Deformation of a Thin Circular Plate Fixed along the Contour to the Substrate

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In the approximation of the Foppl-von Karman model, the problem of deformation of a circular plate coupled to a massive substrate along a contour coinciding with the boundary of a hole in the substrate under the action of a transverse load is solved. Boundary conditions of two types were considered: rigid and generalized elastic embedding. The solution is obtained in two ways: by decomposing into power series the transverse displacements and longitudinal forces represented in a cylindrical coordinate system, as well as by numerical integration of the Foppl-von Karman equations, with successive refinement of boundary conditions, similar to the "shooting method". Expressions for the displacement components of a circular plate are obtained. The role played by the compliance of the substrate in changing the profile shape of the circular plate, the acting longitudinal forces and bending moments has been revealed. A comparison with other solutions has been made. The fields of applicability of the methods are investigated.

About the authors

D. V. Gandilyan

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the RAS

Author for correspondence.
Email: david.ghandilyan@mail.ru
Russian Federation, Moscow

K. B. Ustinov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the RAS

Email: ustinov@ipmnet.ru
Russian Federation, Moscow

References

  1. Nanofabrication: Nanolithography Techniques and Their Applications / Ed. by De Teresa J.-M. Bristol, England: IOP Pub. Ltd., 2020. 450 p. https://doi.org/10.1088/978-0-7503-2608-7.
  2. Salashchenko N. N., Chkhalo N. I., Dyuzhev N. A. Maskless X‑ray lithography based on MOEMS and microfocus X‑ray tubes // Surface. X‑ray, Synchrotron and Neutron Studies, 2018, no. 10, pp. 10–20. (in Russian) https://doi.org/10.1134/S0207352818100165.
  3. Silverman J. P. Challenges and progress in X‑ray lithography // J. Vac. Sci. Technol. B, 1998, vol. 16, iss. 6, pp. 31–37. https://doi.org/10.1116/1.590452.
  4. Vladimirsky Y., Bourdillon A. et al. Demagnification in proximity X‑ray lithography and extensibility to 25 nm by optimizing Fresnel diffraction // J. Phys. D: Appl. Phys., 1999, vol. 32, iss. 22, pp. 114–118. https://doi.org/10.1088/0022-3727/32/22/102.
  5. Cotterell B., Chen Z. Buckling and cracking of thin film on compliant substrates under compression // Int. J. Fracture, 2000, vol. 104, iss. 2, pp. 169–179. https://doi.org/10.1023/A:1007628800620.
  6. Yu H.-H., Hutchinson J. W. Influence of substrate compliance on buckling delamination of thin films // Int. J. Fracture, 2002, vol. 113, pp. 39–55. https://doi.org/10.1023/A:1013790232359.
  7. Li S., Wang J., Thouless M. D. The effects of shear on delamination in layered materials // J. Mech. Phys. Solids, 2004, vol. 52, iss. 1, pp. 193–214. https://doi.org/10.1016/S0022-5096(03)00070-X.
  8. Andrews M., Massabo R., Cox B. Elastic interaction of multiple delaminations in plates subject to cylindrical bending // Int. J. Solids Struct., 2006, vol. 43, iss. 5, pp. 855–886. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2005.04.025.
  9. Andrews M., Massabo R. The effects of shear and near-tip deformations on energy release rate and mode mixity of edge-cracked orthotropic layers // Engng. Fracture Mech., 2007, vol. 74, iss. 17, pp. 2700–2720. https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2007.01.013.
  10. Ustinov K. B. On shear separation of a thin strip from the half‑plane // Mech. Solids, 2014, vol. 49, iss. 6, pp. 713–724. https://doi.org/10.3103/S0025654414060132.
  11. Ustinov K. B. On separation of a layer from the half‑plane: elastic fixation conditions for a plate equivalent to the layer // Mech. Solids, 2015, vol. 50, iss. 1, pp. 62–80. https://doi.org/10.3103/S0025654415010070.
  12. Begley M. R., Hutchinson J. W. The Mechanics and Reliability of Films, Multilayers and Coatings. Cambridge: Univ. Press, 2017. 288 p. https://doi.org/10.1017/9781316443606.
  13. Thouless M. D. Shear forces, root rotations, phase angles and delamination of layered materials // Engng. Fracture Mech., 2018, vol. 191, pp. 153–167. https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2018.01.033.
  14. Barbieri L., Massabo R., Berggreen C. The effects of shear and near-tip deformations on interface fracture of symmetric sandwich beams // Engng. Fracture Mech., 2018, vol. 201, pp. 298–321. https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2018.06.039.
  15. Massabo R., Ustinov K. B., Barbieri L., Berggreen C. Fracture mechanics solutions for interfacial cracks between compressible thin layers and substrates // Coatings, 2019, vol. 9, iss. 3, p. 152. https://doi.org/10.3390/coatings9030152.
  16. Ustinov K. B. On semi‑infinite interface crack in bi‑material elastic layer // Eur. J. Mech. A/Solids, 2019, vol. 75, pp. 56–69. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2019.01.013.
  17. Monetto I., Massabo R. An analytical beam model for the evaluation of crack‑tip root rotations and displacements in orthotropic specimens // Frattura ed Integrità Strutt., 2020, vol. 14, no. 53, pp. 372–393. https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.53.29.
  18. Ustinov K., Massabo R. On elastic clamping boundary conditions in plate models describing detaching bilayers // Int. J. Solids Struct., 2022, vol. 248, art. no. 111600. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2022.111600.
  19. Ustinov K. B. On influence of substrate compliance on delamination and buckling of coatings // Engng. Failure Anal., 2015, vol. 47, pp. 338–344. https://doi.org/10.1016/j.engfailanal.2013.09.022.
  20. Ustinov K. B., Gandilyan D. V. On the boundary conditions for a thin circular plate conjugated to a massive body // Vestn. Samara Univ. Nat. Sci. Ser., 2024, vol. 30, no. 1, pp. 50–63. (in Russian) https://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-1-50-63.
  21. Gorman D. J. Free vibration analysis of Mindlin plates with uniform elastic edge support by the superposition method // J. Sound Vibr., 1997, vol. 207, pp. 335–350.
  22. Du J. T., Li W. L., Jiu G. J., Yang T. J., Liu Z. G. An analytical method for the in‑plane vibration analysis of rectangular plates with elastically restrained edges // J. Sound Vibr., 2009, vol. 306, pp. 908–927.
  23. Zhang H., Li W. L. Vibrations of rectangular plates with arbitrary non‑uniform elastic edge restraints // J. Sound Vibr., 2009, vol. 326, pp. 221–231.
  24. Dal H., Morque O. K. Vibrations of elastically restrained rectangular plates // Sci. Res. Essays, 2011, vol. 6, no. 31, pp. 6811–6816.
  25. Zhang H., Shi D., Wang Q. An improved Fourier‑series solution for free vibration analysis of the moderately thick laminated composite rectangular plate with non‑uniform boundary conditions // Int. J. Mech. Sci., 2017, vol. 121, pp. 1–20.
  26. Gorman D. J. Free vibration and buckling of in‑plane loaded plates with rotational edge support // J. Sound Vibr., 2000, vol. 225, pp. 755–773.
  27. Miletić I., Miletić M. The buckling analysis of a rectangular plate elastically clamped along the longitudinal edges // Appl. Engng. Lett., 2016, vol. 1, no. 1, pp. 24–28.
  28. Miletić I., Miletić M., Milojević S., Ulewicz R., Nikolić R. The buckling analysis of an elastically clamped rectangular plate // Mobil. Vehicle Mech., 2020, vol. 48, no. 1, pp. 37–46.
  29. Chen J., Jin G., Liu Z. Free vibration analysis of circular cylindrical shell with non‑uniform elastic boundary conditions // Int. J. Mech. Sci., 2013, vol. 74, pp. 120–132.
  30. Karakosyan R. M., Stepanyan S. P. Non‑classical problem of bend of an orthotropic annular plate of variable thickness with an elastically clamped support // Proc. Yerevan State Univ., 2017, vol. 51, no. 2, pp. 168–176.
  31. Timoshenko S. P., Woinowsky‑Krieger S. Theory of Plates and Shells. New York: McGraw‑Hill, 1959. 580 p.
  32. Way S. Bending of circular plates with large deflection // Trans. ASME, 1934, vol. 56, pp. 627–633.
  33. Lychev S. A., Digilov A. V., Pivovaroff N. A. Bending of a circular disk: from cylinder to ultrathin membrane // Vestn. Samara Univ. Nat. Sci. Ser., 2023, vol. 29, no. 4, pp. 77–105. (in Russian) https://doi.org/10.18287/2541-7525-2023-29-4-77-105.
  34. Galanin M. P., Savenkov E. B. Methods of Numerical Analysis of Mathematical Models. Moscow: BMSTU Pub., 2010. 590 p. (in Russian)
  35. Lychev S., Digilov A., Demin G., Gusev E., Kushnarev I., Djuzhev N., Bespalov V. Deformations of single‑crystal silicon circular plate: Theory and experiment // Symmetry, 2024, vol. 16, no. 2, pp. 137–163. https://doi.org/10.3390/sym16020137.
  36. Lychev S., Digilov A. Incompatible deformations in hyperelastic plates under influence of substrate compliance on delamination and buckling of coatings // Mathematics, 2024, vol. 12, no. 4, pp. 596–616. https://doi.org/10.1016/j.engfailanal.2013.09.022.
  37. Lychev S. A. Incompatible deformations of flexible plates // Sci. Notes Kazan Univ. Ser. Phys. & Math. Sci., 2023, vol. 165, no. 4, pp. 361–388. (in Russian) https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.4.361-388.
  38. Dedkova A. A., Glagolev P. Yu., Gusev E. E., Dyuzhev N. A., Kireev V. Yu., Lychev S. A., Tovarnov D. A. Features of deformation of round thin‑film membranes and experimental determination of their effective characteristics // J. Techn. Phys., 2021, vol. 91, no. 10, pp. 1454–1465. (in Russian) https://doi.org/10.21883/JTF.2021.10.51357.121-21.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».