Агрегирование многомерных консервативных систем с колебаниями

Полный текст

Введение. Агрегирование проводится для получения связанной системы с заданным свойством. Способы агрегирования сложных систем методом Ляпунова приводятся в [1]. В [2] для модели, содержащей слабо связанные подсистемы, предложено находить связи-управления, гарантирующие существование, устойчивость и стабилизацию колебания связанной системы. Тем самым задача агрегирования приводится к задаче управления. Идея [2] реализовывалась для механических систем в [3—6]. Агрегирование индентичных обратимых систем с одной степенью свободы, которые в частном случае являются консервативными, проводилось в [4]: в связанной системе конструировался притягивающий цикл. Предполагалось, что отдельная система обладает семейством невырожденных симметричных периодических движений (СПД). Поэтому множество этих систем, рассматриваемое как единая механическая система, также допускает семейство невырожденных СПД. В данной статье результаты [4] распространяются на случай многомерных консервативных систем.

Связанные системы исследуются в различных областях знаний. Классическим примером в механике является симпатический маятник Зоммерфельда. Некоторые другие примеры см. в [7—11].

1. Постановка задачи. Рассматривается система из m консервативных систем, описываемых уравнениями Лагранжа второго рода: в i-й системе для вектора обобщенных координат применяется обозначение $q^i={(q_1^i,\dots ,q_{n_i}^i)}^{\text{T}}$. Предполагается, что отдельная система допускает одночастотное колебание.

Фазовое пространство отдельной консервативной системы симметрично относительно неподвижного множества системы $M^i=\{q^i,{\dot{q}}^i:{\dot{q}}^i=0\}$. Скорость ${\dot{q}}^i$ на $M^i$ обращается в нуль, а само движение симметрично относительно $M^i$ и представляет собой СПД, которые образуют семейства ${\Sigma }^i\left(h_i\right)$ по параметру $h_i$. СПД описывается четной по времени функцией. Параметр $h_i$ является постоянной интеграла полной механической энергии в i-й консервативной системе. Для невырожденных СПД период монотонно зависит от $h_i$. Задается семейство ${\Sigma }^i\left(h_i\right)$ невырожденных СПД.

Предполагается, что совокупность из m систем, рассматриваемая как одна система, допускает семейство $\Sigma \left(h\right)$ невырожденных СПД, параметром которого будет постоянная $h=h_1+\dots +h_m$ интеграла энергии всей системы. Через $T\left(h\right)$ обозначим период СПД на $\Sigma \left(h\right)$, а через $T^i\left(h_i\right)$ — периоды на ${\Sigma }^i\left(h_i\right)$. Существование $\Sigma \left(h\right)$ означает, что верны равенства $h_i=h_i\left(h\right)$, $T^i\left(h_i\right(h\left)\right)=T\left(h\right)$. В частном случае идентичных подсистем приведенные равенства выполняются очевидным образом. В [4] проведено агрегирование идентичных консервативных системы с одной степенью свободы.

Отдельная управляемая механическая система, обладающая орбитально асимптотически устойчивым циклом, построена в [12, 13]. При этом система замыкалась управлением с -малым коэффициентом усиления и стабилизируемое колебание было -близко к колебанию механической системы. Для множества механических систем малая сила становится в [3—6] слабой связью-управлением.

Ставится задача агрегирования рассматриваемых консервативных систем в связанную систему с притягивающим циклом, близким к колебанию несвязанных систем. Находятся универсальные связи-управления между системами, которые пригодны для любой механической системы. При этом предполагается, что характеристические показатели семейств СПД принадлежат мнимой оси.

2. Метод решения. Рассмотрим управляемую механическую систему, включающую m консервативных механических систем, и запишем ее в виде

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L^i}{\partial {\dot{q}}_s^i}-\frac{\partial L^i}{\partial q_s^i}=\epsilon \sigma u_s^i(q,\dot{q}),s=\overline{\mathrm{1,}{n}_i},i=\overline{\mathrm{1,}m},$ (2.1)

где $L^i$ — Лагранжиан i-й системы, $u^i={(u_1^i,\dots ,u_{n_i}^i)}^{\text{T}}$ — вектор ее управления, при этом число σ равняется +1 или -1. Поскольку в связанной системе (2.1) рабочим режимом предполагается иметь притягивающий цикл, то функции $u_s^i(q,\dot{q})$ выбираются не зависящими явно от времени t. Сам цикл, по определению, представляет собой изолированное периодическое решение автономной системы.

В развиваемом подходе к агрегированию множество из m несвязанных консервативных механических систем рассматривается как одна консервативная система, допускающая семейство СПД $\mathrm{\Sigma }\left(h\right)$. При этом цикл рождается из СПД семейства $\mathrm{\Sigma }\left(h\right)$ при энергии $h=h^{*}$. Поэтому для системы (2.1) выбираются связи-управления

$\begin{array}{c}{u}_s^i=\left[1-K\left(h^{*}\right)\sum _{i=1}^m\sum _{s=1}^{n_i}{\left(q_s^i\right)}^2\right]\sum _{j=1}^{n_i}{r}_{sj}^i{\dot{q}}_j^i,\\ r_{sj}^i=\text{const},i=\overline{\mathrm{1,}m},s=\overline{\mathrm{1,}{n}_i},\end{array}$ (2.2)

которые представляют собой обобщение связей-управлений в [4] и в случае отдельной консервативной системы превращаются просто в управление [12—14].

Зависимость K(h) является характеристикой семейства Σ и определяется из тождества

$\underset{0}{\overset{T\left(h\right)}{\int }}\left[1-K\left(h\right)\sum _{i=1}^m\sum _{s=1}^{n_i}{\left(q_s^i\right)}^2\right]\sum _{i=1}^m\sum _{s,j=1}^{n_i}{r}_{sj}^i{\dot{q}}_j^i{\psi }_j^{i}dt\equiv \mathrm{0,}$ (2.3)

где ${\mathrm{\psi }}_j^i$ — решения сопряженной системы для уравнений в вариациях. При этом для консервативной системы в силу симметричности матрицы уравнений в вариациях для СПД решения сопряженной системы удовлетворяют равенствам ${\mathrm{\psi }}_j^i=-{\dot{q}}_j^i$, $i=\overline{\mathrm{1,}m}$, $j=\overline{\mathrm{1,}{n}_i}$.

Изменение обобщенных координат $q^i$ на семействе Σ(h) дается функцией $q^i={\phi }^i(h,t)$. Поэтому из тождества (2.3) с учетом равенства нулю нечетной функции ${\dot{\phi }}_j^i$ на концах интервала интегрирования получим:

$K\left(h\right)=\frac{{\displaystyle \underset{0}{\overset{T\left(h\right)}{\int }}\theta (h,t)dt}}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{T\left(h\right)}{\int }}\theta (h,t)\sum _{i=1}^m\sum _{s=1}^{n_i}{\left({\phi }_s^i\right)}^{2}dt}},\theta =-\sum _{i=1}^m\sum _{s,j=1}^{n_i}{r}_{sj}^i{\left({\dot{\phi }}_j^i\right)}^2.$

С применением функции K(h) из тождества (2.3) выводится амплитудное уравнение

$I\left(h\right)\equiv \underset{0}{\overset{T\left(h^{*}\right)}{\int }}\left[1-K\left(h^{*}\right)\sum _{i=1}^m\sum _{s=1}^{n_i}\left({\phi }_s^i\right(h,t){)}^2\right]\theta (h,t)dt=\mathrm{0,}$ (2.4)

дающее необходимое условие в первом приближении по существования T(h^*)-периодического решения системы (2.1), (2.2). Колебание рождается из СПД семейства Σ(h) при h = h*. Вычислим производную

$\frac{dI\left(h^{*}\right)}{dh}=\chi \nu ,\chi =\frac{dK\left(h^{*}\right)}{dh},\nu =-\underset{0}{\overset{T\left(h^{*}\right)}{\int }}\theta (h^{*},t)dt.$ (2.5)

Тогда достаточное условие существования изолированного T(h^*)-периодического решения дается неравенством $\chi \ne 0$. В этом случае из СПД рождается едиственное колебание — цикл.

В [13] доказывается, что для отдельной системы выбором надлежащей матрицы $||r_{sj}^i||$ всегда реализуется орбитально асимптотически устойчивый цикл. При этом в управлении (2.2) в зависимости от знака производной $\chi$ используется множитель $\mathrm{\sigma }=1$ при $\chi <0$ или $\sigma =-1$ при $\chi >0$.

Заметим, что в связанной системе в (2.2) задается матрица $||r_{sj}^i||$ для каждой системы, а также реализуется связь между всеми системами (суммирование по индексу i). При этом как к отдельной консервативной системе, так и ко всей связанной системе применяется закон изменения полной механической энергии.

3. Законы изменения энергии. Полная механическая энергия в i-й системе меняется по закону

$\frac{d{E}^i}{dt}=\epsilon \sigma \left[1-K\left(h^{*}\right)\sum _{i=1}^m\sum _{s=1}^{n_i}{\left(q_s^i\right)}^2\right]\sum _{s,j=1}^{n_i}{r}_{sj}^i{\left({\dot{q}}_j^i\right)}^2,i=\overline{\mathrm{1,}m}.$ (3.1)

Как следствие, из (3.1) выводится закон изменения энергии всего множества консервативных систем:

$\frac{dE}{dt}=\epsilon \sigma \left[1-K\left(h^{*}\right)\sum _{i=1}^m\sum _{s=1}^{n_s}{\left(q_s^i\right)}^2\right]\sum _{i=1}^m\sum _{s,j=1}^{n_s}{r}_{sj}^i{\left({\dot{q}}_j^i\right)}^2.$ (3.2)

Тогда при малых h − h* из формул (2.4), (2.5), (3.2) вычисляется приращение ΔE полной энергии E за период T(h^*):

$\Delta E=\epsilon \sigma \chi \nu (h-h^{*})+o\left(\epsilon \right).$ (3.3)

Выберем в связях-управляниях (2.2) положительно-определенные матрицы $||r_{sj}^i||$. Тогда функция $\mathrm{\theta }(h,t)$ в (2.4) принимает только отрицательные значения. Поэтому интеграл от этой функции, т.е. число ν в (2.5), будет положительным. Соотвественно в (3.3) выполняется ν › 0. Согласно формуле (3.2), достаточным условием существования цикла является неравенство $\chi \ne 0$. Поэтому, выбирая знак числа σ так, чтобы выполнялось неравенство $\sigma \chi <0$, получаем отрицательное приращение ΔE полной механической энергии на периоде T(h^*).

Таким образом, положительно-определенные матрицы $||r_{sj}^i||$ и необходимый знак числа σ позволяют на траекториях системы (2.1), (2.2) все время уменьшать приращение энергии ΔE на отрезке [0, T(h^*)]. В соответствии с законами (3.1) формула вида (3.3) справедлива также для приращений ΔEⁱ энергий Eⁱ.

Рассмотрим отображение $\tau :0\to T\left(h^{*}\right)$. В δ-окрестности цикла выполняется $|h-h^{*}|<\delta$, $|h_i-h_i^{*}|<\delta ,$ $i=\overline{\mathrm{1,}m}$. Неравенства сохраняют справедливость при отображении. Поэтому $\mathrm{\Delta }E\to 0$, $\mathrm{\Delta }{E}^i\to 0$, $i=\overline{\mathrm{1,}m}$. Значит, средние значения в пределе равняются нулю. Предельные функции получаются T(h^*)-периодическими, их средние значения равны постоянным интегралов для цикла.

4. Стабилизация цикла. Согласно [14, лемма П1], в многомерной системе можно выделить многообразие ${\hat{\mathrm{\Sigma }}}^i$, соответствующее консервативной механической системе с одной степенью свободы, на котором собственно и реализуется семейство ${\mathrm{\Sigma }}^i\left(h_i\right)$. В окрестности ${\hat{\mathrm{\Sigma }}}^i$ механическая система описывается в обобщенных координатах переменными (xⁱ ,yⁱ), где координатой xⁱ задается семейство ${\mathrm{\Sigma }}^i\left(h_i\right):y\equiv 0$: на ${\hat{\mathrm{\Sigma }}}^i$. Поэтому $E^i=E_x^i+E_y^i$, где $E_x^i$ — энергия консервативной системы.

При отображении τ приращения этих функций $\mathrm{\Delta }{E}^i\to 0$, $\mathrm{\Delta }{E}_x^i\to 0$, $\mathrm{\Delta }{E}_y^i\to 0$, причем предельные функции $E^i$ и $E_x^i$ будут T(h^*)-периодическими. В случае принадлежности характеристических показателей мнимой оси функция $E_y^i$ в окрестности точки $(y,\dot{y})=\left(\mathrm{0,0}\right)$ будет положительно-определенной. Поэтому из предельного перехода $\mathrm{\Delta }{E}_y^i\to 0$ следует, что $E_y^i\to 0$. Следовательно, орбитально асимптотически устойчивый цикл связанной системы (2.1), (2.2) дается предельными замкнутыми кривыми на плоскостях $(x^i,{\dot{x}}^i)$, $i=\overline{\mathrm{1,}m}$.

Таким образом, получается следующий основной результат. Пусть множество из m консервативных систем, рассматриваемое как одна система, допускает семейство невырожденных симметричных периодических движений. Тогда задача агрегирования множества в связанную систему, допускающую притягивающий цикл, решается связями-управлениями (2.2) с положительно-определенными квадратичными формами, задаваемыми матрицами $||r_{sj}^i||$.

Замечание 1. При действии найденных связующих управлений осуществляется естественная стабилизация цикла связанной механической системы.

Замечание 2. В силу рождения цикла из СПД семейства Σ(h) в связанной системе (2.1), (2.2) выполняется синхронизация колебаний консервативных систем по частоте и фазе.

Замечание 3. В частном случае консервативных систем с одной степенью свободы результат излагался в [3, 4].

Пример. Связанные уравнения Дюффинга. Нелинейные колебания точки упругого тела описываются уравнением Дюффинга. В дискретной модели получается система слабо связанных точек. Поэтому, согласно основному результату, при учете связи между точками упругое тело колеблется как одно целое в режиме притягивающего цикла.

Заключение. Множество многомерных консервативных систем, которое как одно целое допускает семейство одночастотных колебаний, агрегируется в связанную систему с притягивающим циклом. Используются универсальные связи-управления, пригодные для отдельной системы и множества систем, систем с одной и многими степенями свободы, консервативных и обратимых механических систем. При этом цикл связанной системы получается близким к колебанию множества несвязанных систем.

Об авторах

И. Н. Барабанов

Автор, ответственный за переписку.
Email: ivbar@ipu.ru
Россия, Москва

В. Н. Тхай

Email: tkhaivn@ipu.ru
Россия, Москва

Список литературы

Дополнительные файлы