(t), i = 5, ..., 9, 18, 19, содержатся в выражениях для тензора напряжений p_kl^G , k, l = r, q. Вклад неупорядоченных возмущений в p_kl^G содержат члены, пропорциональные коэффициентам d ^C_i,^d_k⁽_l⁰⁾(t, x), i = 5, ..., 9, 18, 19. Коэффициент ^C₂₀⁽⁰⁾(t) входит в выражения для тензора напряжений p_kl^v . Вклад неупорядоченных возмущений в p_kl^v учитывается за счет членов, пропорциональных коэффициентам d ^C_i,^d_k⁽_l⁰⁾(t, x), i = 27, ..., 33 [7].

Подстановка выражений для гидродинамических величин, дополненных стохастическими членами, в уравнение для локальной парной энтропии S_p⁽⁰⁾(t, x) [8] позволяет отделить регулярные составляющие энтропии от стохастических составляющих. Подставим в уравнение для S_p⁽⁰⁾(t, x) только те из неупорядоченных возмущений, которые подвержены накоплению в зоне закручивания в следе за сферой [3]. К таким неупорядоченным возмущениям относятся следущие: d ^C_{i, j}^d(0)(t, x), i = 1, ..., 4, 6, 7, 19; d ^C₂₀^d_{, j}⁽⁰⁾(t, x), j = r,q, разыгрываемые отдельно для каждой из составляющих скорости; d ^C₂₀^d(0)(t, x), разыгрываемое отдельно для давления p^v [7]. Проинтегрируем полученную функцию по x в пределах объема системы V. В результате выражение для парной энтропии системы представляется в виде бесконечного ряда по параметру Ma² (число Маха):

$S_p^{\left(0\right)}\left(t\right)=\sum _{l=0}^{\infty }{S}_p^{\left(\mathrm{0,}l\right)}\left(t\right)=S_0\sum _{l=0}^{\infty }{\left({\text{Ma}}^2\right)}^l{S}_p^{\left(\mathrm{0,}l\right)}\left(t\right).$ (1.1)

В (1.1), Ma² = mU₀²/kT₀, S₀ = kn₀v₀, v₀ = (4/3)pa³, n₀ и T₀ – плотность и температура невозмущенной среды, U₀ – скорость набегающего потока, m – масса частицы, k – постоянная Больцмана. Твердая сфера радиусом a, совершающая равномерное и прямолинейное движение в невозмущенной среде, является открытой системой с независящими от времени граничными условиями. Первые два члена разложения (1.1) могут быть опущены, так как эти члены являются постоянными величинами [4]. В пределе Ma² << 1 третий член доминирует в (1.1):

$\begin{array}{c}{S}_p^{d\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)=k{n}_0{v}_0{\text{Ma}}^4{\widehat{S}}_p^{d\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)=\\ =k{n}_0{v}_0{\text{Ma}}^4\left[{\widehat{S}}_p^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)+\delta {\widehat{S}}_p^{d\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)\right],\end{array}$ (1.2)

здесь

$S_p^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)={\widehat{\overline{S}}}_p^{\left(\mathrm{0,2}\right)}+\delta {\widehat{S}}_p^{r\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right).$ (1.3)

В (1.2) и (1.3)

$S_p^{\left(\mathrm{0,2}\right)}={\widehat{\overline{S}}}_p^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\text{}\left({\widehat{\overline{C}}}_1^{\left(0\right)}\mathrm{,...,}{\widehat{\overline{C}}}_{20}^{\left(0\right)}\right),$

$\begin{array}{c}\delta S_p^{r\left(\mathrm{0,2}\right)}\text{}\left(t\right)={\widehat{S}}_p^{r\left(\mathrm{0,2}\right)}\left[{\widehat{\overline{C}}}_1^{\left(0\right)}+\right.\\ +\left.\delta {\widehat{C}}_1^{r\left(0\right)}\text{}\left(t\right)\mathrm{,...,}{\widehat{\overline{C}}}_{20}^{\left(0\right)}+\delta {\widehat{C}}_{20}^{r\left(0\right)}\left(t\right)\right],\end{array}$ (1.4)

$\begin{array}{c}\delta S_p^{d\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)=\underset{V}{\int }{\widehat{F}}_p^{d\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(,{\widehat{\overline{C}}}_i^{\left(0\right)},\delta {\widehat{C}}_i^{r\left(0\right)}\left(t\right),\right.\\ \left.\delta {\widehat{C}}_k^{d\left(0\right)}\left(t,\right),\delta {\widehat{C}}_{\mathrm{20,}j}^{d\left(0\right)}\left(t,\right)\right)d.\end{array}$

В уравнении (1.4) безразмерная парная энтропия S_p^(0,2) является нелинейной функцией стационарных коэффициентов ^C^—_i⁽⁰⁾, i = 1, ..., 20, безразмерная парная энтропия dS_p^{r (0,2)}(t) – нелинейной функцией коэффициентов ^C^—_i⁽⁰⁾ и регулярных флуктуаций d^C_i^r(0), i = 1, ..., 20. Каждая составляющая функции ^F_p^d(0,2) содержит линейно или нелинейно коэффициенты d^C_k^d(0)(t, x), k = 1, ..., 4, 6, 7, 19, 20, d^C₂^d_0,⁽⁰_j(t, x), j = r, q [3].

Изменение парной энтропии S_p⁽⁰⁾(t) во времени происходит либо за счет ее оттока через ограничивающую систему поверхность – D_EX S_p⁽⁰⁾(t), либо за счет производства ее самой системой D_IN S_p⁽⁰⁾(t). Общее выражение для производства локальной парной энтропии за счет столкновений D_IN S_p⁽⁰⁾(t, x) представлено в работах [4] и [5, гл.7]. В соответствии с изложенным в работе [4] в каждой точке пространства x в каждый момент времени t функция D_IN S_p⁽⁰⁾(t, x) является величиной неотрицательной, т.е. столкновения частиц генерируют энтропию в каждый момент времени в каждой точке пространства. Эволюция парной энтропии S_p⁽⁰⁾(t) протекает при отсчете времени в прогрессирующем направлении на временномй оси, устремленной из прошлого в будущее.

Понятия обратной локальной парной энтропии S_p^*(0)(t ^*, x) и обратной парной энтропии системы S_p^*(0)(t ^*) вводится в работах [4] и [5, гл.7], где локальная парная энтропия S_p^*(0)(t ^*, x) выражается в терминах главных гидродинамических величин. Локальная парная энтропия S_p^*(0)(t ^*, x) рассчитывается по решению ^C_i^*(0)(t^*) = ^^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0)(t^*), i = 1, ...20, обратных уравнений многомоментной гидродинамики [6]. Аналитическое выражение для производства локальной парной энтропии за счет столкновений D_IN S_p^*(0)(t^*, x) представлено в работах [4] и [5, гл. 7]. В соответствии с изложенным в [4] в каждой точке пространства x, в каждый момент времени t^* функция D_IN S_p^*(0)(t^*, x) является величиной неположительной, т.е. при столкновении частиц энтропия поглощается в каждый момент времени в каждой точке пространства. Эволюция обратной парной энтропии S_p^*(0)(t^*) протекает при отсчете времени в прогрессирующем направлении на временномй оси, устремленной из будущего в прошлое.

Парная энтропия, как и энтропия Больцмана, имеет смысл объема, занимаемого системой в Г-пространстве [4]. В соответствии с Н-теоремой Больцмана эволюция системы сопровождается ростом ее объема в Г-пространстве, т.е. ростом энтропии системы. Качественно иное поведение энтропии проявляется при потере системой устойчивости. Энтропия потерявшей устойчивость системы уменьшается в процессе ее эволюции, причем система выбирает такое направление эволюции, которое сопровождается наиболее быстрым уменьшением ее энтропии [1, 8].

2. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ НА ВИХРЕВОЕ ИСПУСКАНИЕ

На рис. 1 представлена зависимость от времени безразмерных парных энтропий S_p⁽⁰₍₀₎^,2)(t), S_p^*(0₍₀₎^,2)(t ^*), рассчитанных при числе Рейнольдса Re = 400 по решениям ^C_i⁽⁰⁾(t) = ^^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0)(t), ^C_i^*(0)(t^*) = ^^—C_i⁽⁰⁾ + + d ^C_i^*r(0)(t^*), i = 1, ..., 20. Характерным масштабом времени на рис. 1 является время t_h = Re a/(2U₀): t = t_h^t, t ^* = t_h^t ^*. Число Рейнольдса рассчитывается по диаметру сферы: Re = 2mn₀U₀a/h₀, где h₀ = h(T₀) – динамическая вязкость [1]. При расчете регулярной составляющей парной энтропии S_p⁽⁰₍₀₎^,2)(t), S_p^*(0₍₀₎^,2)(t ^*) интегрирование выполняется в пределах полусферического концентрического слоя H₀ $(1\le \widehat{r}\le {\widehat{r}}_2,\pi /2\le \theta \le \mathrm{0,}2\pi \le \phi \le 0)$ за вычетом пространственного полусегмента, ограниченного пространственной полухордой ^r₃ + 1, которая обладает формой кольца (рис. 2). Нижний индекс в скобках соответствует области пространства, где проводится пространственное интегрирование.

Рис. 1. Поведение во времени парной энтропии, рассчитанной в пределах полусферического концентрического слоя H0 за вычетом пространственного полусегмента; ^r2 = 2.12, ^r3 = 1.0, Re = 400, ^t* = 6.99.

Перемещение изображающей точки по кривой от t = 0 до t = t_*, описываемое решением ^C_i⁽⁰⁾(t) соответствует возбуждению зоны закручивания (рис. 1). Начиная с момента времени t = 0 и вплоть до момента t = t_*, энтропия S_p⁽⁰₍₀₎^,2)(t) перманентно падает. Такое поведение энтропии соответствует удалению состояния потерявшей устойчивость системы от состояния статистического равновесия. К моменту времени t = t_* степень возбуждения зоны закручивания достигает максимума, что соответствует минимальному значению функции S_p⁽⁰₍₀₎^,2)(t). В момент t = t_* решение ^C_i⁽⁰⁾(t), i = 1, ..., 20, уравнений многомоментной гидродинамики обрывается.

Начиная с момента времени t = t_*, эволюция системы описывается решением ^C_i^*(0)(t ^*). Парная энтропия S_p⁽⁰₍₀₎^,2)(t) существует в диапазоне 0 < t < t_*, а – S_p^*(0₍₀₎^,2)(t ^*) существует в диапазоне t_* < t < 2t_*. Перемещение изображающей точки по кривой S_p^*(0₍₀₎^,2)(t ^*) от t = t_* до t = 2t_* (рис. 1) соответствует возвращению максимально возбужденной зоны закручивания в исходное положение, т.е. в положение, соответствующее моменту времени t = 0. В соответствии с соотношениями связи между коэффициентами ^C_i^*(0)(t ^*) и ^C_i⁽⁰⁾(t) для любого момента времени t₀(0 ≤ t₀ ≤ t_*) выполняется соотношение ${\left.S_{p\left(0\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t^{\text{*}}\right)\right|}_{t^{\text{*}}=2t_{\text{*}}-t_0}\text{}={\widehat{S}}_{p\left(0\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}{\left.\left(t\right)\right|}_{t=t_0}$ [1]. В дальнейшем решение ^C_i⁽⁰⁾(t), ^C_i^*(0)(t ^*), i = 1, ..., 20, обозначается как Sol₀. Это решение описывает периодические пульсации зоны закручивания в следе за сферой.

Представим функцию S_p⁽⁰₍₀₎^,2)(t) в виде суммы функций:

$S_{p\left(0\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)={\widehat{S}}_{p\left(1\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)+{\widehat{S}}_{p\left(2\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right).$ (2.1)

Энтропия S_p⁽⁰₍₁₎^,2)(t) рассчитывается в пределах полусферического концентрического слоя H₁: $1\le \widehat{r}\le {\widehat{r}}_1,\pi /2\le \theta \le \mathrm{0,}2\pi \le \phi \le \mathrm{0,}$ Энтропия S_p⁽⁰₍₂₎^,2)(t) рассчитывается в пределах полусферического концентрического слоя H₂: ${\widehat{r}}_1<\widehat{r}\le {\widehat{r}}_2,\pi /2\le \theta \le \mathrm{0,}2\pi \le \phi \le \mathrm{0,}$ за вычетом пространственного полусегмента (рис. 2). При расчете S_p⁽⁰₍₁₎^,2)(t) и S_p⁽⁰₍₂₎^,2)(t) параметры ^r₁ и ^r₂ являются величинами постоянными.

Рис. 2. Полусферический концентрический слой H0: 1 ≤ ^r ≤ ^r2, p/2 ≤ q ≤ 0, 2p ≤ j ≤ 0; полусферический концентрический слой H1: 1 ≤ ^r ≤ ^r1, p/2 ≤ q ≤ 0, 2p ≤ j ≤ 0; полусферический концентрический слой H2: ^r1 ≤ ^r ≤ ^r2, p/2 ≤ q ≤ 0, 2p ≤ j ≤ 0; cos a = 0.886.

Пусть изображающая точка перемещается вверх по кривой (рис. 1). К моменту времени t = t₁ зона закручивания достигает степени возбуждения, характеризуемой функцией S_p⁽⁰₍₀₎^,2)(t = t₁). Моменту времени t = t₁ соответствует точка пересечения кривых 1 и 2 на рис. 2. В момент t = t₁ справедливы соотношения

${\left.S_{p\left(0\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)\right|}_{t=t_1}={\left.{\widehat{}}_{\text{p}\left(1\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)\right|}_{t=t_1}+{\left.{}_{\text{p}\left(2\right)}^{\left(\mathrm{1,2}\right)}\left(t\right)\right|}_{t=t_1}$ (2.2a)

${\left.\frac{\partial S_{p\left(0\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)}{\partial \text{t}}\right|}_{t=t_1}={\left.\frac{\partial {\widehat{}}_{\text{p}\left(1\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)}{\partial t}\right|}_{t=t_1}+{\left.\frac{{\partial }_{\text{p}\left(2\right)}^{\left(\mathrm{1,2}\right)}\left(t\right)}{\partial t}\right|}_{t=t_1}$ (2.2б)

Левая часть (2.2а) задает функцию S_p⁽⁰₍₀₎^,2)(t), рассчитанную в пределах слоя H₀. Функция S_p⁽⁰₍₁₎^,2)(t) в правой части (2.2а) рассчитана в пределах слоя H₁. Функция S_p⁽¹₍₂₎^,2)(t) в правой части (2.2а) рассчитана по решению Sol₁ для Re = 400. Это решение описывает движение одиночного вихревого кольца в следе за сферой. Коэффициент C₂₁ в решении Sol₁ задает положение вихревой структуры на оси Z. Геометрические размеры области пространства, в которой существует решение Sol₁, представлены на рис. 2. При расчете S_p⁽¹₍₂₎^,2)(t) время отсчета начала движения одиночной вихревой структуры выбирается так, чтобы к моменту t = t₁ перемещающаяся в пространстве вихревая структура достигала положения C₂₁ = ^r₁, рис. 2. То есть, в момент времени t = t₁ положение одиночной вихревой структуры на оси Z определяется величиной ^r₁, задающей внешнюю границу слоя H₁. Функция ^S^~_p⁽⁰₍₁₎^,2)(t) правой части (2.2a) имеет вид

${\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(1\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t=t_1\right)={\widehat{S}}_{p\left(1\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t=t_1+\Delta t_1\right).\Delta t_1>0.$ (2.3)

Левая часть (2.2) соответствует состоянию системы S ^-, при котором объем H₀ полностью занимает зона закручивания, задаваемая решением Sol₀. К моменту времени t = t₁ зона закручивания достигает степени возбуждения, которая характеризуется функцией ^S_p⁽⁰₍₀₎^,2)(t₁) – кривая 1 на рис. 3. В соответствии с (2.1), в состоянии S ^- ядро зоны закручивания обладает степенью возбуждения, характеризуемой функцией ^S_p⁽⁰₍₁₎^,2)(t₁), периферия зоны закручивания обладает степенью возбуждения, характеризуемой функцией ^S_p⁽⁰₍₂₎^,2)(t₁). Правая часть (2.2) соответствует качественно иному состоянию системы S ⁺. А именно, в состоянии S ⁺ периферия зоны закручивания со степенью возбуждения ^S_p⁽⁰₍₂₎^,2)(t₁), соответствующей состоянию системы S ^-, замещается отдельной вихревой структурой, задаваемой решением Sol₁. Эта вихревая структура характеризуется энтропией ^S_p⁽¹₍₂₎^,2)(t₁). В состоянии S ⁺ ядро зоны закручивания со степенью возбуждения ^S_p⁽⁰₍₁₎^,2)(t₁), соответствующей состоянию системы S ^-, замещается в слое H₁ ядром зоны закручивания с иной степенью возбуждения. Ядро зоны закручивания в состоянии S ⁺ обладает степенью возбуждения, характеризуемой в (2.3) функцией ^S_p⁽⁰₍₁₎^,2)(t₁+Dt₁), Dt₁ > 0. Степень возбуждения ядра зоны закручивания в состоянии S ⁺ более высока по сравнению со степенью возбуждения зоны закручивания в состоянии S ^-. Таким образом, соотношения (2.2) описывают мгновенное перестроение течения, имеющее место в момент времени t = t₁.

Рис. 3. Поведение во времени производной парной энтропии, при Re = 400. Функция ∂^Sp(0(0,2))(t)/∂t, рассчитанная по решению Sol0 в пределах полусферического концентрического слоя H0 за вычетом пространственного полусегмента, представлена кривой 1; ^r2 = 2.12, ^r3 = 1.0. Сумма двух функций, ^Sp(0(1,2))(t) и ^Sp(1(2,2))(t), представлена кривой 2. Составляющая ^Sp(0(1,2))(t) рассчитана по решению Sol0 в пределах полусферического концентрического слоя H1, ^r1 = 1.571; составляющая ^Sp(1(2,2))(t) рассчитана по решению Sol1 в пределах области существования решения, расположенной на внешней границе полусферического концентрического слоя H1. Время перестроения ^t1 = 6.9857, t = (Re a/(2U0))^t.

Кривая 1 на рис. 3 задает поведение во времени производной энтропии $\partial {\widehat{S}}_{p\left(0\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)/\partial t,$ которая рассчитывается в пределах слоя H₀. Кривая 2 на рис. 3 задает поведение во времени суммы двух производных; $\partial {\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(1\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)/\partial t$ и $\partial {\widehat{S}}_{p\left(2\right)}^{\left(\mathrm{1,2}\right)}\left(t\right)/\partial t.$ Для каждого момента времени t, не слишком близкого к моменту возврата t = t_*, имеется такой промежуток времени Dt₁ > 0, t + Dt₁ < t_*, когда обеспечивается выполнение равенства (2.2а). Однако, как следует из рис. 3, только в момент времени перестроения t = t₁ при выполнении равенства (2.2а) одновременно выполняется равенство (2.2b). Параметр ^r₁ выбран таким образом, чтобы степень возбуждения ядра зоны закручивания, ^S_p⁽⁰₍₁₎^,2)(t = t₁ + Dt₁), достигала предельно высокого значения. А именно, для ^r₁ = 1.571 время t₁ + Dt₁ совпадает со временем возврата t = t_*, т.е. t₁ + Dt₁ = t_*. Дальнейшее уменьшение параметра ^r₁ исключает возможность перестроения течения, т.е. возможность появления вихревой структуры на периферии зоны закручивания. Количественное расхождение параметров для расчета кривых 1 и 2 на рис. 3 с параметрами для расчета кривых 3 и 4 на рис. 8 из [1] объясняется более точным расчетом энтропии вихревого кольца в настоящем исследовании, рис. 2.

Тогда, в соответствии с критерием эволюции [1, 8], система выбирает направление эволюции, которое предлагает ему течение, перестроенное в момент времени t = t₁. А именно, решение Sol₀ на периферии зоны закручивания замещается решением Sol₁, которое задает перемещающееся вниз по потоку вихревое кольцо. Из рис. 3 следует, что

${\left.\frac{{\partial }^2{\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(1\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)}{\partial t^2}\right|}_{t=t_1}\text{}+{\left.\frac{{{\partial }^2}_{\text{p}\left(2\right)}^{\left(\mathrm{1,2}\right)}\left(t\right)}{\partial t^2}\right|}_{t=t_1}\text{}<{\left.\frac{{{\partial }^2}_{\text{p}\left(0\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)}{\partial {\text{t}}^2}\right|}_{t=t_1}\text{}.$ (2.4)

Т.е., комбинация решений Sol₀ и Sol₁ обеспечивает в процессе эволюции более резкое падение энтропии в сравнении с решением Sol₀, что является причиной замещения.

Эволюция перестроенного течения протекает следующим образом. Начиная с момента времени t = t₁, одиночная вихревая структура начинает перемещаться вниз по потоку в соответствии с решением Sol₁. Внешняя граница ^r₁ слоя H₁, привязывается к положению в пространстве одиночной вихревой структуры ^r₁(t) = ^C₂₁(t) [1], т.е., эта граница перемещается вместе с вихревой структурой. К моменту t₁ + T, вихревая структура в соответствии с решением Sol₁ достигает положения ^C₂₁(t₁ + T). Внешняя граница ^r₁(t) слоя H₁ в момент t₁ + T задает границу ^r₂ внешнего слоя: ^r₁(t₁ + T) = ^r₂ = 2.12.

Поведение во времени парной энтропии рассчитывается в пределах слоя H₁ с перемещающейся в пространстве внешней границей ^r₁(t). В момент t₁ парная энтропия ^S_p⁽⁰₍₁₎^,2)(t = t₁) обладает предельно низким значением, т.е. $S_{p\left(1\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}(t=t_1)={\widehat{}}_{\text{p}\left(1\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_1).$ Начиная с момента времени t = t₁ движение системы описывается обратными уравнениями многомоментной гидродинамики. Пусть начала отсчета времени на двух временных осях совпадают. Кривой 1 на рис. 4 представлена эволюция парной энтропии ${\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(1\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t^{\text{*}}\right)$: ${\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(1\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_1)={\widehat{S}}_{p\left(1\right)}^{*\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_{*})$. Кривой 2 представлена эволюцию парной энтропии ${\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(0\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t^{\text{*}}\right)$: ${\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(0\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_1)={\widehat{S}}_{p\left(0\right)}^{*\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{*}=t_{*})$. Кривой 3 представлена эволюция парной энтропии ${\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(1-2\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t^{\text{*}}\right)$ с перемещающейся внешней границей ${\widehat{r}}_1\left(t\right)$: ${\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(1-2\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_1)={\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(1\right)}^{*\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_1)$. Отрезок времени $T=t_{\text{*}}-t_1$ выбран так, чтобы при достижении момента времени t^* = t₁ + T величина парной энтропии ${\widehat{S}}_{p\left(0\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t^{\text{*}}\right)$ достигла величины, которой парная энтропия ${\widehat{S}}_{p\left(0\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}\left(t\right)$ обладает в момент t = t₁:

$\begin{array}{l}{\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(0\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_1+T)={\widehat{\tilde{S}}}_{\text{p}\left(0\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_{\text{*}})=\\ ={\widehat{S}}_{p\left(0\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=2t_{\text{*}}-t_1)={\widehat{S}}_{\text{p}\left(0\right)}^{\left(\mathrm{0,2}\right)}(t=t_1).\end{array}$ (2.5)

Рис. 4. Поведение во времени обратной парной энтропии, рассчитанной по решению Sol0, Re = 400. Функция ^S~ p*(0(1,)2)(t*), рассчитанная в пределах полусферического концентрического слоя H1, представлена кривой 1; ^r1 = 1.571. Функция ^S~ p*(0(0,)2)(t*), рассчитанная в пределах полусферического концентрического слоя H0 за вычетом пространственного полусегмента, представлена кривой 2; ^r2 = 2.12, ^r3 = 1.0. Функция ^S~ p*(0(1–,2)2)(t*), рассчитанная в пределах полусферического концентрического слоя с перемещающейся внешней границей ^r1(t), представлена кривой 3. Время перестроения ^t1 = 6.9857, время отделения ^t1 = T = 6.99, t * = = (Re a/(2U0))^t *.

К моменту времени t₁ + T одиночная вихревая структура пересекла внешнюю границу периферии зоны закручивания ^r₂, т.е. ${\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(1-2\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_1+T)={\widehat{\tilde{S}}}_{p\left(0\right)}^{\text{*}\left(\mathrm{0,2}\right)}(t^{\text{*}}=t_1+T).$ Будем считать момент времени t₁ + T моментом отделения одиночной вихревой структуры от зоны закручивания. Таким образом, к моменту времени t₁ + T система достигла условий, идентичных условиям, которыми эта система обладала в момент времени t = t₁. А именно, одиночная вихревая структура вышла за пределы полусферического концентрического слоя H₀ за вычетом пространственного полусегмента. Слой H₀ целиком заняла зона закручивания, описываемая решением Sol₀.

Далее, как и ранее, периферия зоны закручивания, размещающаяся в слое H₂, замещается одиночной вихревой структурой, даваемой решением Sol₂. В тот же время, в слое H₁ ядро зоны закручивания со степенью возбуждения, соответствующей состоянию S ^-, замещается ядром зоны закручивания со степенью возбуждения, соответствующей состоянию S ⁺. В момент времени t = t₁ + T при выполнении равенства (2.2а) одновременно выполняется равенство (2.2б). Тогда, в соответствии с критерием эволюции [1, 8], созданное после замещения направление оказывается более предпочтительным для системы. Как и в момент времени t = t₁, в момент t = t₁ + T одиночная вихревая структура в соответствии с решением Sol₂ начинает перемещаться от внешней границы ядра зона закручивания ^r₁ к внешней границе периферии зоны закручивания ^r₂. Периодическое отделение одиночной вихревой структуры происходит с периодом T = t_* – t₁.

Положения в пространстве периодически отделяющихся вихревых колец представлено на рис. 2 и 4 в работе [2]. На рис.2 вихревое испускание рассчитано по решению Sol₂, на рис. 4 – по решению Sol₁. При расчете материальных линий этих рисунков использованы разные способы моделирования вихревого кольца. Обсуждение точности расчета проведено в работе [1].

Для оценки влияния неупорядоченных возмущений на параметры вихревого испускания необходимо использовать в расчетах парную энтропию ^S_p^d(0,2)(t) вместо энтропии ^S_p^(0,2)(t) из (1.2). Составляющая d^S_p^d(0,2)(t) (1.4) ответственна за отличие невозмущенной парной энтропии ^S_p^(0,2)(t) от возмущенной энтропии ^S_p^d(0,2)(t). При расчете функции ^S_p^d(0,2)(t) во внимание принимаются только такие неупорядоченные возмущения, которые подвержены накоплению в зоне закручивания. Это неупорядоченные возмущения плотности набегающего потока Dn₀^(d), которые интерпретируются в терминах неупорядоченных возмущений каждого из коэффициентов d^C_j^d(0), j = 1, ..., 4. Это неупорядоченные возмущения скорости набегающего потока DU₀^(d), которые интерпретируются в терминах неупорядоченных возмущений коэффициента d^C₂^d_0.⁽⁰⁾_j (t, x), j = r, q, и это неупорядоченные возмущения давления набегающего потока Dp₀^(d), которые интерпретируются в терминах неупорядоченных возмущений каждого из коэффициентов d^C_i^d(0), i = 6, 7, 19.

При расчетах использовано высокое значение коэффициента турбулентности K^—_d^U = 0.4%, а также высокие значения коэффициентов пульсаций давления и плотности: K^—_d^p = 0.2%, K^—_dⁿ = 0.2% [3]. В соответствии с моделью вихревая структура появляется на внешней границе полусферического концентрического слоя ^r = ^r₁ мгновенно. Функция ^S_p⁽¹₍₂₎^,2)(t) в правой части (2.2а), описывающая движение одиночного вихревого кольца, рассчитывается в момент перестроения течения t = t₁. Мгновенность перестроения исключает необходимость учета неупорядоченных возмущений функции ^S_p⁽⁰₍₂₎^,2)(t), накопление которых требует определенного времени.

Расчеты показали, что расхождение между кривыми 1 и 2 на рис.3 и соответствующими кривыми, учитывающими неупорядоченные возмущения плотности, скорости и давления не превышает 1%. Неупорядоченные возмущения хаотически искажают материальные линии, по которым движутся жидкие частицы, что создает турбулентную картину течения как в зоне закручивания, так и в оторвавшемся от зоны закручивания вихревом кольце см. (рис. 7 и рис. 8 в работе [2]). Однако в рассматриваемом приближении неупорядоченные возмущения не оказывают заметного влияния на параметры вихревого испускания (размеры испускаемого вихревого кольца, расстояние между вихревыми кольцами). Этот вывод согласуется с результатами наблюдения вихревого испускания [9]. В соответствии с [9], хаотические искажения накладываются на регулярную вихревую дорожку, маскируя, но не разрушая ее. Нарастание хаотичности не сопровождается заметными изменениями параметров вихревой дорожки.

3. ОБСУЖДЕНИЕ

Немецкий физик и гидростроитель Г. Хаген был одним из первых, кто в 1839 г. обратил внимание на явление турбулентности. Дальнейшие исследования этого явления сопровождались возникновением предположений о причинах перехода от ламинарного движения среды к турбулентному. О. Рейнольдс в 1883 г. предположил, что причиной смены режимов течения является потеря его устойчивости, которая приводит к росту слабых возмущений, присутствующих в среде [10]. Дж. Тэйлор выдвинул в 1935 г. иное предположение. По Тэйлору причиной смены режимов течения является образование крупных вихрей, которые зарождаются около поверхностей, ограничивающих течение [10, 11].

Однако уравнения классической гидродинамики не смогли поддержать представления О. Рейнольдса и Дж. Тейлора о причине смены режимов. Численное интегрирование уравнений Навье – Стокса позволило провести теоретическое исследование возникновения и развития неустойчивости. При линейном анализе малые возмущения гидродинамических величин раскладывались в ряд Фурье по времени и пространственной переменной. Линейный анализ показал, что при достижении некоторого критического числа Рейнольдса устойчивое решение теряет свою устойчивость, амплитуда одного из членов разложения (волны) начинает нарастать [12]. Однако прямое численное интегрирование установило, что характерное время роста амплитуды волны Dt крайне ограничено. В задаче обтекания время роста не превосходит Dt ~ Re l/U₀ [13], где l – характерный масштаб течения. Нарастание возмущения завершается насыщением нового устойчивого решения, характеризуемого регулярным колебательным движением системы около нового устойчивого положения. Таким образом, численный анализ не подтвердил предположение Рейнольдса о возникновении турбулентности в результате роста амплитуды слабого возмущения (волны) после потери устойчивости течения.

В 1944 г. Л. Ландау предположил, что переход между ламинарным и турбулентным режимами является результатом последовательности бифуркаций Хопфа. Каждая бифуркация Хопфа обладает собственной частотой гармонических колебаний. Многопериодическое, по существу хаотическое, движение изображающей точки около нового устойчивого положения отождествляется с турбулентностью. Однако спектр мощности системы остается дискретным, приближаясь к непрерывному пределу в результате бесконечной цепочки последовательных бифуркаций Хопфа. Вероятная синхронизация частот гармонических колебаний (волн) затрудняет возможность достижения непрерывного предела [14]. Прямое численное интегрирование и линейный анализ подтвердили предположение Ландау в задаче обтекания сферы [12, 15].

Не следует исключать, что уравнения Навье–Стокса обладают конечным числом устойчивых решений. По мере удаления состояния системы от состояния статистического равновесия каждое из устойчивых решений будет последовательно терять устойчивость. После потери устойчивости последним устойчивым решением изображающая точка будет «обречена метаться» между неустойчивыми решениями. В результате многопериодическое движение изображающей точки приобретет дополнительные признаки хаотичности. Хаотическое блуждание между неустойчивыми решениями демонстрирует система уравнений Лоренца, интерпретирующая эксперимент Бенара [16]. Искусственное обрезание исходной системы уравнений Навье–Стокса тремя первыми членами Фурье-разложения ограничивает количество решений уравнений системы Лоренца. После потери устойчивости всеми решениями системы Лоренца изображающая точка «устремляется» на поиск новых решений. Однако новых решений она не находит, поэтому она «вынуждена метаться» между неустойчивыми решениями. Искусственное обрезание ограничивает область фазового пространства, доступного для изображающей точки, т.е. оно создает странный аттрактор [17].

Представление Дж. Тэйлора о причине смены режимов получило впоследствии свое дальнейшее развитие. Многолетнее наблюдение за турбулентными процессами позволило обнаружить изобилие крупных вихрей. Турбулентные картины течения зарегистрировали вихри, локализованные у ограничивающих течение поверхностей; вихревые дорожки, образующиеся в результате отделения от пристеночных вихрей; другие крупные вихри. Крупные вихри получили название когерентных структур [18]. Эволюция регулярных когерентных структур (их зарождение, перемещение и разрушение) отождествлялась с турбулентностью [19].

Задача обтекания покоящейся твердой сферы является хорошим объектом для исследования неустойчивости и турбулентности. Cравнение результатов моделирования с данными экспериментов в задаче обтекания сферы выявило ярко выраженные расхождения (см. обзор [20]). Эксперимент регистрирует базовое устойчивое осесимметричное состояние U₀^exp(x), устойчивое асимметричное состояние U₁^exp(x) и устойчивое состояние центрального типа U₂^exp(t, x). Каждое из этих трех устойчивых течений, потеряв устойчивость, начинает развиваться в собственном, качественно отличном от других направлении. Каждое из наблюдаемых в эксперименте направлений неминуемо достигает режима периодического вихревого испускания на пути продвижения к турбулентности. Каждое из шести наблюдаемых режимов вихревого испускания характеризуется своими собственными, присущими ему одному характерными особенностями вихревого испускания. Однако независимо от выбранного экспериментом направления, периодическое вихревое испускание является обязательным, ярко выраженным режимом развития турбулентного процесса, который обладает значительной протяженностью на шкале чисел Re. В частности, основное состояние U₀^exp(x) после потери устойчивости при Re = Re₀^* последовательно проходит через неустойчивый пульсационный режим V₀^exp(t, x) и два неустойчивых режима периодического вихревого испускания, W₀^exp(t, x) и Q₀^exp(t, x). Эксперимент трактует явление периодического вихревого испускания как неустойчивость Кельвина–Гельмгольца [21].

Прямым численным интегрированием уравнений Навье–Стокса находятся два стационарных устойчивых решения U₀^cal(x) и U₁^cal(x), а также нестационарный устойчивый предельный цикл U₂^cal(t, x). Эти решения удовлетворительно воспроизводят устойчивые течения U₀^cal(x), U₁^cal(x), U₂^cal(t, x). Помимо регулярных решений U₀^cal(x), U₁^cal(x), U₂^cal(t, x), уравнения Навье–Стокса обладают только многопериодическим, т.е. по-существу хаотическим решением U₃^cal(t, x). В соответствии с расчетом развитие неустойчивости протекает в строгом соответствии с классическим сценарием Ландау–Хопфа [14]. Переход от U₀^cal(x) к U₁^cal(x) является регулярной бифуркацией, переход от U₁^cal(x) к U₂^cal(t, x) – бифуркацией Хопфа. Замещение предельного цикла U₂^cal(t, x) хаотическим решением U₃^cal(t, x) достигается в результате 22 бифуркаций Хопфа [12, 15]. Таким образом, в соответствии со сценарием Ландау–Хопфа система, потеряв устойчивость, неминуемо достигает нового устойчивого положения, около которого совершает либо периодическое, либо хаотическое движение [14].

Все три регулярные решения уравнений Навье–Стокса успешно воспроизводят зону закручивания в ближнем следе за сферой. Тыльная сторона зоны закручивания устойчиво «привязана» к поверхности сферы. Регулярный предельный цикл U₂^cal(t, x), потеряв устойчивость, скатывается в детерминистический хаос, задаваемый решением U₃^cal(t, x). Однако существует как минимум три непреодолимых расхождения, которые не позволяют детерминистическому решению U₃^cal(t, x) удовлетворительно воспроизвести наблюдаемую турбулентность сдвигового течения за сферой [17]. Отметим одно из расхождений. Не существует экспериментов, в которых переход к турбулентному режиму протекает без прохождения через режим вихревого испускания. Однако ни одно из решений уравнений Навье–Стокса не пригодно для интерпретации режимов вихревого испускания. Таким образом, численный анализ не подтвердил предположение Дж. Тэйлора. Действительно, решения уравнений Навье–Стокса успешно воспроизводят пристеночный вихрь (зону закручивания). Однако успешное воспроизведение когерентной структуры в ближнем следе за сферой не обеспечивает воспроизведения смены режимов.

Уравнения многомоментной гидродинамики позволяют сделать следующий шаг на пути воспроизведения неустойчивости и турбулентности. Анализ решений уравнений многомоментной гидродинамики, дополненный стохастическими составляющими, позволил создать представление о механизме смены режимов, который в той или иной степени опирается на концепции предшественников – О. Рейнольдса и Дж. Тейлора.

В задаче обтекания сферы базовое решение уравнений многомоментной гидродинамики успешно воспроизводит устойчивое осесимметричное течение U₀^cal(t, x). Однако сценарий дальнейшей эволюции базового решения качественно отличается от сценария Ландау–Хопфа. Достижение первого критического значения числа Рейнольдса Re₀^* сопровождается потерей устойчивости базового решения. Неустойчивое решение Sol₀ воспроизводит периодические осесимметричные пульсации зоны закручивания V₀^exp(t, x). Дальнейшее продвижение по шкале чисел Re сопровождается последовательным замещением решения Sol₀ решением Sol₂, а решения Sol₂– решением Sol₁. Решения Sol₂ и Sol₁ воспроизводят два регистрируемых регулярных режима вихревого испускания; W₀^exp(t, x) и Q₀^exp(t, x).

Таким образом, по мере удаления состояния среды от состояния статистического равновесия один неустойчивый режим сменяется другим, также неустойчивым. Потеряв устойчивость после пересечения первого критического значения Re₀^*, система далее продолжает оставаться в неустойчивом состоянии. Однако рост Re не сопровождается нарушением регулярности неустойчивых решений Sol₀, Sol₁ и Sol₂ детерминистических уравнений многомоментной гидродинамики. То есть, детерминистические решения не могут нарушить регулярную картину течения в следе за сферой.

Введение стохастических составляющих в детерминистические уравнения многомоментной гидродинамики вносит качественные изменения в поведение детерминистических решений. Отождествление статистических характеристик стохастических составляющих с характеристиками неупорядоченных возмущений позволяет изучить их влияние на переход ламинарного движения в турбулентное. Неупорядоченные возмущения, возникающие в набегающем на сферу потоке за счет внешнего воздействия, доставляются в зону закручивания, где происходит их накопление.

Накопление неупорядоченных возмущений, в свою очередь, приводит к качественному изменению регулярной картины течения в следе за сферой. Перемещаясь по материальной линии, жидкая частица испытывает как хаотические изменения направления своего движения, так и хаотические изменения модуля скорости движения. В отличие от регулярных материальных линий, искаженные материальные линии хаотически пересекаются в зоне закручивания. Форма искаженных материальных линий хаотически изменяется. Хаотическое движение жидкой частицы по искаженным неупорядоченными возмущениями пересекающимся материальным линиям создает турбулентную картину течения в зоне закручивания [22].

Смена режимов течения сильно зависит от соотношения двух параметров: числа Рейнольдса и коэффициента турбулентности. Низкие значения коэффициента турбулентности способны заблокировать возникновение турбулентности даже при сколь угодно высоких значениях числа Рейнольдса. Напротив, высокие значения коэффициента турбулентности способны инициировать турбулентность даже при невысоких значениях числа Рейнольдса [23].

Постоянно присутствующие в реальной физической системе спонтанные флуктуации не могут исказить регулярную картину течения, потерявшего устойчивость, так как спонтанные флуктуации не накапливаются в следе за сферой [24]. Таким образом, ответственность за возникновение и развитие турбулентности полностью отвечают неупорядоченные возмущения.

Поведение решений уравнений многомоментной гидродинамики, дополненных стохастическими составляющими в задаче обтекания сферы, позволило сформулировать представление о природе турбулентности сдвигового течения, а также выявить механизм смены режимов.

Регулярная составляющая турбулентности есть результат неустойчивого движения когерентных структур, хаотическая составляющая турбулентности – результат накопления неупорядоченных возмущений. Потеря устойчивости является необходимым условием перехода от ламинарного движения среды к турбулентному. После потери устойчивости в следе за сферой, наряду с затухающими неупорядоченными возмущениями, появляются нарастающие возмущения. Возникновение затухающих и нарастающих возмущений происходит хаотически и крайне неравномерно. Характерное время возникновения неупорядоченных возмущений в набегающем на сферу потоке, t_d1, значительно меньше характерного времени их изменения в следе за сферой, t_h, t_d1 << t_h. Поэтому в следе за сферой неупорядоченные возмущения не успевают значительно вырасти или затухнуть за время t_d1, что приводит к накоплению и нарастающих, и затухающих возмущений [3].

Таким образом, концепции О. Рейнольдса и Дж. Тейлора нашли свое место в сформулированных представлениях о природе турбулентности и представленном механизме смены режимов. Действительно, как и предполагал Рейнольдс, потеря устойчивости является обязательным условием. Однако рост слабых возмущений не есть причина смены режимов. Этой причиной является накопление возмущений, причем накапливаются не только нарастающие, но и затухающие возмущения.

Как и предполагал Тейлор, вихри, зарождающиеся вблизи ограничивающих течение поверхностей, принимают участие в формировании турбулентной картины течения. Действительно, неустойчивое движение этих вихрей и вихрей, рождающихся внутри течения, формируют регулярную составляющую турбулентности. Однако регулярное движение когерентных структур, устойчивое и неустойчивое, само по себе не создает турбулентную картину течения. Причиной возникновение турбулентности является накопление возмущений. Хаотические искажения, накладываясь на регулярную составляющую, постепенно, по мере роста числа Re, маскируют ее. Однако хаотические искажения не могут разрушить регулярную составляющую.

Автор благодарен ведущему научному сотруднику ФАУ ЦАГИ А.Ф. Киселёву за полезные обсуждения.

作者简介

I. Lebed

编辑信件的主要联系方式.
Email: lebed-ivl@yandex.ru
俄罗斯联邦, Moscow

参考

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

2. Fig. 1. Time behavior of the paired entropy calculated within the hemispherical concentric layer H0 minus the spatial half-segment; r2 = 2.12, r3= 1.0, Re=400, t*= 6.99.

下载 (17KB)

索引源数据

3. Рис. 2. Hemispherical concentric layer H0: 1 ≤ ^r ≤ ^r2, p/2 ≤ q ≤ 0, 2p ≤ j ≤ 0; hemispherical concentric layer H1: 1 ≤ ^r ≤ ^r1, p/2 ≤ q ≤ 0, 2p ≤ j ≤ 0; hemispherical concentric layer H2: ^r1 ≤ ^r ≤ ^r2, p / 2 ≤ q ≤ 0, 2p ≤ j ≤ 0; cos a = 0.886.

下载 (21KB)

索引源数据

4. Рис. 3. Введение во временную производственную систему, при Re = 400. Функция =^СП(0(0,2))(т)/=т, рассчитанная по решению Соль 0 в пределах полусферического концентрического слоя н0 за вычетом пространственного полусегмента, представлена кривой 1; ^Р2 = 2.12, ^Р3 = 1.0. Сумма двух функций, ^СП(0(1,2))(т) и ^ИП(1(2,2))(т), представлена кривой 2. Составляющая ^СП(0(1,2))(т) рассчитана по решению Sol0 в пределах полусферического концентрического слоя Н1 ^Р1 = 1.571; составляющая ^ИП(1(2,2))(т) рассчитана по решению Sol1 в пределах области существования решения, расположенной на внешней границе полусферического концентрического слоя Н1. Время перемещения ^t1 = 6,9857, t = (Rea/(2 U0))^t.

下载 (21KB)

索引源数据

5. Fig. 4. Time behavior of the inverse pair entropy calculated by Sol0, Re = 400. The function ^S~p*(0(1,)2)(t*), calculated within the hemispherical concentric layer H1, is represented by curve 1; ^r1 =1.571. The function ^S~p*(0(0,)2)(t*), calculated within the hemispherical concentric layer H0 minus the spatial half-segment, is represented by curve 2; ^r2 = 2.12, ^r3 = 1.0. The function ^S~ p*(0(1–,2)2)( t*), calculated within a hemispherical concentric layer with a moving outer boundary ^r1(t), represented by curve 3. Rebuilding time ^t1 = 6.9857, separation time ^t1 = T = 6.99, t * = = (Re a/(2U0))^t *.

下载 (27KB)

索引源数据