Asymptotic problem of restoring the high-frequency right-hand side of the telegraph equation

1. Введение

В работе рассматривается задача Коши для телеграфного уравнения. Младший коэффициент и правая часть уравнения осциллируют по времени с большой частотой $\omega$, причём амплитуда младшего коэффициента мала — пропорциональна ${\omega }^{-1}$, а правая часть не известна. (Термин « телеграфное уравнение»  в данной работе можно заменить на «волновое уравнение с малым младшим членом».) Исследован вопрос о её восстановлении по заданной в некоторой точке пространства трёхчленной асимптотике решения (на самом деле, непосредственно задаётся принципиально меньше $—$ подробнее об этом сказано в последнем абзаце введения). При решении задачи используется неклассический алгоритм решения обратных коэффициентных задач с быстро осциллирующими по времени данными (см. [1, 2, 10, 13, 14]).

В настоящее время теория обратных задач (включая задачу о восстановлении источника) разработана с большой полнотой (см., например, [3–6, 11, 15]). Однако задачи с быстро осциллирующими данными в классической теории не рассматривались. Вместе с тем обратные задачи для уравнений такого типа часто встречаются при математическом моделировании физических, химических и иных процессов, протекающих в средах с неизвестными характеристиками, подверженных высокочастотному воздействию электромагнитных, акустических, вибрационных и т. п. полей. Укажем некоторые примеры таких уравнений: уравнение теплопроводности для стержня, через который пропускается высокочастотный электрический ток, вследствие чего в стержне образуются высокочастотные тепловые источники; волновое уравнение, описывающее колебания стержня под действием высокочастотных внешних сил (вспомним знаменитую задачу В. Н. Челомея о высокочастотных сжатиях —  растяжениях стержня, стабилизирующих его прямолинейную форму); уравнение переноса вещества в несжимаемой жидкости при наличии высокочастотных источников; уравнения тепловой конвекции жидкости в сосуде при его высокочастотных вибрациях (см [7$–$9,12]) и др.

В работах [1, 2, 10, 13, 14] и в данной работе используется новый подход к постановке и решению обратных коэффициентных высокочастотных задач, лежащий на стыке двух дисциплин  асимптотические методы и обратные задачи. В связи с этим решение обратной задачи разбито там на две части (этапы), относящиеся к соответствующим дисциплинам, и нужно следить за согласованностью (например, в смысле гладкости функций) указанных частей. В этих работах исследуются обратные задачи для эволюционных уравнений с неизвестным быстро осциллирующим источником (в [1, 2, 10, 13, 14] —  начально-краевые задачи; в данной работе —  задача Коши). Подчеркнём в заключение, что специфика используемого подхода к постановке обратной задачи состоит в следующем: здесь в условии переопределения участвует не точное решение, как в классике, а лишь его частичная асимптотика, длина которой вычисляется на первом этапе решения обратной задачи; при этом необходимая для условия переопределения информация задаётся не для всех коэффициентов этой асимптотики, а лишь для некоторых « базисных» (нужные сведения для остальных коэффициентов однозначно определяются из « базисных» ). Так, в данной работе в постановке обратной задачи (в условии переопределения) участвуют коэффициенты трёхчленной асимптотики, вычисленные в фиксированной точке пространства —  это функции $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, но непосредственно задаются лишь функции $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поставленная обратная задача при этом однозначно разрешима.

2. Построение асимптотики

Пусть $T\mathrm{<mo>></mo>0}$, $\Pi \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\in ℝ\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$ $—$ полоса, $\Omega \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Pi \mathrm{,}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo>;</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ $—$ бесконечный прямоугольный параллелепипед. На множестве $\Pi$ рассмотрим задачу Коши с большим параметром $\omega$ вида:

$u_{tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_{xx}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{\omega }a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0}{u}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$. (1)

Здесь $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ вещественные функции, определённые и непрерывные на множестве $\Omega$, $2\pi$ $—$ периодические по $\tau$. Символом $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим среднее функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по $\tau$:

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}⟨f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\equiv \frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{.}$

(Всюду в работе среднее вычисляется по переменной $\tau$, $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\omega t$ ). Пусть функция $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывна на $\Pi$ вместе с двумя производными по $x$. Введём в рассмотрение функцию $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и будем предполагать, что она непрерывна на множестве $\Omega$ и вместе с производной по $x$ дифференцируема по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вплоть до $4$ -го порядка и все указанные производные непрерывны в $\Omega$. Символом $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим среднее функции $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по $\tau$:

$A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}⟨a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩$

и предположим, что функция $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывна на $\Pi$ вместе с двумя производными по $x$. Далее введём в рассмотрение функцию $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и предположим, что она три раза непрерывно дифференцируема по совокупности переменных $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, причём все эти производные непрерывны на $\Omega$.

Пусть $u_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение задачи (1). Его асимптотику можно строить в виде ряда:

$u_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sim u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{\omega }{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{{\omega }^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots +\frac{1}{{\omega }^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+v_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots \mathrm{,}$                          (2)

где функции $u_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определены и непрерывны в $\Pi$ и $\Omega$ соответственно, а также дважды непрерывно дифференцируемы по $x$ и по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, причём $v_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-2\pi$ $—$ периодические по $\tau$ с нулевым средним:

$⟨v_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Для формулировки теоремы определим два типа линейных однозначно разрешимых задач. К первому отнесём задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка следующего вида:

$\frac{{\partial }^{2}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial {\tau }^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau +2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}⟨s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>0,}$, (3)

где $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ определённая и непрерывная на множестве $\Omega$ функция, $2\pi$ $—$ периодическая по $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo>;</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с нулевым средним. Как известно, решение задачи (3) имеет вид

$sx\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\left(\underset{0}{\overset{z}{\int }}\psi x\mathrm{,}t\mathrm{,}sds-⟨\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\psi x\mathrm{,}t\mathrm{,}sds⟩\right)dz-⟨\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\left(\underset{0}{\overset{z}{\int }}\psi x\mathrm{,}t\mathrm{,}sds-⟨\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\psi x\mathrm{,}t\mathrm{,}sds⟩\right)dz⟩$

Ко второму типу отнесём задачу Коши для волнового уравнения второго порядка в полосе $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Pi$ вида

$\left(\begin{array}{l}{u}_{tt}x\mathrm{,}t-u_{xx}x\mathrm{,}tgx\mathrm{,}t\\ ux\mathrm{,}t{}_{t}ax\\ u_{t}x\mathrm{,}t{}_{t}bx\end{array}\right.$  (4)

где функции $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определены и непрерывны в полосе $\Pi$ и на $ℝ$ соответственно, причём $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ непрерывно дифференцируемы по $x$ и $g_x$ непрерывна в $\Pi$, а $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ дважды непрерывно дифференцируема. Решение задачи (4), как известно, выражается формулой Даламбера:

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{x-t}{\overset{x+t}{\int }}}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi +\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}ds{\displaystyle \underset{x-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{.}$

Для любого положительного числа $M$ определим прямоугольник ${\Pi }_M\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\le M$, $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo>;</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$, а также введём в рассмотрение $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ =членную, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, асимптотику решения задачи (1) (см. (2)):

$\stackrel{k}{u_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{\omega }{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots +\frac{1}{{\omega }^k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+v_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Теорема 1.  Для каждого $M\mathrm{<mo>></mo>0}$ справедлива асимптотическая формула

$\parallel u_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_{\omega }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }_M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \to \infty \mathrm{,}$

где $u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $n\mathrm{<mo>=</mo>0,1,2}$, и $v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решения задач типа (4) и (3) соответственно.

Доказательство. Подставим формально ряд (2) в уравнения (1):

null

В каждом из этих трёх последних равенств поочерёдно приравняем коэффициенты при степенях ${\omega }^0$, ${\omega }^{-1}$, ${\omega }^{-2}$, ${\omega }^{-3}$, а затем применим к полученным уравнениям операцию усреднения. В результате придём к следующему набору задач:

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}\mathrm{<mo>=</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ {\left.\frac{\partial u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\right|}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}\end{array}$ (5)

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial {\tau }^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau +2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ ⟨v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}\end{array}\right.$   (6)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}\mathrm{<mo>=</mo>}-A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ {\left.\frac{\partial u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\right|}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}+{\left.\frac{\partial v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \tau }\right|}_{t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}\end{array}\right.$ (7)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial {\tau }^2}\mathrm{<mo>=</mo>}-2\frac{{\partial }^2{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t\partial \tau }-b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau +2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ ⟨v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}\end{array}\right.$ (8)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}\mathrm{<mo>=</mo>}-A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}+v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ {\left.\frac{\partial u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\right|}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}+{\left.\frac{\partial v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\right|}_{t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}+{\left.\frac{\partial v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \tau }\right|}_{t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}\end{array}\right.$ (9)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2{v}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial {\tau }^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^2{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}-2\frac{{\partial }^2{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t\partial \tau }-b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ v_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau +2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ ⟨v_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}\end{array}\right.$   (10)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2{u}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2{u}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}\mathrm{<mo>=</mo>}-A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-⟨b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\mathrm{,}\\ u_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}+v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ {\left.\frac{\partial u_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\right|}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}+{\left.\frac{\partial v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\right|}_{t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}+{\left.\frac{\partial v_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \tau }\right|}_{t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}\end{array}\right.$ (11)

Положив

$\stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\stackrel{3}{u_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{{\omega }^4}{v}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

придём к задаче

$\left\{\begin{array}{l}{\left(\stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\left(x,t\right)\right)}_{tt}-{\left(\left(\stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\left(x,t\right)\right)\right)}_{xx}+\frac{1}{\omega }a\left(x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\right)\stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\left(x\mathrm{,}t\right)f\left(x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\right)+\left(zx\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\right)\\ \stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\left(x\mathrm{,}t\right){|}_{t=0}=w\left(x\right)\\ {\left(\stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\left(x,t\right)\right)}_t{|}_{t=0}=r\left(x\right)\end{array}\right.$ (12)

где функции $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеют вид

$z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\omega }^3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^2{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}+2\frac{{\partial }^2{v}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t\partial \tau }+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-⟨b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{1}{{\omega }^4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\partial }^2{v}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2{v}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{1}{{\omega }^5}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}{v}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\omega }^4}{v}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\left.\frac{1}{{\omega }^4}\frac{\partial v_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\right|}_{t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{.}$

Отсюда вытекают следующие асимптотические равенства:

$z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \to \infty \mathrm{,}$ (13)

равномерно относительно $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Omega }_M$, где ${\Omega }_M\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\Pi }_M\mathrm{,}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo>;</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$;

$w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \to \infty \mathrm{,}$ (14)

равномерно относительно $x$, $\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\le M$.

Согласно неравенству треугольника

$\parallel u_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\stackrel{2}{u_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }_M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \parallel u_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }_M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\parallel \stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\stackrel{2}{u_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }_M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (15)

Оценим каждое из слагаемых правой части (29). Очевидно, что

$\parallel \stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\stackrel{2}{u_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }_M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \to \infty \mathrm{.}$  (16)

Разность $v_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv u_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\stackrel{3}{{\widehat{u}}_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ представим следующим образом:

$v_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}ds{\displaystyle \underset{x-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi -$

$-\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{x-t}{\overset{x+t}{\int }}}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi -\frac{1}{2\omega }{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}ds{\displaystyle \underset{x-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}s\mathrm{,}\omega s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{.}$

Отсюда и из (13), (14) следует, что

$\parallel v_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }_M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \to \infty \mathrm{.}$ (17)

Из (15) $—$ (17) при любом фиксированном $M\mathrm{<mo>></mo>0}$ получим:

$\parallel u_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\stackrel{2}{u_{\omega }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }_M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \to \infty \mathrm{.}$

Теорема 1 доказана.

3. Обратная задача

Пусть $T$, $\Omega$ и $\Pi$ $—$ те же, что в пункте 2. В полосе $\Pi$ рассмотрим задачу Коши:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_{tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_{xx}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{\omega }a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ u_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}\end{array}\right.$ (18)

Относительно функций $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ сделаем следующие предположения. Функция $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена на $\Pi$ и вместе с производной по $x$ непрерывно дифференцируема по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вплоть до $4$ -го порядка. Функция $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена и непрерывна на множестве $\Omega$ и $2\pi$ =периодична по $\tau$. Функция $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}⟨a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩$ непрерывна на $\Pi$ вместе с двумя производными по $x$. Функция $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена на множестве $\Omega$, три раза непрерывно дифференцируема по совокупности переменных $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и все эти производные непрерывны на $\Omega$. Функция $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена и непрерывна на множестве $Q\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo>;</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ и $2\pi$ =периодична по $\tau$. Положим $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+r_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $r_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}⟨r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩$. Пусть функция $r_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывна на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo>;</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, а $r_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет на $Q$ непрерывные производные по переменной $t$ вплоть до четвертого порядка. Функцию $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющую указанным выше условиям, будем называть функцией класса (I). В этом пункте будем считать её неизвестной.

Пусть заданы следующие объекты: точка $x_0$, для которой $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$, $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$; функция $q\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo>;</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и удовлетворяющая условию $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{q}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$; функция $\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, непрерывная на множестве $Q$, $2\pi$ =периодическая по $\tau$ с нулевым средним и дважды непрерывно дифференцируемая по переменной $\tau$, причём ${{{\chi }^{\prime }}^{\prime }}_{{\tau }^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет непрерывные на $Q$ производные по переменной $t$ вплоть до четвёртого порядка. Отметим следующий факт, который докажем позже: задача (5) с $F\mathrm{<mo>=</mo>}f{r}_0$ при дополнительном условии $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет единственное решение $r_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Теперь введём в рассмотрение ещё две функции

$\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{u}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{u}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где ${\tilde{u}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\tilde{u}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решения задач (7) $—$ (9), в которых положено

$v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

$v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\left[2\frac{{\partial }^2{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t\partial \tau }+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]ds+⟨{\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}}\left[2\frac{{\partial }^2{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t\partial \tau }+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]ds⟩\right)dz+$

$+⟨{\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\left[2\frac{{\partial }^2{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t\partial s}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]ds+⟨{\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}}\left[2\frac{{\partial }^2{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t\partial \tau }+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]ds⟩\right)dz⟩\mathrm{,}$

где $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение задачи (5) с правой частью $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{r}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Определение.  Задачу о нахождении функции $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ класса (I), при которой решение задачи (18) на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, удовлетворяет условию

${‖u_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{\omega }\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{{\omega }^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}‖}_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \to \infty \mathrm{,}$ (19)

будем называть обратной задачей.

Теорема 2.  Обратная задача имеет единственное решение.

Доказательство. Согласно теореме 1 решение задачи Коши (18) при известной функции $r$ класса (I) удовлетворяет условию

${‖u_{\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{\omega }{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{{\omega }^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}‖}_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }_M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \to \infty \mathrm{,}$

где $u_i$, $v_i$ $—$ те же, что в п. 0.2. Отсюда, с учётом (19), следует асимптотическая формула

$\begin{array}{c}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{\omega }{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{{\omega }^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{\omega }\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{{\omega }^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\omega t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^{-3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (20)

Приравняем коэффициенты при степенях ${\omega }^0$, ${\omega }^{-1}$, ${\omega }^{-2}$ в равенстве (20). Отсюда, используя операцию усреднения по $\tau$, $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\omega t$, получим равенства:

$\begin{array}{lclc}& \text{(a)}{u}_0{x}_0\mathrm{,}tqt& & \text{(b)}{\text{u}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{0}}\text{,}\text{t}\text{ϕ}\text{t}\\ & \text{(c)}{u}_2{x}_0\mathrm{,}t\psi t& & \text{(d)}{v}_2{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{,}\tau \chi t\mathrm{,}\tau \end{array}$ (21)

В силу п. 2

$u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{r}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{x_0-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{x_0+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi ds\mathrm{.}$

Отсюда и из (21)(a) следует равенство

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{r}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{x_0-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{x_0+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi ds\mathrm{.}$

Продифференцировав его дважды по $t$, получим уравнение Вольтерра второго рода

${q^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{r}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{f^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{f^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}ds\mathrm{,}$

из которого следует существование и единственность решения $r_0\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Теперь продифференцируем (21)(d) по переменной $\tau$ дважды. В силу (8) получим

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{r}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\partial }^2\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial {\tau }^2}\mathrm{.}$

Таким образом, функция $r_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ также определяется единственным образом. В силу условий, наложенных на функции $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, полученная функция $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+r_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ принадлежит классу (I).

Нетрудно показать, что при найденной функции $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ решение задачи Коши (18) удовлетворяет требуемой асимптотической формуле (19). Теорема 2 доказана.