Volterra functional equations and optimization of distributed systems. Special optimal controls

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The work is a brief review of some results of optimization theory obtained by using Volterra functional equations (VFE). We present the method proposed by the author for using the VFE-description of controlled initial-boundary-value problems for studying special controls on which necessary optimality conditions degenerate. Illustrative examples are given.

About the authors

V. I. Sumin

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина

Author for correspondence.
Email: v_sumin@mail.ru
Russian Federation, Нижний Новгород

References

  1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.
  2. Афанасьев А. П., Дикусар В. В., Милютин А. А., Чуканов С. А. Необходимое условие в оптимальном управлении. — М.: Наука, 1990.
  3. Ащепков Л. Т., Васильев О. В. Об оптимальности особых управлений в системах Гурса—Дарбу//Ж. вычисл. мат. мат. физ. — 1975. — 15, № 5. — С. 1157–1167.
  4. Ащепков Л. Т., Васильев О. В., Коваленок И. Л. Усиленное условие оптимальности особых управлений в системе Гурса—Дарбу// Диффер. уравн. — 1980. — 16, № 6. — С. 1054–1059.
  5. Бурдуковский А. Н. Условия оптимальности особых управлений в задаче Гурса—Дарбу// Управл. сист. (Новосибирск). — 1986. — № 26. — С. 16–24.
  6. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. — Новосибирск: Наука, 1983.
  7. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. — М.: Наука, 1977.
  8. Васильев О. В. Об оптимальности особых управлений в системах с распределенными параметрами//Управл. сист. (Новосибирск). — 1972. — № 10. — С. 27–34.
  9. Васильев О. В. Об оптимальности особого управления в системах с распределенными параметрами//Тез. докл. II Всесоюз. конф. по проблемам теоретической кибернетики. — Новосибирск, 1971. — С. 26–27.
  10. Васильев О. В. Качественные и конструктивные методы оптимизации управляемых процессов с распределенными параметрами/ Дисс. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук — Л.: ЛГУ, 1984.
  11. ВасильевО.В.,СрочкоВ.А.,ТерлецкийВ.А.Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Оптимальное управление. — Новосибирск: Наука, 1990.
  12. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. Ч. II. — М.: Изд-во МЦНМО, 2011.
  13. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. — М.: Наука, 1973.
  14. Габасов Р., Кириллова Ф. М.. Мансимов К. Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с распределенными параметрами. — Минск: Ин-т мат. АН БССР, 1982.
  15. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее при-ложения. — М.: Наука, 1967.
  16. Гусаренко С. А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора// Докл. АН СССР. — 1987. —295, № 5. — С. 1046–1049.
  17. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
  18. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970.
  19. Жуковский Е. С. К теории уравнений Вольтерра// Диффер. уравн. — 1989. — 25, № 9. — С. 1599–1605.
  20. Жуковский Е. С., Алвеш М. Ж. Абстрактные вольтерровы операторы// Изв. вузов. Мат. — 2008. —№ 3. — С. 3–17.
  21. Забрейко П. П. Об интегральных операторах Вольтерра// Усп. мат. наук. — 1967. — 22, № 1. — С. 167–168.
  22. Забрейко П. П. О спектральном радиусе интегральных операторов Вольтерра Лит. мат. сб. — 1967.— 7, № 2. — С. 281–287.
  23. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики//Совр. мат. прилож. — 2003. — 11. — С. 3–161.
  24. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974.
  25. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977.
  26. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные опера-торы в пространствах суммируемых функций. — М.: Наука, 1966.
  27. Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. — М.: Наука, 1987.
  28. Лисаченко И. В., Сумин В. И. Нелинейная управляемая задача Гурса—Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости// Диффер. уравн. — 2011. — 47, № 6. — С. 858–870.
  29. Лисаченко И. В., Сумин В. И. Об особых управлениях принципа максимума для задачи оптимизации системы Гурса—Дарбу// Вестн. Удмурт. ун-та. Сер. Мат. Мех. Комп. наукию — 2015 25. — № 4. —С. 483–491.
  30. Лисаченко И.В.,Сумин В.И.Об особых управлениях принципа максимума в терминальной задаче оптимизации системы Гурса—Дарбу// Вестн. Тамбов. ун-та. Естеств. техн. науки. — 2015. — 20,№5.— С. 1264–1274.
  31. Лицына Е. Линейные операторы Вольтерра в некоторых метрических пространствах// Тр. семин. им. И. Г. Петровского. — 2007. — 26, № 3. — С. 223–240.
  32. Мансимов К. Б. К теории необходимых условий оптимальности в одной задаче управления системами с распределенными параметрами// Докл. АН СССР. — 1988. — 301, № 3. — С. 546–550.
  33. Мансимов К. Б. Особые управления в задачах управления системами с распределенными параметра-ми// Совр. мат. прилож. — 2006. — 42. — С. 39–83.
  34. Мансимов К. Б., Марданов М. Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса—Дарбу. — Баку: Элм, 2010.
  35. Меликов Т. К. Исследование особых процессов в некоторых оптимальных системах/ Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук — Баку, 1976.
  36. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1976.
  37. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1988.
  38. Плотников В. И. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем общего вида// Докл. АН СССР. — 1971. — 199, № 2. — С. 275–278.
  39. Плотников В. И., Сумин В. И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве//Сиб. мат. ж. — 1981. — 22, № 6. — С. 142–161.
  40. Срочко В. А. Условия оптимальности для одного класса систем с распределенными параметрами//Сиб. мат. ж. — 1976. — 17, № 5. — С. 1108–1115.
  41. Сумин В. И. Оптимизация управляемых обобщенных вольтерровых систем/ Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук — Горький, 1975.
  42. Сумин В. И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами// Докл. АН СССР. — 1989. — 305, № 5. — С. 1056–1059.
  43. Сумин В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Ч. 1. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.
  44. Сумин В. И. О функциональных вольтерровых уравнениях// Изв. вузов. Мат. — 1995. — № 9. —С. 67–77.
  45. Сумин В. И. О расширении оптимизационных задач, связанных с функциональными уравнениями в пространствах существенно ограниченных функций// Вестн. Нижегород. ун-та. Мат. модел. Оптим. управл. — 1998. — № 1 (18). — С. 126–133.
  46. Сумин В. И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения// Вестн. Нижегород. ун-та. Мат. — 2003. — № 1. — С. 91–107.
  47. Сумин В. И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах//Вестн. Нижегород. ун-та. Мат. модел. оптим. управл. — 1998. — № 2 (19). — С. 138–151.
  48. Сумин В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в математической теории оптимального управ-ления распределенными системами/ Дисс. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук — Н. Новгород: Нижегород. ун-т им. Н. И. Лобачевского, 1998.
  49. Сумин В. И. Равностепенная квазинильпотентность: определения, признаки, примеры применения//Вестн. Тамбов. ун-та. Естеств. техн. науки. — 2010. — 15, № 1. — С. 453–466.
  50. Сумин В. И. Вольтерровы функциональные уравнения в проблеме устойчивости существования глобальных решений распределенных управляемых систем// Вестн. росс. ун-тов. Мат. — 2020. — 25,№ 132. — С. 422–440.
  51. Сумин В. И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления// Ж. вычисл. мат. мат. физ. — 1990. — 30, № 1. — С. 3–21.
  52. Сумин В. И. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач// Диффер. уравн. — 1990. — 26, № 12. — С. 2097–2109.
  53. Сумин В. И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра и устойчивость существования гло-бальных решений краевых задач// Укр. мат. ж. — 1991. — 43, № 4. — С. 555–561.
  54. Сумин В. И. Об устойчивости существования глобального решения первой краевой задачи для управляемого параболического уравнения// Диффер. уравн. — 1986. — 22, № 9. — С. 1587–1595.
  55. Сумин В. И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем, I// Вестн. Нижегород. ун-та. Мат. модел. оптим. управл. — 1999. — № 2 (21). — С. 145–155.
  56. Сумин В. И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем, II// Вестн. Нижегород. ун-та. Мат. модел. оптим. управл. — 2001. — № 1 (23). — С. 198–204.
  57. Сумин В. И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем, III// Вестн. Нижего-род. ун-та. Мат. модел. оптим. управл. — 2002. — № 1 (25). — С. 164–174.
  58. Сумин В. И. Вольтерровы функциональные уравнения и оптимизация распределенных систем// Мат. Междунарю конф. «Современные методы теории краевых задач. Воронеж. весенняя мат. школа Понтрягинские чтения–XXXII» (Воронеж, 3–9 мая 2021 г.). — Воронеж, 2021. — С. 239–242.
  59. Сумин В. И. Вольтерровы функционально-операторные уравнения и распределенные задачи оптимизации// Вестн. Тамбов. ун-та. Естеств. техн. науки. — 2018. — 23, № 124. — С. 745–756.
  60. Сумин В. И. Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений// Тр. ИММ УрО РАН. — 2019. — 25, № 1. — С. 262–278.
  61. Сумин В. И., Чернов А. В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность// Диффер. уравн. — 1998. — 34, № 10. — С. 1402–1411.
  62. Сумин В. И. Условия устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач для нелинейных параболических уравнений// Вестн. Тамбов. ун-та. Естеств. техн. науки. — 2000. —5, № 4. — С. 493–495.
  63. Сумин В. И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации// Докл. АН СССР. — 1991. — 320, № 2. — С. 295–299.
  64. Сумин В. И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем// Оптимизация. Сб. научн. тр. — 1993. — № 52 (69). — С. 74–94.
  65. Сумин В. И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах оптимизации// Вестн. Удмурт. ун-та. Сер. Мат. Мех. Комп. науки. — 2010. — № 3. — С. 70–80.
  66. Сумин В. И., Чернов А. В. Вольтерровы операторные уравнения в банаховых пространствах: устойчивость существования глобальных решений. — Деп. в ВИНИТИ 25.04.2000. № 1198-В00.
  67. Сумин В. И., Чернов А. В. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений вольтерровых операторных уравнений// Вестн. Нижегород. ун-та. Мат. модел. оптим. управл. — 2003.— № 1 (26). — С. 39–49.
  68. Сумин В. И., Чернов А. В. Вольтерровы функционально-операторные уравнения в теории оптимизации распределенных систем// Тр. Междунар. конф. «Динамика систем и процессы управления», посв. 90-летию со дня рожд. акад. Н. Н. Красовского (Екатеринбург, 2014 г.). — Екатеринбург: Изд-во ИММ УрО РАН, 2015. — С. 293–300.
  69. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики// Бюлл. МГУ. Секц. А. — 1938. — 1, № 8. — С. 1–25.
  70. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
  71. Крейн С. Г. (ред.). Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972.
  72. Чернов А. В. Вольтерровы операторные уравнения и их применение в теории оптимизации гиперболических систем/ Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук — Нижний Новгород, 2000.
  73. Чернов А. В. О сохранении разрешимости полулинейного уравнения глобальной электрической цепи//Ж. вычисл. мат. мат. физ. — 2018. — 58, № 12. — С. 2095–2111.
  74. Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
  75. Шрагин И. В. Абстрактные операторы Немыцкого — локально определенные операторы// Докл. АН СССР. — 1976. — 227, № 1. — С. 47–49.
  76. Chernov A. V. On Volterra functional operator games on a given set Automat. Remote Control. — 2014.— 75, № 4. — P. 787–803.
  77. Corduneanu C. Integral Equations and Applications. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991.
  78. Drakhlin M. E., Ponosov A., Stepanov E. On some classes of operators determined by the structure of their memory// Proc. Edinburgh Math. Soc. — 2002. — 45, № 2. — P. 467–490.
  79. Drakhlin M. E., Litsyn E. Volterra operator: Back to the future// J. Nonlin. Conv. Anal. — 2005. — 6,№ 3. — P. 375–391.
  80. Sumin V. Volterra functional-operator equations in the theory of optimal control of distributed systems IFAC-PapersOnLine. — 2018. — 51, № 32. — P. 759–764.
  81. Tonelli L. Sulle equazioni funzionali di Volterra// Bull. Calcutta Math. Soc. — 1929. — 20. — P. 31–48.
  82. Vath M. Abstract Volterra equations of the second kind// J. Equat. Appl. — 1998. — 10, № 9. — P. 125–144.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Сумин В.I.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».