A contribution of the generalized bochner technique to the geometry of complete minimal submanifolds

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, based on methods of the Bochner technique, which is an important part of the geometric analysis, we establish conditions under which minimal and stable minimal submanifolds in Riemannian manifolds are characterized as totally geodesic submanifolds.

About the authors

Sergey E. Stepanov

Russian Institute for Scientific and Technical Information of the Russian Academy of Sciences; Financial University under the Government of the Russian Federation

Author for correspondence.
Email: s.e.stepanov@mail.ru
Russian Federation, Moscow; Moscow

Irina I. Tsyganok

Financial University under the Government of the Russian Federation

Email: i.i.tsyganok@mail.ru
Russian Federation, Moscow

References

  1. Григорьян А. А. Стохастически полные многообразия и суммируемые гармонические функции// Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1988. — 52, № 5. — С. 1102–1108.
  2. Степанов С. Е., Цыганок И. И. Поточечное ортогональное расщепление пространства TT-тензоров//Диффер. геом. многообр. фигур. — 2023. — 54, № 2. — С. 45–53.
  3. Besse A. Einstein Manifolds. — Berlin: Springer, 1987.
  4. Carlotto A. The general relativistic constraint equations// Living Rev. Relativ. — 2021. — 24.—2.
  5. do Carmo M. P., Chern S. S., Kobayashi S. Minimal submanifolds of a sphere with second fundamental form of constant length// in: Functional Analysis and Related Fields (Browder F. E., ed.). — Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, 1970. — P. 59–75.
  6. Catino G., Mastrolia P., Roncoroni A. Two rigidity results for stable minimal hypersurfaces// Geom. Funct. Anal. — 2024. — 34. — P. 1–18.
  7. Chen B.-Y. Riemannian submanifolds// in: Handbook of Differential Geometry. Vol. 1 (Dillen F. J. E., Verstraelen L. C. A., eds.). — Amsterdam: North Holland, 2000. — P. 187–418.
  8. Cheng S. Y., Yau S.-T. Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications//Commun. Pure Appl. Math. — 1975. — 28, № 3. — P. 333–354.
  9. Eisenhart L. P. Symmetric tensor of the second order whose first covariant derivatives are zero// Trans. Am. Math. Soc. — 1923. — 25, № 2. — P. 297–306.
  10. Fu H.-P., Xu G.-B., Tao Y.-Q. Some remarks on Riemannian manifolds with parallel Cotton tensor//Kodai Math. J. — 2019. — 42, № 1. — P. 64–74.
  11. Grigor’yan A. Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds// Bull. Am. Math. Soc. — 1999. — 36, № 2. — P. 135–249.
  12. Li P., Wang J. Stable minimal hypersurfaces in a non-negatively curved manifold// J. Reine Angew. Math.— 2004. — 566. — P. 215–230.
  13. Mikeš J., Stepanov S. What is the Bochner technique and where is it applied// Lobachevskii J. Math. —2022. — 43, № 4. — P. 709–719.
  14. Petersen P. Riemannian Geometry. — Cham: Springer, 2016.
  15. Pierzchalski A. Gradients: The ellipticity and the elliptic boundary conditions — a jigsaw puzzle// Folia Math. — 2017. — 19, № 1. — P. 65–83.
  16. Pigola S.,RigoliM., SettiA.G.Vanishing and Finiteness Results in Geometric Analysis. A Generalization of the Bochner Technique. — Basel–Boston–Berlin: Birkhäuser, 2008.
  17. Shandra I. G., Stepanov S. E., MikešJ.On higher-order Codazzi tensors on complete Riemannian mani-folds// Ann. Glob. Anal. Geom. — 2019. — 56. — P. 429–442.
  18. Simons J. Minimal varieties in Riemannian manifolds// Ann. Math. — 1968. — 88, № 1. — P. 62–105.
  19. Yau S.-T. Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifold and their applications to geometry// Indiana Univ. Math. J. — 1976. — 25, № 7. — P. 659–670.
  20. Yau S.-T. Erratum: Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifold and their applications to geometry// Indiana Univ. Math. J. — 1982. — 31, № 4. — P. 607–607.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Степанов С.E., Цыганок И.I.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».