On spectral properties of one difference operator with involution

Abstract

We consider a difference operator with involution acting in the complex Hilbert space l₂(ℤ). Using the method of similar operators, we reduce it to the diagonal (block diagonal) form, which allows one to obtain various spectral characteristics of the original operator and to construct biinvariant subspaces for it.

Full Text

1. Введение

В последнее время (см., например, [5—11,19,22,24,30] и ссылки в них) рассматривались дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией. Исследование таких операторов производилось различными методами, например, в [8–10] — резольвентным методом.

В [5, 6, 19, 22, 24] применялся к дифференциальным операторам с инволюцией метод подобных операторов. В настоящей работе рассматривается не дифференциальный, а разностный оператор с инволюцией. С помощью метода подобных операторов получены условия его диагонализации (блочной диагонализации), что позволяет оценивать спектральные характеристики этого оператора. Отметим, что проблема диагонализации некоторых классов операторов рассматривалась, например, в [12, 21, 26].

Отметим, что применяется та же модификация метода подобных операторов, что при исследовании дифференциальных операторов первого порядка с инволюцией в [19, 22, 24] (без предвари- тельного преобразования подобия). Эта модификация представлена в работах [2, 23], на теоремы из этих работ мы и будем опираться в дальнейшем. Другие примеры применения этой модификации можно найти в [3].

Перейдем к постановке задачи. В работе, как обычно, через $\mathbb{Z}$ обозначена группа целых чисел, $\mathbb{N}$ $—$ множество натуральных чисел, ${\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\cup \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$. Везде символом $$ обозначено гильбертово пространство и символом $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в $\mathcal{H}$, с нормой

$\parallel X\parallel \underset{\parallel x\parallel \le 1}{\sup }\parallel Xx\parallel$, $x\in \mathcal{H}$, $X\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Введем в рассмотрение следующие два пространства последовательностей, вначале напомнив, что под последовательностью мы понимаем отображение из $\mathbb{Z}$ в $ℂ$. Введем в рассмотрение гильбертово пространство $l_2\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ суммируемых с квадратом модуля комплексных последовательностей $x:\mathbb{Z}\to ℂ$. Скалярное произведение в $l_2$ задается формулой

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}x\mathrm{,}y:\mathbb{Z}\to ℂ\mathrm{,}$

и норма, порождаемая этим скалярным произведением, имеет вид

$\parallel x{\parallel }_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{.}$

Векторы $e_k$, $k\in \mathbb{Z}$, удовлетворяющие условию $e_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\delta }_{nk}$, $n\mathrm{,}k\in \mathbb{Z}$, ${\delta }_{nk}$ — символ Кронекера, образуют безусловный ортонормированный базис в $l_2$. Также в дальнейшем будем использовать банахово пространство $l_1\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ комплексных суммируемых последовательностей, т.е. $x:\mathbb{Z}\to ℂ$, $x\in l_1$,

$\parallel x{\parallel }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo><</mo>}\infty \mathrm{.}$

Определение 1 (см.х[20]) Оператор $A:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ называется нормальным, если $\overline{D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{H}$ и выполнены 2 условия: $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\parallel Ax\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\parallel A^{\mathrm{<mo>*</mo>}}x\parallel$, для всех $x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. При этом если $A\mathrm{<mo>=</mo>}{A}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, то оператор $A$ называется самосопряженным.

В пространстве $l_2$ рассмотрим линейный оператор $A:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset l_2\to l_2$, действующий по формуле $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Ax\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}an+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $n\in \mathbb{Z}$, $a\mathrm{,}b\in ℂ$, $x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, с областью определения

$D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in l_2\mathrm{<mo>:</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}nx\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Рассматриваемый оператор $A$ является нормальным. В случае, если $a\mathrm{,}b\in ℝ$, то оператор $A$ будет самосопряженным.

Спектральные характеристики оператора $A$ известны. А именно, его простыми изолированными собственными значениями являются числа ${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}an+b$, $n\in \mathbb{Z}$, соответствующими собственными векторами $—$ векторы стандартного базиса $\mathrm{<mo>\{</mo>}{e}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ пространства $l_2$, спектральные проекторы Рисса $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_n\mathrm{,}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где ${\sigma }_n\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}an+b\mathrm{<mo>\}</mo>}$, задаются формулой $P_{n}x\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}_n$, $n\in \mathbb{Z}$. Также введем обозначение

$P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo>}\le n}}{P}_i\mathrm{,}n\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{.}$

Оператор $A$ в дальнейшем будет играть роль невозмущенного оператора. Также важно отметить выполнение двух условий, которые понадобятся для возможности применения модификации метода подобных операторов из [2] (это условие разделенности спектра (1) и условие (6)):

$\underset{i\ne j}{\inf }dist{\sigma }_i\mathrm{,}{\sigma }_{j}a\underset{i\in }{\sup }\sum _{n\in \mathbb{Z}\backslash i}{ai-n}^{-2}\infty \mathrm{.}$

Возмутим оператор $A$ ограниченным оператором $B\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, действующим по формуле

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Bx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+c_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$

где последовательности $c_1:\mathbb{Z}\to ℂ$, $c_2:\mathbb{Z}\to ℂ$, $c_0:\mathbb{Z}\to ℂ$, суммируемы с квадратом, т.е. $c_1\mathrm{,}{c}_2\mathrm{,}{c}_0\in l_2$.

Напомним, что оператор $\mathcal{E}\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называется инволюцией, если ${\mathcal{E}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}I$, где $I$ $—$ тождественный оператор в $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В нашем случае $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{E}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $n\in \mathbb{Z}$, $\mathcal{E}\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_2$, поэтому ${\mathcal{E}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}I$ и $B$ $—$ оператор с инволюцией.

Далее рассматривается возмущенный оператор $A-B:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset l_2\to l_2$. Сразу же остановимся на одном важном вопросе. Оператор $A-B$ не есть разностный аналог дифференциального оператора первого порядка с инволюцией. Это совершенно другой оператор, не связанный с дифференциальным, но его спектральные свойства удобно изучать с помощью той же модификации метода подобных операторов из [2, 23], что и для дифференциального оператора с инволюцией. Более того, для дифференциального оператора с инволюцией вначале применяют предварительное преобразование подобия. Для оператора $A-B$ такого делать не надо. А также отметим, что оператор $A-B$ можно рассматривать как хороший иллюстративный пример применения метода, так как для него далее будут построены три различные допустимые тройки.

Отметим, что рассматриваемая в работе проблема близка к проблеме оценки собственных значений бесконечных трехдиагональных матриц со скалярными или матричными элементами (см. [7,25,27$–$29,31$–$33]). При этом в [7] исследование также проводилось с помощью метода подобных операторов, но из=за специфики рассматриваемых в ней блочных трехдиагональных матриц использовалась другая модификация метода подобных операторов, разработанная в статье [4]. В [27$–$29, 31$–$33] использовался другой подход к решению задачи оценки собственных значений, связанный с приближениями их собственными значениями усеченных (конечных) трехдиагональных матриц.

Трехдиагональные матрицы специального типа также возникают при дискретизации дифференциальных уравнений второго порядка. У них последовательности $c_1\mathrm{,}{c}_2:\mathbb{Z}\to ℂ$ — постоянные и каждый элемент этих последовательностей равен единице, а последовательность $c_0:\mathbb{Z}\to ℂ$ нулевая. Они не укладываются в приводимую ниже схему. Поэтому для них удобны другие модификации метода подобных операторов (см. [13-16]). Заметим, что если возмущение $B$ рассматривать как элемент пространства $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то и для исследуемого оператора $A-B$ подойдет одна из модификаций метода подобных операторов из [15, 16], связанная с использованием в качестве пространства допустимых возмущений пространства $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Оператор—возмущение $B\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$принадлежит более узкому операторному пространству, вложенному в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, двустороннему идеалу операторов Гильберта— Шмидта ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Как обычно, норма в ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой $\parallel X{\parallel }_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X{X}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}$. Здесь $tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X{X}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ след оператора $X{X}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, принадлежащего двустороннему идеалу ${\mathcal{G}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ядерных операторов из $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с нормой

$\parallel X{\parallel }_1\mathrm{<mo>=</mo>}tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X{X}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{s}_n\mathrm{,}$

где $s_n$ $—$ последовательность $s$ =чисел оператора $X$. Формула $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X{Y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяет скалярное произведение в ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Мы будем использовать стандартные свойства идеала ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из, например, [17, 18].

Пусть $\mathrm{<mo>\{</mo>}{Q}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ система ортопроекторов из $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, образующая разложение единицы, т.е. обладающая свойствами $Q_n{Q}_m\mathrm{<mo>=</mo>}{Q}_m{Q}_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$ при $n\ne m$ и

${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{Q}_{n}x\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{,}x\in l_2\mathrm{.}$

Тогда в ${}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно ввести эквивалентную норму по формуле

$\parallel X{\parallel }_2^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}}}\parallel P_{i}X{P}_j{\parallel }_2^2\mathrm{.}$

Оператор Гильберта$–$ Шмидта имеет матрицу Гильберта$–$ Шмидта: для $X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $X\sim \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при выполнении условия

${\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_{ij}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo><</mo>}\infty$

имеем

$\parallel X{\parallel }_2^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_{ij}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{.}$

Возмущение $B$, очевидно, принадлежит ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$\parallel B{\parallel }_2^2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{c}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{c}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{.}$

Перейдем к краткому описанию метода.

2. Об используемом методе исследования

Определение 2 (см.[4])  Два линейных оператора $A_i:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathcal{H}\subset \to \mathcal{H}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор $U\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что

$UD\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{A}_{1}Ux\mathrm{<mo>=</mo>}U{A}_{2}x\mathrm{,}x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Оператор $U$ называется оператором преобразования оператора $A_1$ в оператор $A_2$.

Подобные операторы интересны тем, что зная спектральные свойства одного оператора, мы знаем и спектральные свойства другого. Соответствующий результат удобно привести в виде следующей леммы.

Лемма 1  Пусть $A_i:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, $—$ подобные операторы и $U\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ оператор преобразования. Имеют место следующие утверждения.

1.  $Im{A}_1\mathrm{<mo>=</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Im{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2.  $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, $—$ спектр, дискретный, непрерывный и остаточный спектры операторов $A_i$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$.

3.  Пусть $e$ $—$ собственный вектор оператора $A_2$, отвечающий собственному значению $\lambda$, $A_{2}e\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda e$; тогда $Ue$ $—$ собственный вектор оператора $A_1$, причем $A_{1}Ue\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda Ue$.

4.  Если оператор $A_2$ допускает разложение $A_2\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{21}\oplus A_{22}$, где $A_{2k}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_2{\mathrm{<mo>|</mo>}}_k$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, $—$ сужение $A_2$ на ${\mathcal{H}}_k$ относительно прямой суммы $\mathcal{H}{\mathrm{<mo>=</mo>}}_1\mathcal{H}{\oplus }_2$ инвариантных относительно $A_2$ подпространств ${\mathcal{H}}_1$, ${\mathcal{H}}_2$, то подпространства ${\tilde{\mathcal{H}}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{H}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, инвариантны относительно оператора $A_1$ и $A_1\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{11}\oplus A_{12}$, где $A_{1k}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_1\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_k$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, относительно разложения $\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_1\oplus {\tilde{\mathcal{H}}}_2$. Кроме того, если $P$ $—$ проектор, осуществляющий разложение $\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{H}}_1\oplus {\mathcal{H}}_2$ (т.е. ${\mathcal{H}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}ImP$ $—$ образ проектора $P$, ${\mathcal{H}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}Im\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I-P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ образ дополнительного проектора $I-P$ ), то проектор $\tilde{P}\in End\mathcal{H}$, осуществляющий разложение $\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_1\oplus {\tilde{\mathcal{H}}}_2$, определяется формулой $\tilde{P}\mathrm{<mo>=</mo>}UP{U}^{-1}$.

5.  Если оператор $A_2$ является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов $T_2:{ℝ}_{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (полугруппы класса $C_0$ ), то оператор $A_1$ является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов

$T_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}U{T}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}^{-1}\mathrm{,}t\ge \mathrm{0,}{T}_1:{ℝ}_{+}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Определение 3 (см. [2, 23])  Пусть $\mathcal{M}\subset \left|\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right.$ $—$ банахово пространство с нормой $\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ и $J:\mathcal{M}\to \mathcal{M}$, $\Gamma :\mathcal{M}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $J\mathrm{,}\Gamma \in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ трансформаторы (т.е. линейные операторы, действующие в пространстве линейных операторов). Тройку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ назовем допустимой тройкой для оператора $A$, а $\mathcal{M}$ $—$ допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия: [ (i)]

(i). $J$ и $\Gamma$ $—$ непрерывные трансформаторы, причем $J$ $—$ проектор и $J^2\mathrm{<mo>=</mo>}J$;

(ii). $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и имеют место равенства $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{<mo>=</mo>}X-JX$ для любого $X\in$, выполняемые на векторах из $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, причем $Y\mathrm{<mo>=</mo>}\Gamma X$ единственное решение уравнения $AY-YA\mathrm{<mo>=</mo>}X-JX$, удовлетворяющее условию $JY\mathrm{<mo>=</mo>0}$;

(iii). $X\Gamma Y\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Y\in \mathcal{M}$ для любых $X\mathrm{,}Y\in \mathcal{M}$, и существует такая постоянная $\gamma \mathrm{<mo>></mo>0}$, что

$\parallel \Gamma \parallel \le \gamma \mathrm{,}\max \mathrm{<mo>\{</mo>}\parallel X\Gamma Y{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Y{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\le \gamma \parallel X{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\parallel Y{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$

для любых $X\mathrm{,}Y\in$;

(iv). $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}JY\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для всех $X\mathrm{,}Y\in \mathcal{M}$;

(v). для любых $X\in \mathcal{M}$ и $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ можно указать такое число ${\lambda }_{\epsilon }\in \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что

$\parallel X{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-{\lambda }_{\epsilon }I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\parallel \le \epsilon \mathrm{.}$

Отметим, что для одного невозмущенного оператора иногда можно построить несколько разных допустимых троек. Мы построим три допустимые тройки.

Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ некоторая допустимая тройка. Оператор преобразования оператора $A-B$, $B\in \mathcal{M}$, в оператор $A-JX$, $X\in \mathcal{M}$, имеющий по сравнению с $A-B$ более простую структуру, в виде $U\mathrm{<mo>=</mo>}I+\Gamma X$. Мы будем рассматривать два случая: $JB\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $JB\ne 0$.

Теорема 1. (см.[2, 23]) Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ допустимая для оператора $A$ тройка, $JB\mathrm{<mo>=</mo>0}$, и выполнено условие

$3\gamma \parallel B{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\parallel J\parallel \mathrm{<mo><</mo>1.}$                                                    (1)

Тогда оператор $A-B$ подобен оператору $A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, т.е. имеет место равенство

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+\Gamma X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+\Gamma X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                 (2)

где $X\in \mathcal{M}$ $—$ решение уравнения

$\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}B\Gamma X-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{,}$                        (3)

причем единственное. Оно может быть найдено методом простых итераций $X_{n+1}\mathrm{<mo>=</mo>}\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $n\ge 0$, где $X_0\mathrm{<mo>=</mo>0,}{X}_1\mathrm{<mo>=</mo>}B\mathrm{,}\dots$.

Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ допустимая для оператора $A$ тройка, $JB\ne 0$ и выполнено условие

$4\gamma \parallel B{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\parallel J\parallel \mathrm{<mo><</mo>1.}$

Тогда имеет место равенство (2), где оператор $X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in \mathcal{M}$ $—$ решение уравнения

${\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}B\Gamma X-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}JB-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{,}$      (4)

и оно может быть найдено методом простых итераций $X_{i+1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>0,1,2,}\dots$, $X_0\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Заметим, что условия определения 3 $—$ это условия корректного определения операторов $J\mathrm{,}\Gamma \in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и, в частности, операторов $\Phi :\mathcal{M}\to \mathcal{M}$, ${\Phi }_1:\mathcal{M}\to \mathcal{M}$ в правой части уравнений (3), (4).

Следствие 1 Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ допустимая тройка для оператора $A$, оператор $B\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет условию (1) и оператор $A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, где $X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ $—$ решение нелинейного операторного уравнения (3), является генератором полугруппы операторов $\tilde{T}:{ℝ}_{+}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда оператор $A-B$ является генератором полугруппы операторов $T:{ℝ}_{+}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определенной равенствами

$T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+\Gamma X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\tilde{T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+\Gamma X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}t\in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$

3. Основные результаты

Применим к исходному оператору $A-B$ все рассуждения из работы [2], еще раз подчеркнув, что он полностью удовлетворяет условиям, накладываемым на возмущенный оператор в этой работе.

Начнем с построения семейства трансформаторов $J_k$, ${\Gamma }_k\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, используя для этого матричный подход, согласно [2]. Также обозначим $J$ и $\Gamma$ через $J_0$ и ${\Gamma }_0$ соответственно.

Трансформаторы $J\mathrm{,}\Gamma \in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $J_k\mathrm{,}{\Gamma }_k\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, определяются для оператора $X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, имеющего матрицу $X\sim \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}$, через свои матрицы следующим образом:

$\begin{array}{l}{JX}_{ij}\left\{\begin{array}{ll}{x}_{ij}\mathrm{,}& ij\mathrm{,}\\ \mathrm{0,}& i\ne j\mathrm{,}\end{array}\right.\\ {J_{k}X}_{ij}\left\{\begin{array}{ll}{x}_{ij}\mathrm{,}& \max ij\le k\mathrm{,}\\ x_{ij}& ij\mathrm{,}ik\mathrm{,}\\ \mathrm{0,}& \mathrm{в} \mathrm{противном} \mathrm{случае}\end{array}\right.\begin{array}{}\\ \\ \end{array}\end{array}\begin{array}{l}{\Gamma X}_{ij}\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{0,}& i\ne j\\ \frac{x_{ij}}{ai-j}& ij\end{array}\right.\\ {{\Gamma }_{k}X}_{ij}\left\{\begin{array}{ll}0,& \max ij\le k,\\ 0,& ij,ik\mathrm{,}\\ \frac{x_{ij}}{ai-j}& \mathrm{в} \mathrm{противном} \mathrm{случае}\end{array}\right.\end{array}$

Отметим, что оператор $J\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой

$JX\mathrm{<mo>=</mo>}{J}_{0}X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in \mathbb{Z}}}{P}_{i}X{P}_i\mathrm{,}$

а оператор $J_k\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $—$ формулой

$J_{k}X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}}{P}_{i}X{P}_i+P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}X{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}k\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{.}$

Подчеркнем, что если оператор $X$ из ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то операторы $J_{k}X$ и ${\Gamma }_{k}X$ при любом $k\ge 0$ определены корректно, их матрицы являются матрицами Гильберта$–$ Шмидта и константа $\gamma$ из определения 3 равна $\mathrm{1<mo>/</mo><mo>|</mo>}a\mathrm{<mo>|</mo>}$.

Отметим, что возмущение $B$ можно также рассматривать как оператор из $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда в качестве пространства допустимых возмущений удобно брать также $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и для любого $X\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ операторы $J_{k}X$ и ${\Gamma }_{k}X$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, также принадлежат $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и их матричные элементы определяются теми же формулами (см., например, [14, 15]). Но в этом случае константа $\gamma$ оценивается величиной $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_k\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo>|</mo>}a{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}$, где точное значение константы $C$ неизвестно, а известна лишь ее оценка $C\le 5$ (см. [1]).

Теорема 2. (см.23, [3.5]) Тройка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{J}_k\mathrm{,}{\Gamma }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является допустимой тройкой для невозмущенного оператора $A$ при любом $k\ge 0$.

Теорема 3. (см.[23, лемма 1]) Тройка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{J}_k\mathrm{,}{\Gamma }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является допустимой тройкой при любом $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$.

Из [3, теорема 5.3] (для $\mathcal{M}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ), а также теоремы 1 и леммы 1 (для $\mathcal{M}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ) немедленно вытекает следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть $B\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и выполнено одно из следующих условий:

$3\parallel B{\parallel }_2\mathrm{<mo><</mo><mo>|</mo>}a\mathrm{<mo>|</mo>,}$                                                           (5)

$15\parallel B\parallel \mathrm{<mo><</mo><mo>|</mo>}a\mathrm{<mo>|</mo>.}$                                                          (6)

Тогда оператор $A-B$ подобен оператору $A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, имеющему диагональную матрицу, где $X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in \mathcal{M}$ $—$ решение рассматриваемого в $$ нелинейного уравнения (2). При этом в случае условия (5) выполнено $X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а в случае условия (6) $—$ $X\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Отметим, что оба условия (5) и (6) очень ограничительны, поэтому удобно рассмотреть другое пространство допустимых возмущений ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, в котором возможна блочная диагонализация оператора $A-B$ при отсутствии условий на малость нормы оператора $B$.

Теперь, следуя работам [2, 23], рассмотрим для ненулевого $X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ двустороннюю последовательность вещественных чисел вида

${\alpha }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\parallel X{\parallel }_2^{-\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\max \mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}\ge n\mathrm{,}k\in \mathbb{Z}}}\parallel P_{k}X{\parallel }_2^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>4}}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}\ge n\mathrm{,}k\in \mathbb{Z}}}\parallel X{P}_k{\parallel }_2^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>4}}\mathrm{<mo>\}</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Обозначим ${\alpha }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\alpha }_n$. Введем в рассмотрение подпространство ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ операторов из ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, представимых в виде $X\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_{l}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $X\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}_r$, где $X_r\mathrm{,}{X}_l\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}{\alpha }_n{P}_n\mathrm{.}$

Норма в ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой $\parallel X{\parallel }_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\max \mathrm{<mo>\{</mo>}\parallel X_l{\parallel }_2\mathrm{,}\parallel X_r{\parallel }_2\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Сразу же отметим, что так как ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то трансформаторы $J$ и $\Gamma$ определены, при этом $J\mathrm{,}\Gamma \in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Причем легко показать, что они переводят ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Из [2, теорема 5.7] следует теорема о блочной диагонализации оператора $A$.

Теорема 5.  Существует такое $k\ge 0$, что оператор $A-B$ подобен блочно=диагональному оператору

$\tilde{A}\mathrm{<mo>=</mo>}A-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}X{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}}{P}_{i}X{P}_i\mathrm{,}$

где $X\in {\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ есть решение уравнения (4). Преобразование подобия оператора $A-B$ в оператор $\tilde{A}$ осуществляет такой оператор $U\mathrm{<mo>=</mo>}I+{\Gamma }_{k}X\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что $U-I\in {\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Перейдем к оценке спектральных характеристик оператора $A-B$, используя, опять же, результаты из [2, 3]. Из [2, замечание 6.2], а также теоремы 5 и леммы 1 немедленно вытекает

Следствие 2  Собственные векторы ${\tilde{e}}_i$, $i\in \mathbb{Z}$, оператора $A-B$ образуют в пространстве $l_2$ базис Рисса, базис Бари со скобками и $p$ =базис со скобками при $p\ge 2$.

Теорема 6. Спектр $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оператора $A-B$ допускает представление в виде объединения взаимно непересекающихся конечных множеств ${\tilde{\sigma }}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${\tilde{\sigma }}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, при этом

${\tilde{\sigma }}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}Im{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

${\tilde{\sigma }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A-P_i{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}Im{P}_i\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$

$\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{\sigma }}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \cup }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}{\cup }}{\tilde{\sigma }}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где множество ${\tilde{\sigma }}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ содержит не более чем $2k+1$ собственных значений, множества ${\tilde{\sigma }}_i\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\tilde{\lambda }}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, одноточечны. Для собственных значений ${\tilde{\lambda }}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, оператора $A-B$ и соответствующих собственных векторов ${\tilde{e}}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, имеют место асимптотические оценки

$\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{\lambda }}_i-ai-b\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}{\delta }_i\mathrm{,}\parallel {\tilde{e}}_i-e_i\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_{i^{\prime }}\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$

где последовательности ${\delta }_i\in l_1$ и ${\delta }_{i^{\prime }}\in l_2$.

Обозначим через ${\tilde{P}}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, спектральные проекторы оператора $A-B$, построенные по спектральным множествам ${\tilde{\sigma }}_i\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\tilde{\lambda }}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, ${\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\sigma }}_k\mathrm{,}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$.

Имеет место следующая теорема, вытекающая из [2, теорема 6.3] и леммы 1.

Теорема 7. Спектральные проекторы связаны соотношениями

${\tilde{P}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_i{U}^{-1}+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_i{U}^{-1}\mathrm{,}{\tilde{P}}_i-P_i\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_i-P_i{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}^{-1}\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$

${\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{U}^{-1}+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{U}^{-1}\mathrm{,}{\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}^{-1}\mathrm{,}$

где $U\mathrm{<mo>=</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$,

$U^{-1}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j\mathrm{.}$

При этом $\parallel {\tilde{P}}_i-P_i{\parallel }_2\le {\eta }_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, и последовательность $\eta$ принадлежит $l_2$.

Определение 4. Нетривиальное замкнутое линейное подпространство ${\mathcal{H}}_0\subset \mathcal{H}$ называется биинвариантным для линейного замкнутого оператора $\mathcal{E}:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$, если ${\mathcal{H}}_0$ и его ортогональное дополнение ${\mathcal{H}}_0^{\perp }$ инвариантны относительно $\mathcal{E}$.

Очевидно, что если оператор $\mathcal{E}$ перестановочен с некоторым ортопроектором $Q$, то подпространства $ImQ$ и $KerQ$ являются биинвариантными для оператора $\mathcal{E}$.

Таким образом, подпространства $Im{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $Im{P}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, образуют в пространстве $l_2$ базис из подпространств (см. определение в [1]), а также счетную систему биинвариантных подпространств для невозмущенного оператора $A$.

Определение 5.  (см.[17]) Пусть ${\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$ $—$ базис из подпространств в пространстве $\mathcal{H}$, $U\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и оператор $I+U$ обратим. Тогда подпространства $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$, образуют в пространстве $\mathcal{H}$ базис из подпространств, эквивалентный ортогональному, или спрямляемый, или базис Рисса из подпространств.

Определение 6.  Пусть $A_i:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ подобны, $A_{1}U\mathrm{<mo>=</mo>}U{A}_2$, $U\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Пусть также подпространства ${\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$ $—$ биинвариантны для оператора $A_2$. Тогда подпространства $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$, назовем для оператора $A_1$ биинвариантными подпространствами Рисса. Если же $U\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то назовем их биинвариантыми для $A_1$ подпространствами Бари.

Из основной теоремы о подобии (теоремы 5) операторов $A-B$ и $A-J_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ немедленно следует

Теорема 8.  Подпространства ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, образуют в пространстве $l_2$ базис Бари из подпространств и систему Бари биинвариантных подпространств для оператора $A-B$.

Далее предполагается, что невозмущенный оператор $A$ самосопряжен (т.е. $a\mathrm{,}b\in ℝ$ ).

Из следствия 2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 9. Оператор $i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является генератором сильно непрерывной группы операторов $T_0:ℝ\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и эта группа подобна группе ${\tilde{T}}_0:ℝ\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вида

${\tilde{T}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}t}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}}{e}^{i{\tilde{\lambda }}_n{I}_{n}t}{P}_n\mathrm{,}$

где через $I_n$ обозначен тождественный оператор в ${\mathcal{H}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{I}_m{P}_n$, $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, а через $I_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ тождественный оператор в ${\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.