Shock wave and centered rarefaction fan in Noble–Abel gas

Full Text

1. Введение

В работе рассматриваются плоские сверхзвуковые течения в ударной волне и центрированной волне разрежения для газа, подчиняющегося уравнению состояния АН. Данная модель, которая с приемлемой точностью описывает течения при высоких температурах и давлениях от 50 до 2000 МПа, является простым обобщением модели совершенного газа. В практических приложениях модель газа АН используется во внутренней баллистике оружейных каналов, а также при расчетах течения газа в различных ракетных установках [1, 2]. Автомодельные течения газа АН в клине изучены в работе [3], в которой установлена возможность существования таких течений в ограниченном диапазоне чисел Маха и углов раствора клина. Вопросам численного моделирования течений газов с уравнением состояния общего вида, в частности газа АН, посвящены работы [4, 5]. В работе [6] дано сравнение термодинамических параметров газа АН и газа, подчиняющегося уравнению состояния Soave–Redlich–Kwong (SRK). В работе [7] исследуется задача Римана о распаде разрыва для различных моделей газа. В работе [8] получены некоторые формулы для прямого скачка уплотнения в газе АН. Отдельные вопросы детонационных свойств газа АН изучены в работах [8–10]. В настоящей работе наряду с прямым скачком уплотнения рассматривается косой скачок и центрированная волна разрежения в газе АН.

Общая форма уравнения состояния газов может быть записана в виде вириального уравнения состояния [11]:

$\frac{p}{\mathrm{\rho }RT}=1+B\left(T\right)\mathrm{\rho }+C\left(T\right){\mathrm{\rho }}^2+\mathrm{...}$,

где B(T), C(T) и т.д. – функции только температуры и не зависят от давления и плотности. Если во втором приближении функцию B(T) представить в виде $B\left(T\right)=b-b_1/RT$, а C(T) и другие члены положить равными нулю, то получим известное уравнение состояния Ван-дер-Ваальса

$p+b_1{\mathrm{\rho }}^2=\mathrm{\rho }RT(1+b\mathrm{\rho })$,

которое описывает свойства жидкости, как в газообразной, так и в жидкой фазах. Параметр b связан с объемом молекул, а параметр b₁ отвечает за их взаимодействие. При отсутствии взаимодействия, b₁ = 0, и малых положительных значениях параметра b, характеризующего отличие газа АН от совершенного газа, приходим к уравнению состояния газа АН [12, 13]:

$p(1-b\mathrm{\rho })=\mathrm{\rho }RT$,

которое после введения «эффективной» плотности $\tilde{\mathrm{\rho }}=\mathrm{\rho }/(1-b\mathrm{\rho })$, опять принимает форму уравнения совершенного газа

$p=\tilde{\mathrm{\rho }}RT$

Энтропия s газа АН пропорциональна $\ln \left(p/{\tilde{\mathrm{\rho }}}^{\gamma }\right)$, т.е. она принимает постоянное значение при $p/{\tilde{\mathrm{\rho }}}^{\gamma }=\mathrm{const}$. По определению скорость звука равна, $a=\sqrt{{\left(\partial p/\partial \rho \right)}_s}$, откуда для газа АН имеем:

$a=\left(\frac{\tilde{\mathrm{\rho }}}{\mathrm{\rho }}\right)\sqrt{\gamma RT}$

или $a=\tilde{a}\left(\tilde{\mathrm{\rho }}/\mathrm{\rho }\right)$, где  $\tilde{a}=a(1-b\mathrm{\rho })$ – «эффективная» скорость звука. Запишем выражения для внутренней энергии e:

$e=c_{v}T$

Здесь и всюду далее предполагается, что теплоемкость газа не зависит от температуры. Энтальпия h газа АН находится по формуле:

$h=e+p/\mathrm{\rho }=e+p\left(b+\frac{RT}{p}\right)=e+RT+bp$

Отсюда можно сделать вывод, что теплоемкость при постоянном давлении c_р также не зависит от температуры:

$c_p={\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)}_p=c_v+R$

Используя данные формулы, можно выразить энтальпию через скорость звука:

$h=\frac{a^2}{\gamma -1}(1-b\mathrm{\rho })(1-\frac{b\mathrm{\rho }}{\gamma })$; $\gamma =\frac{c_p}{c_v}$

При b = 0 полученное выражение совпадает с соответствующей формулой для совершенного газа, $h=a^2/(\gamma -1)$ [14].

2. Прямой скачок уплотнения

Аналогично совершенному газу при переходе через прямой скачок уплотнения в газе АН должны сохраняться потоки массы j, импульса I и энергии H:

${\mathrm{\rho }}_1{u}_1={\mathrm{\rho }}_2{u}_2=j$ (2.1)

${\mathrm{\rho }}_1{u}_1^2+p_1={\mathrm{\rho }}_2{u}_2^2+p_2=I$ (2.2)

$\frac{u_1^2}{2}+h_1=\frac{u_2^2}{2}+h_2=H$ (2.3)

Здесь индексами 1 и 2 обозначены параметры потока перед и после скачка уплотнения соответственно. По ранее установленному правилу, введем «эффективную» скорость, ${\tilde{u}}_1=u_1(1-b{\mathrm{\rho }}_1)$. Тогда уравнение неразрывности принимает форму:

${\tilde{\mathrm{\rho }}}_1{\tilde{u}}_1={\tilde{\mathrm{\rho }}}_2{\tilde{u}}_2=j$,

а уравнения импульса и энергии преобразуются к виду:

$p_1+{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1{\tilde{u}}_1^2+b{j}^2=p_2+{\tilde{\mathrm{\rho }}}_2{\tilde{u}}_2^2+b{j}^2=I$

$\frac{{\tilde{u}}_1^2}{2}+\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p_1}{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1}+bI-\frac{b^2}{2}{j}^2=\frac{{\tilde{u}}_2^2}{2}+\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p_2}{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_2}+bI-\frac{b^2}{2}{j}^2$

После сокращения одинаковых членов в левой и правой части полученных уравнений, законы сохранения приобретают вид, совпадающий по форме с соответствующими законами сохранения для совершенного газа:

${\tilde{\mathrm{\rho }}}_1{\tilde{u}}_1={\tilde{\mathrm{\rho }}}_2{\tilde{u}}_2$ (2.4)

$p_1+{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1{\tilde{u}}_1^2=p_2+{\tilde{\mathrm{\rho }}}_2{\tilde{u}}_2^2$ (2.5)

$\frac{{\tilde{u}}_1^2}{2}+\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p_1}{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1}=\frac{{\tilde{u}}_2^2}{2}+\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p_2}{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_2}$ (2.6)

Из уравнений (2.4)–(2.6) находим основные соотношения, связывающие параметры потока перед и за прямым скачком уплотнения:

$\frac{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_2}{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1}=\frac{{\tilde{u}}_1}{{\tilde{u}}_2}=\frac{(\gamma +1){\mathrm{M}}_1^2}{(\gamma -1){\mathrm{M}}_1^2+2}$ (2.7)

$\frac{p_2}{p_1}=\frac{2\gamma }{\gamma +1}{\mathrm{M}}_1^2-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}$ (2.8)

$\frac{T_2}{T_1}=\frac{\left[2\gamma {\mathrm{M}}_1^2-(\gamma -1)\right]\left[(\gamma -1){\mathrm{M}}_1^2+2\right]}{{\left(\gamma +1\right)}^2{\mathrm{M}}_1^2}$, (2.9)

где число Маха ${\mathrm{M}}_1={\tilde{u}}_1/{\tilde{a}}_1=u_1/a_1$.

Возвращаясь к физическим переменным скорости u₁, u₂ и плотности ρ₁, ρ₂, для газа АН получаем следующие соотношения на прямом скачке:

$\frac{{\mathrm{\rho }}_2}{{\mathrm{\rho }}_1}=\frac{u_1}{u_2}=\frac{(\gamma +1){\mathrm{M}}_1^2}{(\gamma -1){\mathrm{M}}_1^2+2+2b{\mathrm{\rho }}_1({\mathrm{M}}_1^2-1)}$, (2.10)

которые при b = 0 переходят в соответствующие формулы для совершенного газа.

Получим зависимость, связывающую число Маха М₁ перед скачком с числом М₂ за прямым скачком в газе АН. Для этого воспользуемся формулами (2.7)–(2.9). Так как ${\mathrm{M}}_{\mathrm{1,2}}={\tilde{u}}_{\mathrm{1,2}}/{\tilde{a}}_{\mathrm{1,2}}$ и ${\tilde{a}}_{\mathrm{1,2}}=\sqrt{\gamma R{T}_{\mathrm{1,2}}}$, из формулы (2.9) находим, что

${\left(\frac{{\tilde{a}}_2}{{\tilde{a}}_1}\right)}^2=\frac{\left[2\gamma {\mathrm{M}}_1^2-(\gamma -1)\right]\left[(\gamma -1){\mathrm{M}}_1^2+2\right]}{{\left(\gamma +1\right)}^2{\mathrm{M}}_1^2}$

Согласно (2.7) имеем:

${\left(\frac{{\mathrm{M}}_2}{{\mathrm{M}}_1}\right)}^2={\left(\frac{{\tilde{u}}_2}{{\tilde{u}}_1}\right)}^2{\left(\frac{{\tilde{a}}_1}{{\tilde{a}}_2}\right)}^2={\left[\frac{(\gamma -1){\mathrm{M}}_1^2+2}{(\gamma +1){\mathrm{M}}_1^2}\right]}^2\frac{{\left(\gamma +1\right)}^2{\mathrm{M}}_1^2}{\left[2\gamma {\mathrm{M}}_1^2-(\gamma -1)\right]\left[(\gamma -1){\mathrm{M}}_1^2+2\right]}$

или после упрощения:

${\mathrm{M}}_2^2=\frac{2+(\gamma -1){\mathrm{M}}_1^2}{2\gamma {\mathrm{M}}_1^2-(\gamma -1)}$

Изменение энтропии при переходе через ударную волну в газе АН дается выражением

$s_2-s_1=c_v\ln \left(\frac{p_2}{p_1}\right){\left(\frac{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1}{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_2}\right)}^{\gamma }$ (2.11)

Учитывая соотношения (2.7) и (2.8), уравнение (2.11) перепишем в виде

$s_2-s_1=c_v\ln \left[\frac{(\gamma +1)\left({\tilde{\mathrm{\rho }}}_2/{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1\right)-(\gamma -1)}{(\gamma +1){\left({\tilde{\mathrm{\rho }}}_2/{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1\right)}^{\gamma }-(\gamma -1){\left({\tilde{\mathrm{\rho }}}_2/{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1\right)}^{\gamma +1}}\right]$

Рассмотрим случай слабого скачка уплотнения, $p_2-p_1\ll 1$. Имеем

$T\Delta s=h_2-h_1-\underset{p_1}{\overset{p_2}{\int }}\frac{dp}{\rho }$ (2.12)

Используя закон сохранения массы (2.1) и закон сохранения импульса (2.2), из (2.3) после несложных преобразований получаем:

$h_2-h_1=\frac{1}{2}(p_2-p_1)\left(\frac{1}{{\mathrm{\rho }}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\rho }}_1}\right)$

Тогда уравнение (2.12) принимает форму:

$T\Delta s=\frac{1}{2}(p_2-p_1)\left(\frac{1}{{\mathrm{\rho }}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\rho }}_1}\right)-\underset{p_1}{\overset{p_2}{\int }}\frac{dp}{\mathrm{\rho }}$

Для оценки интеграла в (2.12) в случае слабого скачка воспользуемся формулой трапеции

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}(x_2-x_1)\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right]-\frac{1}{12}{(x_2-x_1)}^3{f}^{\text{'}\text{'}}\left(x_1\right)+O\left[{(x_2-x_1)}^4\right]$

Тогда

$\underset{p_1}{\overset{p_2}{\int }}\frac{dp}{\mathrm{\rho }}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\mathrm{\rho }}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\rho }}_1}\right)\left(p_2-p_{!}\right)-\frac{1}{12}{\left[\frac{{\partial }^2}{\partial p^2}\left(\frac{1}{\mathrm{\rho }}\right)\right]}_1{(p_2-p_1)}^3+O\left[{(p_2-p_1)}^4\right]$

Окончательно получаем

$T\Delta S=\frac{1}{12}{\left[\frac{{\partial }^2}{\partial p^2}\left(\frac{1}{\mathrm{\rho }}\right)\right]}_1{(p_2-p_1)}^3+O\left[{(p_2-p_1)}^4\right]$

Таким образом, как и в совершенном газе, в случае слабых скачков течение газа АН можно считать изоэнтропическим с точностью до членов третьего порядка малости.

Из уравнений (2.7) и (2.8) можно получить формулу для ударной адиабаты в газе АН:

$\frac{p_2}{p_1}=\frac{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}\frac{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_2}{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1}-1}{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}-\frac{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_2}{{\tilde{\mathrm{\rho }}}_1}}=\frac{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}\left(\frac{{\mathrm{\rho }}_2}{{\mathrm{\rho }}_1}\right)\frac{1-\overline{b}}{1-\overline{b}\left({\mathrm{\rho }}_2/{\mathrm{\rho }}_1\right)}-1}{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}-\left(\frac{{\mathrm{\rho }}_2}{{\mathrm{\rho }}_1}\right)\frac{1-\overline{b}}{1-\overline{b}\left({\mathrm{\rho }}_2/{\mathrm{\rho }}_1\right)}}$,

где $\overline{b}={\rho }_{1}b$. Из полученной формулы, в частности следует известный результат, что в совершенном газе отношение $p_2/p_1$ в адиабате Гюгонио неограниченно возрастает при ${\mathrm{\rho }}_2/{\mathrm{\rho }}_1\to (\gamma +1)/(\gamma -1)$, в то время как в изоэнтропическом течении $p_2/p_1\to \infty$ при ${\mathrm{\rho }}_2/{\mathrm{\rho }}_1\to \infty$ [15]. На рис. 1 представлены зависимости $p_2/p_1$ от ${\mathrm{\rho }}_2/{\mathrm{\rho }}_1$ для различных значений параметра $\overline{b}$ в ударной адиабате и в изоэнтропе. Видно, что с увеличением этого параметра величина ${\left({\mathrm{\rho }}_2/{\mathrm{\rho }}_1\right)}_{\max }$ уменьшается. Здесь и всюду далее расчеты проведены для газа с $\mathrm{\gamma }=1.4$. Заметим, что в отличие от совершенного газа в изоэнтропическом течении газа АН отношение $p_2/p_1\to \infty$ при конечном отношении ${\mathrm{\rho }}_2/{\mathrm{\rho }}_1\to 1/\overline{b}$.

 

Рис. 1. Семейство ударных адиабат (сплошная линия) и изоэнтроп (пунктирная линия); 1) – $\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}$; 2) – $\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{2}$; 3) –$\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{5}$

 

На рис. 2 приведены зависимости ${\left({\mathrm{\rho }}_2/{\mathrm{\rho }}_1\right)}_{\max }$ для ударной адиабаты и изоэнтропы при γ = 1.4. Видно, что по мере увеличения $\overline{b}$ максимальная степень сжатия газа уменьшается.

 

Рис. 2. Максимальное значение отношения ρ₂ / ρ₁ в ударной адиабате (сплошная линия) и в изоэнтропе (пунктирная линия)

 

3. Косой скачок уплотнения

Рассмотрим течение газа АН в косом скачке уплотнения. Введем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы ось x совпадала с направлением вектора скорости u₁. Пусть косой скачок образует с этой осью угол , рис. 3.

 

Рис. 3. Схема течения в случае косого скачка уплотнения

 

За скачком вектор скорости потока поворачивается на угол χ. Тогда условие неразрывности тангенциальной составляющей скорости имеет вид:

$u_1\cos \phi =u_{2x}\cos \phi +u_{2y}\sin \phi$ (3.1)

Разрыв нормальной составляющей скорости может быть определен с помощью формулы (2.10) для прямого скачка уплотнения:

$\frac{u_{2x}\sin \phi -u_{2y}\cos \phi }{u_1\sin \phi }=\frac{\gamma -1}{\gamma +1}+\frac{2a_1^2}{(\gamma +1)u_1^2{\sin }^2\phi }+\frac{2b{\rho }_1}{\gamma +1}\left(1-\frac{a_1^2}{u_1^2{\sin }^2\phi }\right)$ (3.2)

Используя (3.1) и (3.2) найдем связь между компонентами скорости u_2x и u_2y:

$u_{2y}^2={\left(u_1-u_{2x}\right)}^2\frac{\frac{2(1-b{\rho }_1)}{\gamma +1}\left(u_1-\frac{a_1^2}{u_1}\right)-\left(u_1-u_{2x}\right)}{u_1-u_{2x}+\frac{2(1-b{\rho }_1)}{\gamma +1}\frac{a_1^2}{u_1}}$ (3.3)

Как и следовало ожидать, при b = 0 формула (3.3) совпадает с выражением, которое описывает форму ударной поляры (строфоиды) в совершенном газе [15].

Используя (3.1) и (3.2) и учитывая, что $\mathrm{tg}\chi =u_{2y}/u_{2x}$, находим угол поворота потока χ за скачком уплотнения, рис. 1:

$\text{ctg}\chi \text{=}\left[\frac{(\gamma +1){\text{M}}_1^2}{2(1-b{\mathrm{\rho }}_1)({\text{M}}_1^2{\sin }^2\phi -1)}-1\right]\text{tg}\phi$ (3.4)

На рис. 4 показана зависимость $u_{2y}=u_{2y}\left(u_{2x}\right)$, построенная по формуле (3.3) при числе ${\mathrm{M}}_1=u_1/a_1=2$ и различных значениях параметра $\overline{b}=b{\mathrm{\rho }}_1$.

 

Рис. 4. Диаграмма скоростей для косого скачка уплотнения газа АН: 1) –$\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ ; 2) – $\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{1}$; 3) – $\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{2}$; 4) –$\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3}$ ; 5) –$\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{4}$ ; 6) –$\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{5}$

 

Зависимость угла поворота потока χ от угла наклона ударной волны φ, построенная по формуле (3.4) при числе ${\mathrm{M}}_1=2$, приведена на рис. 5, где ветви кривых, изображенные сплошными линиями, отвечают ударным волнам слабого семейства, а изображенные пунктиром – ударным волнам сильного семейства. Прямая пунктирная линия соединяет точки максимального угла поворота потока в ударной волне. Из рисунка видно, что при увеличении значения параметра $\overline{b}$ максимально возможный угол поворота потока уменьшается. В совершенном газе это значение примерно равно ${\mathrm{\chi }}_{\max }\approx 23°$. К примеру, в газе АН при $\overline{b}=0.5$ максимальное значение составляет всего ${\chi }_{\max }\approx 9°$. При ${\chi }_{\max }\to 0$ интенсивность ударной волны (скачок скорости в ней) стремится к нулю, а угол j стремится к углу Маха. На рис. 5 штрихпунктирная линия разделяет области сверхзвукового течения (слева) от области дозвукового течения (справа). Заметим, что дозвуковая область увеличивается при увеличении $\overline{b}$.

 

Рис. 5. Зависимость угла поворота потока от угла наклона ударной волны: 1) –$\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ ; 2) –$\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{1}$ ; 3) – $\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{2}$; 4) – $\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3}$; 5) – $\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{4}$; 6) – $\overline{\mathit{b}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{5}$; 7) – линия, соответствующая значению M=1 за скачком

 

4. Течение Прандтля–Майера

Рассмотрим теперь сверхзвуковое течение газа АН в центрированной волне разрежения (см. рис. 6, где пунктиром показаны линии Маха). По аналогии с совершенным газом, введем полярную систему координат (r,φ) и будем предполагать, что все параметры течения в волне разрежения зависят только от угла φ и не зависят от радиальной координаты r.

 

Рис. 6. Схема течения в центрированной волне разрежения

 

В этом случае система уравнений Эйлера, записанная в полярных координатах, имеет следующий вид [15]:

$\mathrm{\rho }{u}_r+\frac{d}{d\phi }\left(\mathrm{\rho }{u}_{\phi }\right)=0$ (4.1)

$\frac{u_{\phi }}{r}\frac{d{u}_r}{d\mathrm{\phi }}-\frac{u_{\phi }^2}{r}=0$ (4.2)

$\frac{u_{\phi }}{r}\frac{d{u}_{\phi }}{d\mathrm{\phi }}-\frac{u_r{u}_{\phi }}{r}=-\frac{1}{r\mathrm{\rho }}\frac{dp}{d\phi }$ (4.3)

$u_{\phi }\frac{ds}{d\mathrm{\phi }}=0$ (4.4)

Здесь ρ, $u_r$, $u_{\mathrm{\phi }}$ и s – соответственно плотность, радиальная и азимутальная компоненты скорости, и энтропия. Из (4.4) следует, что условие s = const выполняется во всем поле течения, поэтому в уравнении (4.3) выражение $\frac{1}{\mathrm{\rho }}\frac{dp}{d\phi }$ можно заменить производной $\frac{dh}{d\mathrm{\phi }}$. Тогда (4.3) перепишется в форме

$\frac{u_{\phi }}{r}\frac{d{u}_{\phi }}{d\mathrm{\phi }}-\frac{u_r{u}_{\phi }}{r}=-\frac{1}{r}\frac{dh}{d\phi }$

Нетривиальное решение системы (4.1)–(4.4) впервые было получено Прандтлем и Майером. В этом решении перпендикулярная к радиус-вектору составляющая $u_{\mathrm{\phi }}$ скорости в каждой точке равна по величине местной скорости звука:

$u_{\phi }=\pm a$ (4.5)

$u_r=\pm \sqrt{2(H_0-h)-a^2}$ (4.6)

$\mathrm{\phi }=-\int \frac{d\left(\mathrm{\rho }a\right)}{\rho \sqrt{2(H_0-h)-a^2}}$ (4.7)

Здесь $H_0$ – полная энтальпия, которая сохраняется во всем поле течения:

$\frac{u_r^2+u_{\phi }^2}{2}+h=H_0=\mathrm{const}$ (4.8)

Условие сохранения энтропии s можно записать в форме:

$a^2\frac{{\left(1-b\mathrm{\rho }\right)}^{\gamma +1}}{{\mathrm{\rho }}^{\gamma -1}}=a_{*}^2\frac{{\left(1-b{\mathrm{\rho }}_{*}\right)}^{\gamma +1}}{{\mathrm{\rho }}_{*}^{\mathrm{\gamma }-1}}$, (4.9)

где $a_{*}$ и ${\mathrm{\rho }}_{*}$ – критические скорость звука и плотность газа соответственно, которые, по определению, достигаются при M = 1. Перепишем выражение для полной энтальпии через критические параметры течения:

$H_0=a_{*}^2\frac{{(1-b{\mathrm{\rho }}_{*})}^2+{(\gamma -b{\mathrm{\rho }}_{*})}^2+\gamma -1}{2\gamma (\gamma -1)}$ (4.10)

Подставляя (4.8)–(4.10) в (4.7) и, переходя к интегрированию по плотности ρ, имеем:

$\phi =-\frac{\gamma +1}{2}\underset{{\rho }_1}{\overset{{\rho }_2}{\int }}\frac{{\rho }^{(\gamma -3)/2}d\mathrm{\rho }}{{\left(1-b\mathrm{\rho }\right)}^{(\gamma +3)/2}{\left[C-\frac{{\mathrm{\rho }}^{\mathrm{\gamma }-1}}{{\left(1-b\mathrm{\rho }\right)}^{\gamma +1}}\frac{{(1-b\mathrm{\rho })}^2+{(\gamma -b\mathrm{\rho })}^2+\gamma -1}{\gamma (\gamma -1)}\right]}^{1/2}}$, (4.11)

где константа C равна:

$\mathrm{C}=\frac{{\mathrm{\rho }}_{*}^{\mathrm{\gamma }-1}}{{\left(1-{\mathrm{b\rho }}_{*}\right)}^{\mathrm{\gamma }+1}}\frac{{(1-{\mathrm{b\rho }}_{*})}^2+{(\mathrm{\gamma }-{\mathrm{b\rho }}_{*})}^2+\mathrm{\gamma }-1}{\mathrm{\gamma }(\mathrm{\gamma }-1)}$

Используя формулы (4.9) и (4.10), из уравнения (4.6) находим выражение для радиальной компоненты скорости:

$\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_{\mathrm{r}}={\mathrm{a}}_{*}\frac{{\left(1-{\mathrm{b\rho }}_{*}\right)}^{(\mathrm{\gamma }+1)/2}}{{\mathrm{\rho }}_{*}^{(\mathrm{\gamma }-1)/2}}\left[\frac{{\mathrm{\rho }}_{*}^{\mathrm{\gamma }-1}}{{\left(1-{\mathrm{b\rho }}_{*}\right)}^{\mathrm{\gamma }+1}}\frac{{(1-{\mathrm{b\rho }}_{*})}^2+{(\mathrm{\gamma }-{\mathrm{b\rho }}_{*})}^2+\mathrm{\gamma }-1}{\mathrm{\gamma }(\mathrm{\gamma }-1)}-\right.\\ {\left.-\frac{{\mathrm{\rho }}^{\mathrm{\gamma }-1}}{{\left(1-\mathrm{b\rho }\right)}^{\mathrm{\gamma }+1}}\frac{{(1-\mathrm{b\rho })}^2+{(\mathrm{\gamma }-\mathrm{b\rho })}^2+\mathrm{\gamma }-1}{\mathrm{\gamma }(\mathrm{\gamma }-1)}\right]}^{1/2}\end{array}$ (4.12)

Формула для азимутальной компоненты находится из (4.5) и (4.9):

${\mathrm{u}}_{\mathrm{\phi }}=\mathrm{a}={\mathrm{a}}_{*}\frac{{\left(1-{\mathrm{b\rho }}_{*}\right)}^{(\mathrm{\gamma }+1)/2}}{{\mathrm{\rho }}_{*}^{(\mathrm{\gamma }-1)/2}}\frac{{\mathrm{\rho }}^{(\mathrm{\gamma }-1)/2}}{{\left(1-\mathrm{b\rho }\right)}^{(\mathrm{\gamma }+1)/2}}$ (4.13)

Угол поворота вектора скорости χ равен:

$\chi =\phi +\text{arctg}\frac{u_{\phi }}{u_r}$ (4.14)

С помощью полученных формул (4.11)–(4.14) построена зависимость модуля скорости $V=\sqrt{u_r^2+u_{\phi }^2}$ от угла поворота χ в полярной системе координат при различных значениях параметра, рис. 7.

 

Рис. 7. Зависимость угла поворота вектора скорости в центрированной волне разрежения газа АН, 1) – b_* = 0; 2) – b_* = 0.1; 3) – b_* = 0.2; 4) – b_* = 0.3; 5) – b_* = 0.4; 6) – b_* = 0.5

 

Максимальный угол поворота потока ${\mathrm{\chi }}_{\max }$ определяется условием возникновения вакуума, ρ = 0. В совершенном газе (b_* = 0b_* = 0) величина ${\mathrm{\chi }}_{\max }$ составляет примерно ${\chi }_{\max }\approx 130°$. При увеличении параметра b_* значение ${\mathrm{\chi }}_{\max }$ уменьшается и при $b_{*}=0.5$ составляет, ${\chi }_{\max }\approx 102°$.

Заключение

Рассмотрены плоские сверхзвуковые течения невязкого газа, подчиняющиеся уравнению состояния АН. Получены формулы, связывающие параметры газа перед и после прямого и косого скачков уплотнения. Получено также решение задачи о течении газа АН в центрированной волне разрежения.

Определены переменные, при переходе к которым формулы для прямого скачка уплотнения принимают вид, совпадающий по форме с соответствующими формулами для совершенного газа. Установлено, что в случае слабых скачков течение газа АН, как и течение совершенного газа, можно считать изоэнтропическим с точностью до членов третьего порядка малости.

Найден максимальный угол поворота в косом скачке уплотнения для различных значений параметра $\overline{b}$, определяющего отличие газа АН от совершенного газа. Установлено, что в отличие от совершенного газа в изоэнтропическом течении газа АН отношение $p_2/p_1\to \infty$ при конечном значении отношения ${\mathrm{\rho }}_2/{\mathrm{\rho }}_1\to 1/\overline{b}$. Показано, что максимальный угол поворота потока в ударной волне уменьшается, а область дозвукового течения за скачком увеличивается с ростом значения $\overline{b}$. Получено, что максимальный угол разворота в центрированной волне разряжения также уменьшается при увеличении степени отличия газа АН от совершенного газа.

About the authors

M. A. Brutyan

Central Aerohydrodynamic Institute named after N.E. Zhukovsky; Moscow Institute of Physics and Technology

Author for correspondence.
Email: murad.brutyan@tsagi.ru
Russian Federation, Zhukovsky; Dolgoprudny

U. G. Ibragimov

Central Aerohydrodynamic Institute named after N.E. Zhukovsky

Email: umar.ibragimov94@yandex.ru
Russian Federation, Zhukovsky

M. A. Meniailov

Central Aerohydrodynamic Institute named after N.E. Zhukovsky

Email: mickmenn@yandex.ru
Russian Federation, Zhukovsky

References

Supplementary files