On the plane motions of a dumb-bell on a manifold “gravity propeller” in the generalized elliptic Sitnikov problem

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The translational–rotational motions of a symmetrical dumb-bell are considered in a generalized elliptical Sitnikov problem. We describe the equations of the dumb-bell motion and their integral manifold “gravitational propeller” which contains the motion such that the dumb-bell barycenter moves along the normal to the motion plane of two primaries, whilst the dumb-bell itself rotates continuously around the normal keeping a constant angle π/2 with normal. We obtained the equation of plane dumb-bell oscillations when its barycenter coincides with the barycenter of primaries. It is shown that this equation coincides with the Beletskii equation if the dumb-bell has an infinitesimal length. Small plane oscillations of dumb-bell are investigated by introducing two small parameters: (the eccentricity of primaries orbit) and (a measure of the deviation of the phase point from the origin). The regions of singular and regular small oscillations and different types of equations for the regular domain are described. We have an increase in the frequency of oscillations to infinity with an increase in the length of the dumb-bell and the tendency of its point masses to pass near the primaries.

About the authors

P. S. Krasilnikov

Moscow Aviation Institute (National research university)

Author for correspondence.
Email: krasil06@rambler.ru
Moscow, Russia

A. R. Ismagilov

Moscow Aviation Institute (National research university)

Email: arism8@mail.ru
Moscow, Russia

References

  1. Sitnikov K.A. Existence oscillating movements in the three-body problem // Dokl. AS USSR, 1960, vol. 133, no. 2, pp. 303–306. (in Russian)
  2. Corbera M., Llibre J. Periodic orbits of the Sitnikov problem via a Poincare map // Celest. Mech. Dynam. Astron., 2000, no. 77, pp. 273–303.
  3. Kovacs T., Erdi B. The structure of the extended phase space of the Sitnikov problem // Astron. Nachr., 2007, vol. 328, pp. 801–804.
  4. Alfaro J.M., Chiralt C. Invariant rotational curves in Sitnikov’s problem // Celest. Mech. Dynam. Astron., 1993, vol. 55, pp. 351–367.
  5. Belbruno E., Llibre J., Olle M. On the families of periodic orbits which bifurcate from circular Sitnikov motions // Celest. Mech. Dynam. Astron., 1994, no. 60, pp. 99–129.
  6. Sidorenko V.V. On the circular Sitnikov problem: the alternation of stability and instability in the family of vertical motions // Celest. Mech. Dynam. Astron., 2011, no. 109, pp. 367–384.
  7. Markeev A.P. Subharmonic Ostillations in the near-circular elliptic Sitnikov problem // Mech. of Solids, 2020, vol. 55, pp. 1162 – 1171.
  8. Krasilnikov P.S. On the manifold “gravitational propeller” in the generalized circular Sitnikov problem // Mech. of Solids, 2021, vol. 56, no. 8, pp. 1578–1586.
  9. Krasilnikov P.S., Ismagilov A.R. On the dumb-bell equilibria in the generalized Sitnikov problem // Russ. J. Nonlin. Dyn., 2022, vol. 18, no. 4, pp. 577–588.
  10. Krasilnikov P.S., Baikov A.E. On dumbbell motions in the generalized circular Sitnikov problem // Cosmic Res., 2024, vol. 62, pp. 302–309.
  11. Beletskii V.V., Ponomareva O.N. A parametric analysis of relative equilibrium stability in the gravitational field // Kosmich. Issled., 1990, vol. 28, no. 5, pp. 664–675. (in Russian)
  12. Barkin Y.V., Demin V.G. Translation-rotational motion of celestial bodies // VINITI, Itogi nauki i tekhniki. Astronomy, 1982, vol. 20, pp. 87–206. (in Russian)
  13. Zhuravlev S.G., Petrutskii A.A. Current state of the problem of translational – rotational motion of three rigid bodies // Amer. Inst. of Phys., 1990 (see also Astron. Zh., 1990, vol. 67, pp. 602–611).
  14. Rumyantsev V.V. On the stability of the orientations of a dynamically symmetric satellite at libration points // Izv. AS of the USSR. Mech. of Solids, 1974, no. 2, pp. 3–8. (in Russian)
  15. Janikashvilli G.V. On the relative equilibria of a gyrostat satellite in the restricted three-body problem // Commun. of the AS of the GSSR, 1976, vol. 84, no. 1, p. 49. (in Russian)
  16. Robinson W.J. The restricted problem of three bodies with rigid dumb-bell satellite // Celest. Mech. Dynam. Astron., 1973, vol. 8, no. 2, pp. 323–330.
  17. Robinson W.J. Attitude stability of a rigid body placed at an equilibrium point in the problem of three bodies // Celest. Mech., 1974, vol. 10, no. 1, pp. 17–33.
  18. Krasilnikov P.S. Applied Methods for the Study of Nonlinear Oscillations. Мoscow; Izhevsk: Inst. of Comput. Res., 2015. (in Russian)
  19. Beletskii V.V. Generalized restricted circular three-body problem as a model for dynamics of binary asteroids // Cosmic Res., 2007, vol. 45, no. 5, pp. 408–416.
  20. Burov A.А. et al. On the use of the K-means algorithm for determination of mass distributions in dumbbell-like celestial bodies // Russ. J. Nonlin. Dyn., 2018, vol. 14, no. 1, pp. 45–52.
  21. Burov A.A., Nikonov V.I. On the approximation of a nearly dynamically symmetric rigid body by two balls // Comput. Math.&Math. Phys., 2022, vol. 62, pp. 2154–2160.
  22. Beletskii V.V., Rodnikov A.V. Stability of triangle libration points in generalized restricted circular three-body problem //Cosmic Res., 2008, vol. 46, no. 1, pp. 40–48.
  23. Rodnikov A.V. Triangular libration points of the generalized restricted circular problem of three bodies for conjugate complex masses of attracting centers // Rus. J. of Nonlin. Dyn., 2014, vol. 10, no. 2, pp. 213–222.
  24. Duboshin G.N. Celestial Mechanics. Fundamental Problems and Methods. Moscow: Nauka, 1975.
  25. Beletskii V.V. Motion of an Artificial Satellite about Its Center of Mass. Jerusalem: Israel Program for Scientific Translations, 1966.
  26. Malkin I.G. Some Problems of the Theory of Nonlinear Oscillations. Moscow: Gostekhizdat, 1956. (in Russian)
  27. Volosov V.M. Nonlinear differential equations of the second order with a small parameter with the highest derivative // Sb. Math., 1952, vol. 30(72), no. 2, pp. 245–270. (in Russian)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».