Centrally essential rings and semirings

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this survey, we systematically examine rings and semirings that are either commutative or satisfy the following condition: for any noncentral element a, there exist nonzero central elements x and y such that ax = y.

About the authors

A. A. Tuganbaev

Национальный исследовательский университет «МЭИ»; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Author for correspondence.
Email: tuganbaev@gmail.com
Russian Federation, Москва; Москва

References

  1. Дубровин Н. И. Рациональные замыкания групповых колец левоупорядоченных групп// Мат. сб. — 1993. — 184, № 7. — С. 3–48.
  2. Елизаров В. П. О теоремах Голди// Сиб. мат. ж. — 1969. — 10, № 1. — С. 58–63.
  3. Злыднев Д. В. Кольца частных колец с большим центром// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. мех. — 2014. — № 2. — С. 25–30.
  4. Марков В. Т., Туганбаев А. А. Центрально существенные кольца// Дискр. мат. — 2018. — 30, № 2. — С. 55–61.
  5. Марков В. Т., Туганбаев А. А. Центрально существенные кольца, которые не обязательно унитальны или ассоциативны// Дискрет. матем. — 2018. — 30, № 4. — С. 42–47.
  6. Туганбаев А. А. Алгебры кватернионов над коммутативными кольцами// Мат. заметки. — 1993. — 53, № 2. — С. 126–131.
  7. Туганбаев А. А. Дистрибутивные полупервичные кольца// Мат. заметки. — 1995. — 58, № 5. — С. 736–761.
  8. Чередникова А. В. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3// Мат. заметки. — 1998. — 63, № 5. — С. 763–773.
  9. Albert A. A. Quadratic forms permitting composition// Ann. Math. — 1942. — 43, № 1. — P. 161–177.
  10. Amitsur S. A. Radicals of polynomial rings// Can. J. Math. — 1956. — 8. — P. 355–361.
  11. Bourbaki N. Algebra I: Chapters 1–3. — Berlin–Heidelberg: Springer-Verlag, 1989.
  12. Brown R. B. On generalized Cayley–Dickson algebras// Pac. J. Math. — 1967. — 20, № 3. — P. 415–422.
  13. Brown K. A. On zero divisors in group rings// Bull. London Math. Soc. — 1976. — 8, № 3. — P. 251–256.
  14. Brown K. A. Quotient rings of group rings// Compos. Math. — 1978. — 36, № 3. — P. 243–254.
  15. Camillo V. Distributive modules// J. Algebra. — 1975. — 36, № 1. — P. 16–25.
  16. Clifford A. H., Prieston G. B. The Algebraic Theory of Semigroups. — Providence, Rhode Island: Am. Math. Soc., 1961.
  17. Corner A. L. S., G¨obel R. Prescribing endomorphism algebras, a unified treatmend// Proc. London Math. Soc. — 1985. — 50, № 3. — P. 447–479.
  18. Dicman A. P. On p-groups// Dokl. Akad. Nauk SSSR. — 1937. — 15. — P. 71–76.
  19. Drozd Y. A., Kirichenko V. V. Finite Dimensional Algebras. — Berlin–Heidelberg: Springer-Verlag, 1994.
  20. Dugas M., G¨obel R. Every cotorsion-free algebra is an endomorphism algebra// Math. Z. — 1982. — 181, № 4. — P. 451–470.
  21. Faticoni T. G. Direct Sum Decompositions of Torsion-Free Finite Rank Groups. — New York: Chapman and Hall/CRC, 2007.
  22. Flaut C. Divison algebras with dimension 2 t , t∈ ℕ// An. S，tiint. Univ. “Ovidius” Constant，a. Ser. Mat. — 2006. — 13, № 2. — P. 31–38.
  23. Flaut C., Shpakivskyi V. Some identities in algebras obtained by the Cayley–Dickson process// Adv. Appl. Clifford Algebras. — 2013. — 23, № 1. — P. 63–76.
  24. Flaut C., Ştefănescu M. Some equations over generalized quaternion and octonion division algebras// Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roum. — 2009. — 52 (100), № 4. — P. 427–439.
  25. Fuchs L. Abelian Groups. — Springer Cham, 2015.
  26. The GAP Group. GAP – Groups, Algorithms, Programming – a System for Computational Discrete Algebra, https://www.gap-system.org.
  27. Golan J. S. Semirings and Their Applications. — Dordrecht–Boston–London: Springer, 1999.
  28. Goodearl K. R. Von Neumann Regular Rings. — London: Pitman, 1979.
  29. Hall M. The Theory of Groups. — New York: MacMillan, 1959.
  30. Hebisch U., Weinert H. J. Semirings: Algebraic Theory and Application in Computer Science. — Singapore: World Scientific.
  31. Herstein I. N. Noncommutative Rings. — Am. Math. Soc., 2005.
  32. Herstein I. N., Small L. W. Rings of quotients of group algebras// J. Algebra. — 1971. — 19, № 2. — P. 153–155.
  33. Jelisiejew J. On commutativity of ideal extensions// Commun. Algebra. — 2016. — 44, № 5. — P. 1931– 1940.
  34. Jensen C. U. A remark on arithmetical rings// Proc. Am. Math. Soc. — 1964. — 15, № 6. — P. 951–954.
  35. Kaplansky I., Berberian S. K. Rings of Operators. — New York: Benjamin, 1968.
  36. Krylov P. A., Mikhalev A. V., Tuganbaev A. A. Endomorphism Rings of Abelian Groups. — Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Pubishers, 2003.
  37. Lam T. Y. A First Course in Noncommutative Rings. — New York: Springer-Verlag, 2001.
  38. Lambek J. Lectures on Rings and Modules. — Am. Math. Soc., 2009.
  39. Lyubimtsev O. V., Tuganbaev A. A. Centrally essential endomorphism rings of abelian groups// Commun. Algebra. — 2020. — 48, № 3. — P. 1249–1256.
  40. Lyubimtsev O. V., Tuganbaev A. A. Centrally essential torsion-free rings of finite rank// Beitr. Algebra Geom. — 2021. — 62, № 3. — P. 615–622.
  41. Lyubimtsev O. V., Tuganbaev A. A. Centrally essential group algebras and classical rings of fractions// Lobachevskii J. Math. — 2021. — 42, № 12. — P. 2890–2894.
  42. Lyubimtsev O. V., Tuganbaev A. A. Centrally essential semirings// Lobachevskii J. Math. — 2022. — 43, № 3. — P. 653–658.
  43. Lyubimtsev O. V., Tuganbaev A. A. Local centrally essential subalgebras of rriangular algebras// Lin. Multilin. Algebra. — 2022. — 70, № 13. — P. 2415–2424.
  44. Lyubimtsev O. V., Tuganbaev A. A. Centrally essential semigroup algebras/ arXiv: abs/2204.10518.
  45. Lyubimtsev O. V., Tuganbaev A. A. Ideals and Factor Rings of Centrally Essential Rings/ arXiv: abs/2204.10507.
  46. Markov V. T., Tuganbaev A. A. Centrally essential group algebras// J. Algebra. — 2018. — 512, № 15. — P. 109–118.
  47. Markov V. T., Tuganbaev A. A. Rings essential over their centers// Commun. Algebra. — 2019. — 47, № 4. — P. 1642–1649.
  48. Markov V. T., Tuganbaev A. A. Rings with polynomial identity and centrally essential rings// Beitr. Algebra Geom. — 2019. — 60, № 4. — P. 657–661.
  49. Markov V. T., Tuganbaev A. A. Cayley–Dickson process and centrally essential rings// J. Algebra Appl. — 2020. — 19, № 5. — P. 1950229.1–1950229.10.
  50. Markov V. T., Tuganbaev A. A. Uniserial Artinian centrally essential rings// Beitr. Algebra Geom. — 2020. — 61, № 1. — P. 23–33.
  51. Markov V. T., Tuganbaev A. A. Constructions of centrally essential rings// Commun. Algebra. — 2020. — 48, № 1. — P. 198–203.
  52. Markov V. T., Tuganbaev A. A. Uniserial Noetherian centrally essential rings// Commun. Algebra.— 2020. — 48, № 1. — P. 149–153.
  53. Markov V. T., Tuganbaev A. A. Distributive Noetherian centrally essential rings// J. Algebra Appl. — 2020.
  54. Năstăsescu C., Popescu N. Anneaux semi-artiniens// Bull. Soc. Math. France.— 1968.— 96.— P. 357–368.
  55. Nishigȏri N. On some properties of FC-groups// J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. — 1957. — 21, № 2. — P. 99–105.
  56. Okniński J. Semigroup Algebras. — New York–Basel: Marcel Dekker, 1991.
  57. Passman D. S. Infinite Group Rings. — Marcel Dekker, 1971.
  58. Passman D. S. The Algebraic Structure of Group Rings. — New York: Wiley, 1977.
  59. Pierce R. S., Vinsonhaler C. I. Realizing central division algebras// Pac. J. Math. — 1983. — 109, № 1. — P. 165-–177.
  60. Pumplün S., Astier V. Nonassociative quaternion algebras over rings// Isr. J. Math. — 2006. — 155. — P. 125–147.
  61. Rowen L. Some results on the center of a ring with polynomial identity// Bull. Am. Math. Soc. — 1973. — 79, № 1. — P. 219–223.
  62. Rowen L. H. Polynomial Identities in Ring Theory. — New York: Academic Press, 1980.
  63. Rowen L. H. Ring Theory. — New York: Academic Press, 1988.
  64. Schafer R. D. An Introduction to Nonassociative Algebras. — New York: Academic Press, 1966.
  65. Scott W. R. Group Theory. — Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1964.
  66. Sehgal S. K. Nilpotent elements in group rings// Manuscr. Math. — 1975. — 15, № 1. — P. 65–80.
  67. Stephenson W. Modules whose lattice of submodules is distributive// Proc. London Math. Soc. — 1974. — s3-28, № 2. — P. 291–310.
  68. Suprunenko D. A., Tyschkevich R. I. Commutative Matrices. — New York: Academic Press, 1968.
  69. Tuganbaev A. A. Semidistributive Modules and Rings. — Dordrecht Netherlands: Springer, 1998.
  70. Tuganbaev A. A. Centrally essential rings// Lobachevskii J. Math. — 2020. — 41, № 2. — P. 136–144.
  71. Tuganbaev A. A. On rings of weak global dimension at most one// Mathematics. — 2021. — 9, № 21. — 2643.
  72. Waterhouse W. C. Nonassociative quaternion algebras// Algebras Groups Geom. — 1987. — 4, № 3. — P. 365–378.
  73. Wisbauer R. Foundations ofModule and Ring Theory: A Handbook for Study and Research.—Philadelphia: Gordon and Breach, 1991.
  74. Zariski O., Samuel P. Commutative Algebra. I. — New York: Springer-Verlag.
  75. Zhevlakov K. A., Slin’ko A. M., Shestakov I. P., Shirshov A. I. Rings That Are Nearly Associative. — New York–London: Academic Press, 1982.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Tuganbaev A.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».