Systems of Inclusions in a Spatial Elastic Wedge

Full Text

1. Введение. Исследование задач для тел с включениями может иметь приложение в механике композитов. Большинство публикаций посвящено плоским задачам [1−6]. В различных постановках изучались задачи о периодических системах включений в упругой плоскости [1, 3]. Рассматривалось напряженно-деформированное состояние упругой полосы с упругим [2] или жестким [4] включением. Анализировались задачи в нелинейной постановке, содержащей граничные условия с неравенствами [5−8]. Периодические контактные задачи для систем включений близки к периодическим задачам о внедрении штампов [9−14]. Известны регулярные и сингулярные асимптотические решения осесимметричных задач о круглой пластинке в слое [4]. В пространственном случае точное решение задачи о жестком эллиптическом включении в неограниченном упругом теле было получено на основании результатов Л. А. Галина [4]. При помощи регулярного асимптотического метода, используя решение [4] в качестве нулевого приближения, изучались задачи о единичном плоском включении в трехмерном упругом однородном [15] и составном [16] клине, а также задача о периодической цепочке включений в клине с жестко заделанными гранями [14].

В отличие от интегральных уравнений [15], в настоящей статье ядра интегральных уравнений представлены в форме явной симметрии, обеспечивающей корректность при всех углах клина и предельный переход к соответствующим плоским задачам для единичного включения в клине. Преобразование ядер от скрытой [15] к явной форме симметрии осуществляется путем сдвига контура интегрирования [17]. Показано, что в случае бесконечной периодической прямолинейной цепочки включений в клине со скользящей заделкой граней ряды в интегральном уравнении сходятся, как и для случая жесткой заделки [14]. Для частного случая периодической системы включений в полупространстве при скользящей заделке границы ядро интегрального уравнения представлено в двух эквивалентных формах, одна из которых не содержит квадратур. Ранее две аналогичные формы ядра были получены в периодической задаче нормального контакта для упругого полупространства со скользящей заделкой по граничной полуплоскости [12].

2. Два включения в клине. Рассмотрим упругий клин $0\le r<\infty$, $-\alpha \le \phi \le \alpha$, $\left|z\right|<\infty$, ребро которого совпадает с осью z цилиндрической системы координат. Упругий материал характеризуется модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона v. В срединной полуплоскости клина расположены два тонких жестких включения, занимающих симметричные эллиптические области ${\Omega }_{\pm }=\{{(r-a)}^2/c^2+{(z\pm l)}^2/b^2\}\le 1$, $a>c$, $b\ge c$ (рис. 1). Между включениями и упругой средой в области контакта осуществляется полное сцепление. Внешние грани клина находятся в условиях жесткой или скользящей заделки (задачи A и B соответственно). К включениям приложены силы 2T, действующие в полуплоскости $\phi =0$ перпендикулярно ребру клина. Включения смещаются на величину $\delta$ в направлении действия сил. В силу симметрии по $\phi$ достаточно рассматривать область $\phi \in \left[\mathrm{0,}\alpha \right]$. В первом приближении в области контакта пренебрегаем напряжением ${\tau }_{\phi z}$ по сравнению с ${\tau }_{r\phi }$. Для единичного включения показано, что ${\tau }_{\phi z}=O({\tau }_{r\phi }/{\lambda }^2)$ при $\lambda \to \infty$, $\lambda =a/b$ [15]. Граничные условия задач имеют вид

$\begin{array}{l}\phi =0:u_r=\delta ,(r,z)\in \Omega ;{\tau }_{r\phi }=0(r,z)\notin \Omega ;u_{\phi }={\tau }_{\phi z}=0\\ \phi =\alpha :A)u_{\phi }=u_r=u_z=\mathrm{0,}B)u_{\phi }={\tau }_{r\phi }={\tau }_{\phi z}=0\end{array}$ (2.1)

При известных величинах $\alpha ,G,\nu ,\delta$ и заданных областях ${\Omega }_{\pm }$ требуется определить касательные контактные напряжения ${\tau }_{r\phi }\left(r\mathrm{,0,}z\right)=\tau (r,z)$, $(r,z)\in {\Omega }_{\pm }$. Затем можно найти величину T при помощи условия равновесия включений

$\underset{{\Omega }_{\pm }}{\iint }\tau (r,z)drdz=T$ (2.2)

 

Рис. 1. Эллиптические включения в клине

 

Для сведения краевых задач (2.1) к интегральным уравнениям используем известные фундаментальные решения и ядра интегральных уравнений соответствующих задач для единичного включения, полученные в форме скрытой симметрии по радиальной координате [15]. Переходя к форме явной симметрии ядер в соответствии с теоремой Бетти взаимности работ путем сдвига контура интегрирования [17, п. 2.9.3], учитывая симметрию задач по  и вводя новые обозначения

$\begin{array}{c}y=y^{\text{'}}+l,z=z^{\text{'}}+l\text{ , }\Omega =\left\{\right(r-\alpha )/c^2+z^2/b^2\le 1\},\theta =\kappa \text{/}{\kappa }_{\text{1}},\\ \kappa =3-4\nu ,{\kappa }_1=4-4\nu \end{array}$

и т. д., получим (штрихи далее опускаем)

$\underset{\Omega }{\iint }\tau (x,y)K(x,y,r,z)dxdy=2\pi G\delta ;(r,z)\in \Omega$ (2.3)

$K(x,y,r,z)=\frac{4\theta }{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\text{sh}\left(\pi u\right)W\left(u\right)K_{iu}\left(\beta x\right)K_{iu}\left(\beta r\right)C(\beta y,\beta z)dud\beta$

$W\left(u\right)=S_1\left(u\right)-{\kappa }^{-1}{S}_2\left(u\right)\left(x\frac{\partial }{\partial x}+r\frac{\partial }{\partial r}\right)-{\kappa }^{-2}{S}_3\left(u\right)xr\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial r}$

$C(\beta y,\beta z)=\cos \left(\beta \right(y-z\left)\right)+\cos \left(\beta \right(y+z+2l\left)\right)$

Здесь $K_{iu}\left(r\right)$ – цилиндрическая функция Бесселя [18, 19]. Для задачи A

$S_1\left(u\right)=\frac{f_{+}\left(u\right)}{g_{+}\left(u\right)}-S_3\left(u\right),S_2\left(u\right)=\frac{\text{sh(}2\alpha u\text{)}}{g_{+}\left(u\right)}-S_3\left(u\right),S_3\left(u\right)=\frac{{\text{4sh}}^{\text{2}}\text{(}\alpha u{\text{)sin}}^{\text{2}}\alpha }{g_{+}\left(u\right)f_{-}\left(u\right)}$,

а для задачи B

$S_1\left(u\right)=\frac{f_{-}\left(u\right)}{g_{-}\left(u\right)},S_2\left(u\right)=\frac{\text{sh(}2\alpha u\text{)}}{g_{-}\left(u\right)},S_3\left(u\right)=0$

$f_{\pm }\left(u\right)=\text{sh(}2\alpha u\text{)}\pm {\kappa }^{-1}u\sin \left(2\alpha \right),g_{\pm }\left(u\right)=\text{ch(}2\alpha u\text{)}\pm \cos \left(2\alpha \right)$

Для единичных эллиптических включений (задачи C и D соответственно для жесткой и скользящей заделки граней клина) в ядре (2.3) следует положить

$C(\beta y,\beta z)=\cos \left(\beta \right(y-z\left)\right)$ (2.4)

Форма ядер с явной симметрией по x, r гарантирует их корректность при всех углах клина. Пусть в уравнении (2.3), (2.4) область $\Omega$ – полоса $\{a\le r\le b,\left|z\right|<\infty \}$, $\tau (r,z)=\tau \left(r\right)$. Тогда, совершая предельный переход при $\beta \to 0$, используя теорию обобщенных функций [20], придем к интегральным уравнениям соответствующих плоских задач

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\tau \left(\rho \right)k\left(\ln \frac{\rho }{r}\right)d\rho =\pi G\delta$ $\left(a\le r\le b\right)$, $k\left(t\right)=\theta \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{L\left(u\right)}{u}\cos \text{ (}ut)du$ (2.5)

1. A) $L\left(u\right)=\frac{2{\text{ sh}}^2\left(\alpha u\right)-2{\kappa }^{-2}{u}^2{\sin }^2\alpha }{f_{-}\text{(}u)},$ B) $L\left(u\right)=\frac{f_{-}\left(u\right)}{g_{-}\left(u\right)}=S_1\left(u\right)$

Уравнения (2.5) можно вывести также при помощи интегрального преобразования Меллина. В пределе при $\alpha \to 0$, $\alpha u=t$ функция $L\left(u\right)$ для задачи B совпадает с известным символом ядра соответствующей задачи о включении в упругой полосе [4, формула (3.11)]. Функции $L\left(u\right)$ служат символами ядер интегральных уравнений (2.3) и (2.5). Важно, что эти функции по своему асимптотическому поведению в нуле и бесконечности являются функциями типа тангенса гиперболического. Исключением служит значение $\alpha =\pi$ в задаче B, когда $L\left(u\right)=\mathrm{cth}\left(\pi u\right)$ и ядро уравнения (2.3) при условии (2.4) соответствует случаю единичного эллиптического включения в упругом пространстве [4, формулы (1.16)], а ядро (2.5) – случаю включения в виде отрезка в упругой плоскости. В последнем случае интегральное уравнение (2.5) приводится к уравнению плоской контактной задачи о вдавливании жесткого штампа в упругую полуплоскость.

Ядро интегрального уравнения (2.3), (2.4) для задачи B при $\alpha =\pi /2$, используя известные интегралы ([17], формулы (109)), можно представить в виде

$K(x,y,r,z)=\frac{1}{R}-\frac{{(z-y)}^2}{{\kappa }_1{R}^3}-\frac{1}{R_{+}}+\frac{{(z-y)}^2}{{\kappa }_1{R}_{+}^3}$

$R=\sqrt{{(r-x)}^2+{(z-y)}^2},R_{+}=\sqrt{{(r+x)}^2+{(z-y)}^2}$,

что соответствует случаю двух симметричных включений в упругом пространстве, сдвигаемых в противоположных направлениях оси, проходящей через их центры [4].

Для пары симметричных включений в упругом пространстве, смещаемых в одном направлении перпендикулярно прямой, соединяющей их центры (задача B при $\alpha =\pi$), ядро уравнения (2.3) принимает форму [4]

$K(x,y,r,z)=\frac{1}{R}-\frac{{(z-y)}^2}{{\kappa }_1{R}^3}+\frac{1}{R_{\ast }}-\frac{{(z+y+2l)}^2}{{\kappa }_1{R}_{\ast }^3}$ (2.6)

$R_{\ast }=\sqrt{{(r-x)}^2+{(z+y+2l)}^2}$

Для решения интегрального уравнения (2.3) применим регулярный асимптотический метод [4]. Введем безразмерные величины

$\begin{array}{l}{r}^{\text{'}}=\frac{r-a}{b},z^{\text{'}}=\frac{z}{b},{\delta }^{\text{'}}=\frac{\delta }{b},c^{\text{'}}=\frac{c}{b},\lambda =\frac{a}{b},\mu =\frac{l}{b}\\ {\tau }^{\text{'}}(r^{\text{'}},z^{\text{'}})=\frac{\tau (r,z)}{G},T^{\text{'}}=\frac{T}{G{b}^2},\Omega \to {\Omega }^{\text{'}}\end{array}$ (2.7)

и т. д. (штрихи далее опускаем). Локация пары эллиптических включений в клине характеризуется параметрами $\lambda$ (относительная удаленность от ребра клина) и $\mu$ (относительное расстояние между включениями). Предположим, что эти параметры связаны соотношением

$\mu =\gamma \lambda ,\gamma =1/a$, (2.8)

и будем искать решение в виде разложения по степеням малого параметра 1/λ.

Запишем уравнение (2.3) в безразмерных обозначениях, выделяя в ядре главную часть (2.6), соответствующую включению в упругом пространстве:

$\underset{\Omega }{\iint }\tau (x,y)\left[\frac{1}{R}-\frac{{(z-y)}^2}{{\kappa }_1{R}^3}+K_{\ast }(x,y,r,z)\right]dxdy=2\pi \delta ;(r,z)\in \Omega$ (2.9)

$\begin{array}{c}{K}_{\ast }(x,y,r,z)=\frac{1}{R_0}-\frac{{(z_0+y_0)}^2}{{\kappa }_1{R}_0^3}+\\ +\frac{4\theta }{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\text{sh}\left(\pi u\right)W_0\left(u\right)K_{iu}\left(\beta x_0\right)K_{iu}\left(\beta r_0\right)C_0(\beta y,\beta z)dud\beta \end{array}$

$R_0=\sqrt{{(r-x)}^2+{(z_0+y_0)}^2},x_0=x+\lambda ,r_0=r+\lambda ,y_0=y+\gamma \lambda ,z_0=z+\gamma \lambda$

$W_0\left(u\right)=S_1^{\ast }\left(u\right)-{\kappa }^{-1}{S}_2^{\ast }\left(u\right)\left(x_0\frac{\partial }{\partial x}+r_0\frac{\partial }{\partial r}\right)-{\kappa }^{-2}{S}_3\left(u\right)x_0{r}_0\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial r}$

$C_0(\beta y,\beta z)=\cos \left(\beta \right(y-z\left)\right)+\cos \left(\beta \right(y_0+z_0\left)\right),S_n^{\ast }\left(u\right)=S_n\left(u\right)-\text{cth}\left(\pi u\right);n=\text{1,2}$

Разложим функцию $K_{\ast }(x,y,r,z)$ в ряд по степеням $1/\lambda$ при помощи значения интеграла [19]

$\begin{array}{c}\frac{4}{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{K}_{iu}\left(\beta x_0\right)K_{iu}\left(\beta r_0\right)\cos \left(\beta z\right)d\beta =\\ =\frac{1}{\sqrt{x_0{r}_0}\text{ch(}\pi u\text{)}}F\left(\frac{1}{2}-iu,\frac{1}{2}+iu\mathrm{,1};-\frac{{(r-x)}^2+z^2}{4x_0{r}_0}\right),\end{array}$

где $F(a,b,c,x)$ – гипергеометрическая функция Гаусса, и биномиальных рядов. Можно показать, что такое разложение сходится при достаточно больших $\lambda$ и определенных ограничениях на параметр $\gamma$. В частности, для пары круговых включений для сходимости достаточно наложить условия

$\lambda >\max \left(\frac{1}{1-\gamma },\sqrt{\frac{2}{1-{\gamma }^2}},\frac{1}{\alpha -\gamma },\sqrt{\frac{1+{\alpha }^2}{{\alpha }^2-{\gamma }^2}}\right)\text{; }\gamma <\min \left(\mathrm{1,}\alpha \right)$ (2.10)

Для единичного кругового включения (случай (2.4)) оценки (2.10) меняются на неравенство

$\lambda >\max \left(\sqrt{2},\sqrt{1+{\alpha }^{-2}}\right)$

Ограничиваясь первым членом разложения, получим ()

$K_{\ast }(x,y,r,z)=\frac{A}{\lambda }+O\left(\frac{1}{{\lambda }^2}\right);A=a_0+a_1+a_2$ (2.11)

Для пары включений

$a_0=\frac{\theta }{2\gamma },a_1=\theta \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\text{th}\left(\pi u\right)\left[S_1^{\ast }\left(u\right)+{\kappa }^{-1}{S}_2^{\ast }\left(u\right)-{\kappa }^{-2}{S}_3\left(u\right)\frac{3+4u^2}{8}\right]du$

$\begin{array}{c}{a}_2=\theta \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\text{th}\left(\pi u\right)\left[S_1^{\ast }\left(u\right)\sum _{n=0}^{\infty }{V}_n\left(u\right)+{\kappa }^{-1}{S}_2^{\ast }\left(u\right)\sum _{n=0}^{\infty }(1+2n)V_n\left(u\right)-\right.\\ \left.-{\kappa }^{-2}{S}_3\left(u\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{1}{4}+n+n^2-\frac{n}{2{\gamma }^2}\right)V_n\left(u\right)\right]du\end{array}$

$V_n\left(u\right)=\frac{{(-1)}^n}{{(n!)}^2}{\left(\frac{1}{2}-iu\right)}_n{\left(\frac{1}{2}+iu\right)}_n{\gamma }^{2n}$,

где ${\left(a\right)}_n$ – символ Похгаммера [18].

Для единичного включения (задачи C и D) в формулах (2.11) следует положить $a_0=a_2=0$.

Для эллиптической области $\Omega$ регулярное асимптотическое решение интегрального уравнения (2.9), (2.11) получим в виде $\text{(}\lambda \to \infty \text{)}$

$\tau (r,z)=\frac{\delta }{cDL(r,z)}\left[1-\frac{A}{\lambda D}+O\left(\frac{1}{{\lambda }^2}\right)\right],L(r,z)=\sqrt{1-\frac{r^2}{c^2}-z^2}$ (2.12)

$D=S_{00}-\frac{S_{10}}{{\kappa }_1},S_{00}=K,S_{10}=\frac{K-E}{e^2}$

$S_{km}=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{{\cos }^{2k}t{\sin }^{2m}t}{{(1-e^2{\sin }^{2}t)}^{k+m+1/2}}dt;e^2=1-c^2$,

где $K=K\left(e\right)$ и $E=E\left(e\right)$ – полные эллиптические интегралы.

На основе формул (2.12) найдем интегральную характеристику (2.2)

$T=\underset{\Omega }{\iint }\tau (x,y)dxdy=\frac{2\pi \delta }{D}{T}_0;T_0=1-\frac{A}{\lambda D}+O\left(\frac{1}{{\lambda }^2}\right)\text{; }\lambda \to \infty$ (2.13)

Асимптотики (2.12) и (2.13) эффективны как для пары включений, так и для единичного включения для относительно удаленных от ребра клина областей контакта.

3. Периодические системы включений. Пусть срединная полуплоскость клина $\phi =0$ контактирует с периодической системой тонких жестких эллиптических включений (полуоси эллипсов c и b, $b\ge c$), расположенных вдоль оси z (рис. 1). Ось цепочки удалена от ребра клина на расстояние $a>c$, период равен 21 ($l>b$). Грани клина подчинены условиям жесткой или скользящей заделки (задачи E и F соответственно). В размерных обозначениях периодические задачи сводятся к интегральному уравнению (2.3), в котором следует взять

$C(\beta y,\beta z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\cos \left(\beta \right(z-y+2kl\left)\right)$ (3.1)

Сходимость ряда в ядре уравнения (2.3), (3.1) обеспечивается поведением функций-символов $L\left(u\right)$ типа тангенса гиперболического, которые в задачах E и F такие же, как соответственно в задачах A, C и B, D. Исключим из рассмотрения значение $\alpha =\pi$ в задаче F, когда (периодическая система включений в упругом пространстве, ряд в ядре расходится). Значение $\alpha =\pi /2$ в задаче F ($L\left(u\right)=\mathrm{cth}(\pi u/2)$) соответствует самоуравновешенной системе двух параллельных периодических цепочек включений в упругом пространстве (рис. 2, условия скользящей заделки возникают на пунктирной линии). В этом случае ядро представляется сходящимся рядом

$K(x,y,r,z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{R_k}-\frac{{(z-y+2kl)}^2}{{\kappa }_1{R}_k^3}-\frac{1}{P_k}+\frac{{(z-y+2kl)}^2}{{\kappa }_1{P}_k^3}\right]$ (3.2)

$R_k=\sqrt{{(r-x)}^2+{(z-y+2kl)}^2},P_k=\sqrt{{(r+x)}^2+{(z-y+2kl)}^2}$

Для выделения главных членов ядра уравнения (2.3), (3.1) применим известную методику, основанную на замене тригонометрического ряда (3.1) рядом обобщенных функций [10, 12, 13, 20] и вычислении пределов и интегралов [18, 19]. В результате представим ядро в форме (C – постоянная Эйлера)

$\begin{array}{l}K(x,y,r,z)=\frac{1}{R}-\frac{{(z-y)}^2}{{\kappa }_1{R}^3}+\frac{\theta }{l}\ln \frac{|r-x|}{4l\left|\ln \right(r/x\left)\right|}+\frac{\theta C}{l}-\frac{1}{{\kappa }_{1}l}+\\ +\frac{\theta }{l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left\{\left[L\right(u)-1]\cos \left(u\ln \frac{r}{x}\right)+\exp (-u)\right\}\frac{du}{u}+\theta \sum _{k=1}^{\infty }\left[\frac{1}{R_k^{+}}+\frac{1}{R_k^{-}}-\frac{1}{kl}\right]+\\ +\frac{{(r-x)}^2}{{\kappa }_1}\sum _{k=1}^{\infty }\left[\frac{1}{{\left(R_k^{+}\right)}^3}+\frac{1}{{\left(R_k^{-}\right)}^3}\right]+\frac{4\theta }{\pi l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\text{sh(}\pi u\left)W_{\ast }\right(u)\sum \left(u\right)du\end{array}$

$R_k^{\pm }=\sqrt{{(r-x)}^2+{(z-y\pm 2kl)}^2}$ (3.3)

$W_{\ast }\left(u\right)=S_1^{\ast }\left(u\right)-{\kappa }^{-1}{S}_2^{\ast }\left(u\right)\left(x\frac{\partial }{\partial x}+r\frac{\partial }{\partial r}\right)-{\kappa }^{-2}{S}_3\left(u\right)xr\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial r}$

$\sum \left(u\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{K}_{iu}\left(\frac{\pi k}{l}x\right)K_{iu}\left(\frac{\pi k}{l}r\right)\cos \left(\frac{\pi k}{l}(z-y)\right)$

 

Рис. 2. Самоуравновешенная система двух параллельных периодических цепочек включений в упругом пространстве

 

В представлении (3.3) улучшена сходимость всех интегралов с учетом асимптотического поведения символов в бесконечности. Ядро (3.3) интегрального уравнения линейно-периодической задачи включает члены, входящие в ядра интегральных уравнений как пространственных, так и плоских контактных задач о включениях в клине; в пределе при $l\to \infty$ оно переходит в известное ядро для единичного включения. Логарифмическая особенность плоской задачи в формуле (3.3) при $r=x$ является устранимой ($x>0$):

$\underset{r\to x}{\lim }\ln \frac{|r-x|}{\left|\ln \right(r/x\left)\right|}=\ln \left|x\right|$ (3.4)

Проверку эквивалентности форм (3.2) и (3.3) для задачи F при $\alpha =\pi /2$ проведем, отбрасывая главные члены, в частном случае $r=x\ne \mathrm{0,}z=y,l=1$. При учете предела (3.4) и соотношений [19]

$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{K}_{iu}^2\left(x\right)du=\frac{\pi }{2}{K}_0\left(2x\right),\frac{d}{dx}{K}_0\left(x\right)=-K_1\left(x\right)$

можно численно убедиться в справедливости равенства

$\begin{array}{c}\ln \frac{x}{4}+C-\frac{1}{\kappa }+\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left[\text{th}\frac{\pi u}{\text{2}}-1+\exp (-u)\right]\frac{du}{u}-2\sum _{k=1}^{\infty }\left[K_0\left(2\pi kx\right)+\frac{4\pi kx}{\kappa }{K}_1\left(2\pi kx\right)\right]=\\ =-\frac{1}{2\theta x}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[\frac{1}{k}-\frac{k^2+{\theta }^{-1}{x}^2}{{(k^2+x^2)}^{3/2}}\right]\end{array}$

Для решения интегрального уравнения (2.3) с ядром (3.3) снова применим регулярный асимптотический метод [12−14], вводя безразмерные обозначения (2.7), (2.8). Придем к уравнению (2.9) с ядром (2.11), в котором следует положить

$\begin{array}{l}A=\frac{\theta }{\gamma }\ln \frac{1}{4\gamma }+\frac{\theta C}{\gamma }-\frac{1}{{\kappa }_1\gamma }+\frac{\theta }{\gamma }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left[L\right(u)-1+\exp (-u\left)\right]\frac{du}{u}-\\ -\frac{2\theta }{\pi \gamma }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\text{sh(}\pi u)\cos \left(ut\right)\cos \left(us\right)\left[S_1^{\ast }\left(u\right)\frac{\exp (-\frac{\pi }{\gamma }(\mathrm{ch}t+\mathrm{ch}s\left)\right)-1}{\text{ch}\left(\frac{\pi }{\gamma }\right(\mathrm{ch}t+\mathrm{ch}s\left)\right)-1}-\right.\\ -\frac{\pi }{\gamma \kappa }{S}_2^{\ast }\left(u\right)\frac{\mathrm{ch}t+\mathrm{ch}s}{\text{ch}\left(\frac{\pi }{\gamma }\right(\mathrm{ch}t+\mathrm{ch}s\left)\right)-1}+\left.\frac{{\pi }^2}{{\gamma }^2{\kappa }^2}{S}_3\left(u\right)\frac{\text{sh}\left(\frac{\pi }{\gamma }\right(\mathrm{ch}t+\mathrm{ch}s\left)\right)\mathrm{ch}t\mathrm{ch}s}{{\text{[ch}\left(\frac{\pi }{\gamma }\right(\mathrm{ch}t+\mathrm{ch}s\left)\right)-1]}^2}\right]dtdsdu\end{array}$

В результате получим асимптотики вида (2.12) и (2.13), справедливые при достаточно больших значениях $\lambda$.

4. Численный анализ. В табл. 1 для разных углов клина 2α приведены значения величины A в асимптотиках (2.12), (2.13) для шести задач, рассчитанные при $\nu =0.25$ (для задач A, B и E, F брали $\gamma =0.5$). В табл. 2 даны значения приведенной интегральной характеристики $T_0$ (2.13), рассчитанные для круговых включений при $\nu =0.25$, $c=1$, $\lambda =4$ и разных $\gamma$. Значение $T_0=1$ при $\lambda \to \infty$ соответствует единичному включению в упругом пространстве (задача D при $\alpha =\pi$). При сближении включений в задачах A, B и E, F (уменьшении $\gamma$) значение сдвигающей силы уменьшается. При жесткой заделке граней клина (задачи A, C и E) включения сдвинуть труднее, чем в соответствующих случаях при скользящей заделке (задачи B, D и F). Как видно из табл. 2, периодическую систему включений (задачи E и F) сдвинуть легче, чем пару включений (задачи A и В), которую, в свою очередь, легче сместить, чем единичное включение (задачи C и D). Как показывают расчеты, эллиптические включения ($c<1$) сдвинуть легче, чем круговые ($c=1$). В табл. 3 для четырех задач приведены значения $T_0$ при различных коэффициентах Пуассона v ($\alpha =\pi /2$, $c=1$, $\lambda =4$). Требуемая для сдвига включений сила возрастает с ростом . Как видно из табл. 3, для несжимаемого материала периодическую систему включений сдвинуть труднее, чем пару включений, хотя для сжимаемого материала ситуация противоположная. В первом приближении концентрация напряжений на границе сопряжения клина с включением, описываемая коэффициентом при корневой особенности в асимптотическом разложении (2.12), снижается с увеличением числа или плотности включений и повышается при росте коэффициента Пуассона, а также при уменьшении угла клина.

 

Таблица 1. Значения величины A в асимптотиках (2.12), (2.13) при $\mathit{\nu }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{25}$

Задача	A	B	C	D	E	F
$\alpha =\pi /4$	−0.805	−0.615	−0.895	−0.736	−0.693	−0.564
$\alpha =\pi /2$	−0.376	−0.251	−0.583	−0.500	−0.0638	0.103
$\alpha =3\pi /4$	−0.0757	0.196	−0.398	−0.249	0.478	1.790
$\alpha =\pi$	0.0667	0.667	−0.318	0	1.027	–

 

Таблица 2. Значения величины ${\mathit{T}}_{\mathbf{0}}$ (2.13) при $\mathit{\lambda }\mathbf{=}\mathbf{4}$, $\mathit{c}\mathbf{=}\mathbf{1}$, $\mathit{\nu }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{25}$

Задача	A	B	C	D	E	F
$\gamma =0.5$
$\alpha =\pi /4$	1.153	1.117	1.171	1.141	1.132	1.108
$\alpha =\pi /2$	1.072	1.048	1.111	1.095	1.012	0.980
$\alpha =3\pi /4$	1.014	0.963	1.076	1.048	0.909	0.658
$\alpha =\pi$	0.987	0.873	1.061	1.000	0.804	–
$\gamma =0.4$
$\alpha =\pi /4$	1.137	1.096	1.171	1.141	1.094	1.063
$\alpha =\pi /2$	1.047	1.021	1.111	1.095	0.944	0.904
$\alpha =3\pi /4$	0.986	0.932	1.076	1.048	0.815	0.502
$\alpha =\pi$	0.958	0.841	1.061	1.000	0.684	–

 

Таблица 3. Значения величины ${\mathit{T}}_{\mathbf{0}}$ при $\mathit{\lambda }\mathbf{=}\mathbf{4}$, $\mathit{c}\mathbf{=}\mathbf{1}$, $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{2}$ и разных v

v	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
Задача A	1.043	1.052	1.064	1.082	1.111	1.165
Задача B	1.032	1.037	1.044	1.053	1.066	1.085
Задача E	0.949	0.968	0.995	1.033	1.092	1.195
Задача F	0.933	0.949	0.968	0.995	1.032	1.090

 

Заключение. Показана связь интегральных уравнений пространственных и плоских задач о включениях в упругом клине. В пространственном случае важно привести ядра интегральных уравнений к симметричной форме по радиальной координате. Закрепление граней пространственного упругого клина жесткой или скользящей заделкой позволяет получить корректные интегральные уравнения задач линейно-периодического контакта жестких включений с упругим материалом в срединной полуплоскости клина. Структура ядер интегральных уравнений пространственных линейно-периодических задач о системах включений в клине аналогична структуре ядра интегрального уравнения контактной задачи о вдавливании периодической системы штампов в грань клина, другая грань которого жестко заделана [12, 13].

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-21-00014, https://rscf.ru/project/24-21-00014/.

About the authors

E. D. Pozharskaya

Don State Technical University

Email: pozharda@rambler.ru
Russian Federation, Rostov-on-Don

D. A. Pozharsky

Don State Technical University

Author for correspondence.
Email: pozharda@rambler.ru
Russian Federation, Rostov-on-Don

B. V. Sobol

Don State Technical University

Email: pozharda@rambler.ru
Russian Federation, Rostov-on-Don

References

Supplementary files