Periodic solutions of a differential equation with relay nonlinearity with delay

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

For one class of second-order differential equations with relay nonlinearity and delay, orbitally stable periodic solutions are found by means of the recurrence operator, which is a suspension over some one-dimensional mapping. The analysis of this one-dimensional mapping shows that there exist domains of parameters for which exponentially orbitally stable periodic solutions exist.

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

u¨+bu˙+cu=dsignu(tT), (1)

в котором T, b, c, d — постоянные параметры. При этом T>0, d0.

Похожие системы встречаются в работах [1–3], и само уравнение (1) при различных условиях на параметры встречается в [4] в качестве предельного объекта для нелинейного осциллятора с большим параметром и в [5] в качестве модели движения судна управляемого двухпозиционным авторулевым. Мы же будем рассматривать уравнение (1) при условиях b24c>0, c0.

Определение 1.1. Функцию u(t) мы будем называть осциллирующей, если u(t) обращается в нуль для сколь угодно больших t. Если на всяком интервале длины запаздывания осциллирующая функция u(t) обращается в нуль не более одного раза, то такая функция называется медленно осциллирующей.

Далее будем отыскивать именно медленно осциллирующие периодические решения уравнения (1), потому что, с одной стороны, при численном счёте быстро осциллирующих решений не обнаруживается, а с другой стороны, рассмотрение только медленно осциллирующих решений позволяет ввести оператор последования, при анализе которого получаются условия существования и орбитальной устойчивости периодических решений.

Обратимая замена

u(t)|d|cutT,bbT,ccT2,signds,                      

приводит уравнение (1) к виду

u¨+bu˙+cu=cssign(u(t1)), (2)

где c0, s=±1, и b24c>0. Таким образом, уравнение (1) сводится к случаю T=1, d=±c. В этой форме мы и будем исследовать данную систему.

2. Определение начальных условий.

Как и в [4, 5], с целью построения решений уравнения (2) определим множество начальных условий SC[1,0]×(0,) следующим образом:

S={(φ,v)C[1,0]×(0,):φ(t)<0  при  t<0,  φ(0)=0}. (3)

Для произвольной пары (φ,v)S обозначим через uv(t) решение уравнения (2) с начальными условиями

u(t)=φ(t),t[1,0],u˙(0)=v. (4)

Заметим, что при t[0,1) в силу (3) и (4) выполняется неравенство uv(t1)<0. Поэтому для t[0,1) решение uv(t) совпадает с решением uv(1)(t) задачи Коши

u¨+bu˙+cu=cs,u(0)=0,u˙(0)=v, (5)

которое имеет вид

uv(1)(t):=vλ2sλ1λ2eλ1t+vλ1sλ2λ1eλ2ts, (6)

где

λ1=b+b24c2,λ2=bb24c2. (7)

Так как b24c>0, то числа λ1, λ2 вещественны и различны, при этом значения параметров b, c однозначно соответствуют значениям параметров λ1>λ2, поэтому далее мы будем рассматривать именно λ1, λ2 и s в качестве параметров уравнения (2), имея в виду b=(λ1+λ2), c=λ1λ2.

Заметим, что если в качестве начальных условий брать фиксированный v и различные φ, т.ч. (φ,v)S, то соответствующие им решения будут совпадать. Поэтому, решение uv(t) определяется параметром v однозначно.

Лемма 2.1. Решение uv(t) не обращается в нуль при t(0,1] тогда и только тогда, когда

v>v0:=sλ1(1eλ2)λ2(1eλ1)eλ1eλ2. (8)

При этом знак v0 совпадает со знаком cs=λ1λ2s.

Доказательство. При t[0,1] решение uv(t) совпадает с uv(1)(t) (при t=1 они совпадают по непрерывности). Заметим, что уравнение u˙v(1)(t)=0 может иметь не более одного решения, и, следовательно, функция uv(1)(t) имеет не более одного экстремума, а значит, по теореме Ролля она имеет не более двух нулей. Ввиду начальных условий (5) функция uv(1)(t) имеет нуль в точке t=0 и положительна при малых t>0, поэтому неравенство uv(1)(1)>0 эквивалентно тому, что решение uv(1)(t) не обращается в нуль при t(0,1]. Проделав преобразования неравенства uv(1)(1)>0 получаем неравенство (8). Тот факт, что знак v0 совпадает со знаком λ1λ2s=cs, также может быть доказан прямыми преобразованиями.

Пусть t*(v)=inf{t>0:uv(t)=0} — наименьший положительный нуль решения uv(t), если он существует, и + в противном случае. Так как uv(t)>0 при t(0,t*(v)) (в том числе если t*(v)=+), то при t(1,t*(v)+1) решение uv(t) совпадает с решением задачи Коши

u¨+bu˙+cu=cs,u(1)=uv(1)(1),u˙(1)=u˙v(1)(1), (9)

 которое имеет вид

uv(2)(t)=vk1λ1λ2eλ1t+vk2λ2λ1eλ2t+s, (10)

 где

k1=λ2s(12eλ1),k2=λ1s(12eλ2). (11)

Определим множество V, состоящее из таких v, что uv(t) имеет наименьший положительный нуль на интервале (1,+), формулой

V={v(0,+):t*(v)(1,+)}. (12)

Заметим, что условие vV является необходимым для медленной осцилляции решения uv(t), поэтому мы далее будем искать решения именно в предположении vV. Следующая лемма позволит нам прояснить вид множества V.

Лемма 2.2. Если vV, то (0,+)(v0,v)V.

Доказательство. В выражениях (6) и (10) можно, вынеся за скобку  получить выражения

uv(1)(t)=veλ1teλ2tλ1λ2+λ2sλ1λ2eλ1t+λ1sλ2λ1eλ2t+s,uv(2)(t)=veλ1teλ2tλ1λ2+k1λ1λ2eλ1t+k2λ2λ1eλ2t+s.                         

Заметим, что выражение в скобках положительно при положительных t. Следовательно, при любом фиксированном t>0 значения uv(1)(t) и uv(2)(t) строго возрастают по v.

Пусть w(0,+)(v0,v). Если у решения uw(t) нет положительных нулей, то uw(t)>0 при t>0, но тогда, так как v>w, верны неравенства

uv(1)(t)>uw(1)(t)>0при  t(0,1],uv(2)(t)>uw(2)(t)>0при  t[1,+),                               

т.е. и у решения uv(t) нет положительных нулей, что неверно, ведь vV. Значит, uv(t) имеет положительный корень t*(w)<+. При этом t*(w)>1, так как из неравенства w>v0 согласно лемме 2.1 следует, что uw(t)>0 при t(0,1]. Таким образом, wV.

Следствие. Множество V является связным множеством в , а значит, если оно не пусто, то является некоторым интервалом.

Лемма 2.3. Если vV, то t*(v) является кратным нулём uv(t) в том и только том случае, когда v=supV.

Доказательство. Пусть v=supVV. Тогда uv(2)(t*(v))=0 и для любых w>v верно неравенство uw(2)(t)>0 при t[1,+). Следовательно, t*(v) — это минимум решения uv(2)(t), т.е. нуль чётной кратности.

Обратно, пусть vV и t*(v) является кратным нулём uv(t). Уравнение u˙v(2)(t)=0 имеет не более одного решения text, причём из условия λ1λ2 (т.е. b24c0) следует, что u¨v(2)(text)0. Поэтому точка t*(v)=text является единственным локальным минимумом uv(2)(t), а значит, она также является и глобальным минимумом функции uv(2)(t). Следовательно, ввиду монотонности uv(2)(t) по v, доказанной в лемме 2.2, при любых w>v верно неравенство uw(2)(t)>uv(2)(t)0 при t>1, а значит, wV, т.е. v является верхней гранью V. Поскольку vV, то v является наименьшей верхней гранью V.

Для того чтобы иметь дело только с простыми нулями, будем рассматривать множество

V0=V\{supV}, (13)

которое, если не пусто, имеет вид

V0=(v0,v1),если  v0>0,(0,v1),если  v0<0,             

для некоторого v1(0,+]. Ввиду леммы 2.3 для любых vV0 нуль t*(v) является простым.

Вместе с V0 будем рассматривать соответствующее множество начальных условий S0, заданное соотношением

S0={(φ,v)S:vV0}. (14)

3. Построение оператора последования.

Если vV0, то известно решение uv(t) при t[0,t*(v)+1]. Для построения uv(t) при t>t*(v) воспользуемся симметрией уравнения (2), которое не меняется при замене uu. С этой целью введём в рассмотрение одномерное отображение

p:V0(0,+),p(v)=u˙v(2)(t*(v)). (15)

 Отметим, что p(v)(0,+), так как при условии vV0 нуль t*(v) решения uv(t) является простым.

Далее, выполним в уравнении (2) замену uu и сдвиг по времени tt+t*(v). В результате придём к тому же уравнению (2), но с начальными условиями

u(t)=uv(t+t*(v)),t[1,0],  u˙(0)=u˙v(0+t*(v))=p(v). (16)

Заметим, что uv(t*(v))=0 и uv(t)>0 при t[1+t*(v),t*(v)), так что из проделанных построений вытекает включение

(uv(t+t*(v)),p(v))S,                                               

где S — множество (3). Значит, на последующих отрезках решение будет строиться аналогично решению с начальным условием (uv(t+t*(v)),p(v)), т.е. на множестве S0 определён оператор последования

Π:S0S,Π(φ,v)=(uv(t+t*(v)),p(v)). (17)

Заметим, что различные функции φ при фиксированном v переходят в одну и ту же функцию uv(t+t*(v)), не зависящую от φ. Таким образом, оператор (17) представляет собой надстройку над одномерным отображением (15), поэтому вопрос о неподвижных точках отображения П сводится к аналогичному вопросу для отображения p, а именно, всякой экспоненциально устойчивой неподвижной или периодической точке v* отображения p отвечает экспоненциально орбитально устойчивый цикл uv*(t).

Отметим, что не всегда верно, что Π(S0)S0, или, эквивалентно, что p(V0)V0. Условия, при которых это вложение верно, будут получены позже, но мы не будем пользоваться принципом Шаудера, так как S0 и V0 не замкнуты.

4. Анализ одномерного отображения.

Рассмотрим uv(2)(t) как функцию двух переменных u(2)(t,v)=uv(2)(t). Ввиду формулы (10) эта функция непрерывно дифференцируема по совокупности переменных на открытом множестве (1,+)×V0. Для любого vV0 функция u(t,v) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (t*(v),v), при этом u(t*(v),v)=0, и, так как t*(v) является простым нулём, то u˙(t*(v),v)0. Тогда, по теореме о неявной функции, функция t*(v) непрерывно дифференцируема и её производная находится следующим образом:

dt*(v)dv=u(2)(t*(v),v)/vu˙(2)(t*(v),v)=eλ1t*(v)eλ2t*(v)λ1λ2p(v).                            

Далее, отображение p(v) можно записать в виде p(v)=u˙(2)(t*(v),v), а значит, оно непрерывно дифференцируемо, и его производная равна

dp(v)dv=u¨(2)(t*(v),v)dt*(v)dvu˙(2)(t*(v),v)v,

 что приводится к виду

dp(v)dv=vv~p(v)e(λ1+λ2)t*(v),гдеv~=2λ1λ2seλ2eλ1λ1λ2. (18)

Так как e(λ1+λ2)t*(v)>0 и p(v)>0, то знак dp(v)/dv совпадает со знаком vv~. В свою очередь, знак v~ совпадает со знаком λ1λ2s.

Отображение p(v) возрастает при v>v~ и убывает при v<v~, так что для случая λ1λ2s<0 отображение p(v) строго возрастает на всём множестве V0.

Определение 4.1. Областью сходимости неподвижной точки v* отображения p(v) будем называть множество таких w0, что последовательность wn=p(wn1) сходится к точке v*.

Теорема 4.1. Пусть λ1, λ2 определены равенствами (7) и выполнено неравенство λ1λ2s<0. Тогда отображение p(v) не имеет периодических точек и, в зависимости от значений λ1, λ2, реализуются случаи (a)–(d), перечисленные ниже и изображённые на рис. 1.

 

Рис. 1. Области пространства параметров в случае λ1λ2s<0.

 

  1. Если λ1>ln2, то V0=, т.е. отображение p(v) не определено.
  2. Если 0<λ1<ln2 и λ2>λ112eλ1, то отображение p(v) не имеет неподвижных точек.
  3. Если 0<λ1<ln2 и λ2<λ112eλ1, то отображение p(v) имеет единственную неподвижную точку, которая экспоненциально устойчива и имеет область сходимости V0=(0,k1).
  4. Если λ1<0, то отображение p(v) имеет единственную неподвижную точку, которая экспоненциально устойчива и имеет область сходимости V0=(0,+).

Отметим, что из (7) следует, что λ1>λ2, так что случаи в теореме выписаны именно в предположении λ1>λ2, однако в уравнении (2) параметры b=(λ1+λ2) и c=λ1λ2 симметричны относительно замены λ1 и λ2 друг на друга, поэтому на рис. 1 изображены аналогичные случаи для λ2>λ1.

Доказательство теоремы. Напомним, что если λ1λ2s<0, то v0<0, и v~<0. Так как v0<0, то, согласно лемме (2.1), для любых v>0>v0 верно неравенство uv(t)>0 при t(0,1]. Так как v~<0, то, ввиду формулы (18), отображение p(v) является возрастающим для любых v>0>v~. При этом, так как отображение p(v) монотонно возрастает, то оно не имеет периодических точек. Действительно, пусть w1=p(w0)<w0; тогда w2=p(w1)<p(w0)=w1 и т. д., и для знака неравенства в обратную сторону аналогично.

Из равенств uv(2)(t*(v))=0 и u˙v(2)(t*(v))=p(v) можно получить соотношение

p(v)=u˙v(2)(t*(v))=λ1s(vk2)eλ2t*(v), (19)

из которого, в частности, следует, что p(0)>0, так как в случае p(0)=0 можно показать, что t*(0)=0, что невозможно, поскольку t*(v)>1.

(a) Пусть λ1>ln2; тогда можно показать, что для любых v>0 верно неравенство u˙v(2)(t)>0 при t1. Поскольку uv(2)(1)>0, получаем, что uv(2)(t)>0 при t1, а значит, vV. Следовательно, V=.

(b1). Пусть 0<λ1<ln2 и λ1+λ20. Пусть v* — наименьшая неподвижная точка отображения p(v), либо, что то же самое, наименьший нуль функции g(v)=p(v)v. Согласно равенству (18) и ввиду неравенств λ1+λ2>0 и v~<0 имеем

dp(v*)dv=v*v~v*e(λ1+λ2)t*(v*)v*v~v*>1   

 и, следовательно,

dg(v*)dv=dp(v*)dv1>0. (20)

С одной стороны, g(v)>0 при v(0,v*), так как g(0+)=p(0+)>0 и v* — это наименьший нуль g(v). С другой стороны, ввиду неравенства (20), в некоторой левой окрестности точки v* функция g(v) принимает отрицательные значения, что является противоречием. Следовательно, p(v) не имеет неподвижных точек.

 (b2), (c). Пусть теперь 0<λ1<ln2 и λ1+λ2<0; тогда λ2<0 и s=1. Пусть v* — неподвижная точка отображения p(v). Выразив t*(v*) из равенства (19) и используя неравенство λ1+λ2<0, можно показать, что 0<dp(v*)/dv<1. Следовательно, всякая неподвижная точка отображения p(v) является экспоненциально устойчивой, а значит, если таковая существует, то она единственна.

Пусть k1, k2 определены равенством (11); тогда кусочное решение uk1(2)(t) имеет вид

uk1(2)(t)=k1k2λ2λ1eλ2t+1    

и монотонно стремится к значению 1, а значит нуль не пересекает; следовательно, k1V.

Пусть v<k1; тогда решение uv(2)(t) имеет вид (10), причём коэффициент (vk1)/(λ1λ2) при экспоненте с положительным показателем eλ1t отрицателен, а значит, при достаточно больших t>1 кусочное решение uv(2)(t) пересекает нуль. Следовательно, для любых v<k1 верно, что vV, а значит V0=(0,k1).

Если t**=limvk1t*(v)<+, то по непрерывности u(2)(t**,k1)=limvk1u(2)(t*(v),v)=0, но тогда k1V; противоречие. Следовательно, t*(v)vk1 и

p(k1)=limvk1(λ1s(vk2)eλ2t*(v))=sλ1=λ1.

Далее, неподвижные точки отображения p(v) однозначно соответствуют нулям отображения g(v)=p(v)v. Заметим, что g(0+)=p(0+)>0 и g(k1)=p(k1)k1=λ1k1.

Пусть λ1k1<0. Тогда g(k1)<0 и, по теореме о промежуточном значении, p(v) имеет неподвижную точку, причём она единственна и экспоненциально устойчива.

Пусть теперь λ1k1>0. Тогда g(k1)>0, и если v* — наибольший корень функции g(v), то с одной стороны, g(v)>0 при v(v*,k1), а с другой стороны, g'(v*)=p'(v*)1<11=0; значит, в некоторой правой окрестности v* верно неравенство g(v)<0, что является противоречием. Значит, при λ1k1>0 неподвижных точек нет.

Наконец, условие λ1k1<0 может быть записано в виде

λ2<λ112eλ1;                   

при этом, как можно проверить, из него следует условие λ1+λ2<0, так что утверждение (c) доказано.

С другой стороны, условие λ1k1>0 может быть записано в виде

λ2>λ112eλ1,

и можно проверить, что оно влечёт условие λ1+λ20 при λ1<ln2. Таким образом, утверждение (b) доказано.

(d) Пусть λ1<0, тогда λ2<0 и s=1. Заметим,что при любых v>0 экспоненты в формуле (10) стремятся к нулю при t, а значит, uv(2)(t) стремится к s=1 при t. Следовательно, при некотором t кусочное решение uv(2)(t) обращается в нуль, и p(v) определено. Поскольку это верно для любых v>0, то V0=(0,+).

Отображение p(v) возрастает, и, как видно из равенства (19), оно ограничено сверху положительным числом λ1s=λ1=|λ1|. Далее, неподвижные точки отображения g(v)=p(v)v однозначно соответствуют нулям отображения . Заметим, что g(0+)=p(0+)>0, и g(v)|λ1|v<0 при v>|λ1|, так что по теореме о промежуточном значении p(v) имеет неподвижную точку.

Так как λ1+λ2<0, то, аналогично случаю (c), для любой неподвижной точки v* верно неравенство 0<dp(v*)/dv<1, а значит, эта неподвижная точка единственна, экспоненциально устойчива, причём её областью сходимости является всё множество V0=(0,+).

На рис. 2 изображены графики отображения p(v) при различных значениях параметров, удовлетворяющих неравенству λ1λ2s<0. Эти графики иллюстрируют наличие экспоненциально устойчивых неподвижных точек в случаях (c) и (d), а также характер появления неподвижной точки при переходе от случая (b) к случаю (c).

 

Рис. 2. Графики отображения p(v) в случае λ1λ2s<0. Неподвижным точкам отображения p(v) соответствуют пересечения графиков p(v) с главной диагональю.

 

На рис. 3, 4 изображены графики и траектории в фазовой плоскости некоторых решений уравнения (2) с начальными условиями из S0. Как видно, решения стремятся к некоторым предельным циклам, причём пересечения решениями оси ординат на изображениях фазового портрета соответствуют итерациям отображения p(v). Точки излома на фазовых портретах соответствуют переключениям запаздывающего члена: в этих точках вторая производная решения имеет скачок.

 

Рис. 3. Графики решений в случае (c).

 

Рис. 4. Графики решений в случае (d).

 

Теорема 4.2. Если выполнено неравенство λ1λ2s>0, то отображение p(v) не имеет неподвижных точек. Точнее, в зависимости от значений λ1, λ2, реализуются случаи (e)–(g), перечисленные ниже и изображённые на рис. 6. [(a)]

(e) Если λ1+λ2<0, то у отображения p(v) нет неподвижных точек. Верно неравенство p(v0+)<v0 и p(v) монотонно убывает к нулю.

(f) Если λ1+λ2>0 и λ1eλ2λ2eλ1λ1λ2<12, то у отображения p(v) есть лишь неустойчивая неподвижная точка. Верно неравенство p(v0+)>v0 и p(v) монотонно убывает к нулю.

(g) Если λ1+λ2>0 и λ1eλ2λ2eλ1λ1λ2>12, то у отображения p(v) нет неподвижных точек. При v>v~ отображение p(v) возрастает и стремится к бесконечности при vk1.

Данный случай отличается отсутствием устойчивых неподвижных и периодических точек. Поскольку интереса неустойчивые решения не представляют, доказательство этой теоремы мы не приводим.

Графики отображения p(v) при различных значениях параметров в случаях (b) (пунктир) и (c) (сплошная линия).

Графики отображения p(v) при различных значениях параметров в случае (d).

Графики отображения p(v) при различных значениях параметров в случаях (e) (пунктир) и (f) (сплошная линия).

Графики отображения p(v) при различных значениях параметров в случаях (f) (сплошная линия) и (g) (пунктир).

На рис. 5 изображены графики отображения p(v) при различных значениях параметров, удовлетворяющих неравенству λ1λ2s>0. Эти графики иллюстрируют наличие неустойчивой неподвижной точки в случае (f), а также характер появления неподвижной точки при переходе от случая (e) к случаю (f) и при переходе от случая (g) к случаю (f).

 

Рис. 5. Графики отображения p(v) в случае λ1λ2s>0. Неподвижным точкам отображения p(v) соответствуют пересечения графиков  с главной диагональю.

 

Рис. 6. Области пространства параметров в случае λ1λ2s>0.

 

Численные эксперименты, в том числе с быстро осциллирующими начальными условиями, указывают на то, что описанные в этой работе случаи исчерпывающе описывают динамику уравнения (1). Точнее, наблюдается, что при любых начальных функциях решение либо стремится к бесконечности, либо стремится к неподвижной точке, либо происходит наматывание на цикл. При этом периодических решений, кроме тех, что мы рассмотрели не наблюдается.

На обосновании этих утверждений мы не останавливаемся, так как численному исследованию уравнения (1) при произвольных параметрах будет посвящена отдельная статья.

×

About the authors

Danila D. Bain

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

Author for correspondence.
Email: danila.bain@yandex.com
Russian Federation, Ярославль

References

  1. Кащенко С. А. Сравнительный асимптотический анализ динамики автогенераторов с различными нелинейными запаздывающими связями// Фундам. прикл. мат. — 1999. — 5, № 4. — С. 1027–1060
  2. Дмитриев А. С., Кащенко С. А. Асимптотика нерегулярных колебаний в модели автогенератора с запаздывающей обратной связью// Докл. РАН. — 1993. — 328, № 2. — С. 174–177
  3. Кащенко С. А. Асимптотика релаксационных колебаний в системах дифференциально-разностных уравнений с финитной нелинейностью. I// Диффер. уравн. — 1995. — 31, № 8. — С. 1330–1339
  4. Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Явление буферности в кольцевых цепочках однонаправленно связанных генераторов// Изв. РАН. Сер. мат. — 2014. — 78, № 4. — С. 73–108
  5. Колесов А. Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Реле с запаздыванием и его C1-аппроксимация// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. — 1997. — 216. — С. 126–153.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
2. Fig. 1. The regions of the parameter space in the case .

Download (91KB)
3. Fig. 2. Graphs of the display in the case. The fixed points of the display correspond to the intersections of the graphs with the main diagonal.

Download (159KB)
4. Fig. 3. Graphs of solutions in case (c).

Download (82KB)
5. Fig. 4. Graphs of solutions in case (d).

Download (79KB)
6. Fig. 5. Graphs of the display in the case. The fixed points of the display correspond to the intersections of the graphs with the main diagonal.

Download (137KB)
7. Fig. 6. Areas of the parameter space in the case of .

Download (108KB)

Copyright (c) 2024 Баин Д.D.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».