Application of the method of similar operators to some classes of difference operators

Full Text

1. Введение. В работе рассматриваются разностные операторы второго порядка, соответствующие оператору Штурма$–$Лиувилля при дискретизации. Данная статья носит полуобзорный характер. В ней рассматривается как случай обычного потенциала, так и случай потенциала с инволюцией. Методом исследования служит метод подобных операторов. При этом акцент делается именно на отличиях в применении метода в зависимости от типа растущего потенциала. Заметим, что трехдиагональные матрицы $n$ -го порядка, соответствующие разностным уравнениям Штурма$–$ Лиувилля, рассматривались в работе [23]; там же с использованием вариационного принципа получены двусторонние оценки наименьшего собственного значения матриц указанного типа. Полученные в [23] результаты и методы исследования получили свое дальнейшее развитие в [24, 30]. В работе [24], являющейся в некотором роде продолжением [23], упор делается на коэрцитивных оценках решений разностных уравнений, а в [30] произведено обобщение и развитие метода из [23] и его применение к разностным теоремам вложения. В настоящей работе рассматриваются бесконечные аналоги разностных матриц из [23] и соответствующих операторов с точки зрения их спектральных свойств.

Трехдиагональные бесконечные матрицы с различными условиями на матричные элементы как числовые, так и блочные (операторные) широко используются в прикладных задачах. При этом элементы, стоящие на диагоналях, параллельных главной, не обязаны быть одинаковыми. Обычно рассматриваются несколько иные классы трехдиагональных бесконечных матриц таких, как в [5, 40]. Отметим отдельно работу [5], в которой содержится качественный обзор результатов и библиографии по спектральным свойствам этих матриц. Существуют различные способы оценки собственных значений рассматриваемых в [5] матриц. Одним из которых является их приближение собственными значениями некоторых конечных усеченных матриц (см. [38, 43]). В работе [5] оценки собственных значений производились с использованием метода подобных операторов с предварительным преобразованием подобия. Мы также будем использовать метод подобных операторов, но другую, отличную от [5] его модификацию, потому что в нашем случае элементы матрицы не удовлетворяют условиям из [5]. Отметим также работу [10] и имеющийся в ней обзор. В [10] рассматривались трехдиагональные бесконечные матрицы, у которых по диагоналям, параллельным главной, стоят последовательности, суммируемые с квадратом, а элементы главной диагонали «не разбегаются». Спектральные свойства таких матриц также исследовались с помощью метода подобных операторов, но при этом использовалась модификация метода подобных операторов обычно применяемая для дифференциальных операторов первого порядка с инволюцией и Дирака. Трехдиагональные матрицы из [10] дают хороший модельный пример указанной модификации, так как для него можно выписать и просчитать в явном виде весовую последовательность, используемую в методе.

В настоящей работе сначала проведен обзор результатов, касающихся спектральных свойств бесконечных трехдиагональных матриц, таких, как матрицы из [23] в случае четного потенциала и потенциала общего вида из [8, 9, 11, 39]. Затем приводятся новые результаты, касающиеся асимптотики собственных значений в случае потенциала с инволюцией. Упор делается на отличиях в применении метода исследования в зависимости от потенциала. Также приведены результаты, касающиеся биинвариантных подпространств.

2. Постановка задачи. Перейдем к постановке задачи. Как обычно, через $\mathbb{Z}$ обозначено множество целых чисел, $ℂ$ $—$ поле комплексных чисел, а через $l_2\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ гильбертово пространство последовательностей $x\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$ с нормой, индуцированной стандартным скалярным произведением:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}{x}_n{\overline{y}}_n\mathrm{,}\parallel x{\parallel }^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_n{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{.}$

В пространстве $l_2$ стандартный базис состоит из таких векторов $\mathrm{<mo>\{</mo>}{l}_i\mathrm{,}i\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$, что $l_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\delta }_{in}$, $i\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}$. Согласно [23] в пространстве $l_2$ рассматривается разностный оператор ${\mathcal{E}}_0\mathrm{<mo>:</mo>}{l}_2\to l_2$, заданный своей (бесконечной) трехдиагональной матрицей в базисе $\mathrm{<mo>\{</mo>}{e}_i\mathrm{,}i\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$:

${\mathcal{A}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccccccc}\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -1& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2& -1& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2& -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2& -1\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right)\mathrm{.}$

Отметим, что рассматриваемый класс матриц соответствует разностным уравнениям Штурма$–$Лиувилля. Условия на последовательность $a\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$ будут приведены ниже. Кроме матрицы ${\mathcal{A}}_1$ также введем в рассмотрение матрицу ${\mathcal{A}}_2$ вида

${\mathcal{A}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccccccc}\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -1& 2& -1& 0& 0& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}& 0\\ 0& -1& 2& -1& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}& 0& 0\\ 0& 0& -1& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2& -1& 0& 0\\ 0& 0& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}& -1& 2& -1& 0\\ 0& a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}& 0& 0& -1& 2& -1\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right)\mathrm{.}$

Матрицы типа матрицы ${\mathcal{A}}_2$ соответствуют разностным уравнением Штурма$–$Лиувилля с потенциалом с инволюцией.

Отметим, что в настоящее время дифференциальные операторы первого и второго порядка с инволюцией активно изучаются (см., например, [6, 7, 17, 33, 34, 36, 42]). Дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией также исследовались методом подобных операторов (см. [33, 34, 36]), но применялась другая схема метода подобных операторов из [35], в основе которой лежит возможность с помощью предварительного преобразования подобия перевести исследуемый оператор к оператору с возмущением из весового пространства операторов Гильберта$–$Шмидта. В рассматриваемом случае такая схема не работает.

Пусть матрица ${\mathcal{A}}_1$ определяет в $l_2$ оператор $A_1\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset l_2\to l_2$ с областью определения

$D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in l_2\mathrm{<mo>:</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{<mo>\}</mo>}$

а матрица ${\mathcal{A}}_2$ естественным образом определяет оператор $A_2\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset l_2\to l_2$, где

$D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in l_2\mathrm{<mo>:</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Для оператора $A_1$ введем две группы условий на последовательность $a\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$: [ (I)]

1. $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $i\ne j$, $i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}$; $\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\mathrm{<mo>|</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\to \infty$;

$\mathrm{0<mo><</mo>}{d}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{i\ne j}{{\displaystyle \inf }}\mathrm{<mo>|</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\to \infty \mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo>}\to \infty \mathrm{,}j\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>;</mo>}$

2. $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\ne -j$, $i$, $j\in \mathbb{Z}$;

$\mathrm{0<mo><</mo>}{d}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{i\ne j}{{\displaystyle \inf }}\mathrm{<mo>|</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\to \infty \mathrm{,}$

Первая группа условий соответствует растущему потенциалу общего вида, вторая группа условий $—$ четному растущему потенциалу. Для оператора $A_2$ условия на растущую последовательность $a\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℝ$ следующие: [ (I)]

1. $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\in \mathbb{N}$, $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\ne j$, $i\mathrm{,}j\in {\mathbb{Z}}_{+}$,

$d_i\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{i\ne j}{{\displaystyle \inf }}\mathrm{<mo>|</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\to \infty \mathrm{,}i\to \infty \mathrm{,}i\mathrm{,}j\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{.}$

Через $End{l}_2$ обозначим банахову алгебру всех линейных ограниченных операторов, действующих в $l_2$. Представим оператор $A_1$ в виде

$A_1\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_0-B\mathrm{,}$

где

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{0}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{,}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$B\in End{l}_2\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Bx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Оператор $A_0$ $—$ нормальный оператор (см. определение 1), в случае выполнения группы условий (I) он имеет простые изолированные собственные значения

${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{2,}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{n\in \mathbb{Z}}{\cup }}\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>,}$

а векторы $\mathrm{<mo>\{</mo>}{e}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ являются его собственными векторами. Пусть $P_n\mathrm{<mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>,}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ спектральный проектор, построенный по спектральному множеству $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $n\in \mathbb{Z}$, $P_{n}x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{e}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}_n$, $n\in \mathbb{Z}$. В случае выполнения условий (II) собственные значения ${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2$, $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, оператора $A_0$ являются двукратными, ${\lambda }_0\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2$ $—$ простое, векторы $e_n$, $n\in \mathbb{Z}$, также являются собственными векторами. Пусть

$P_{0}x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{e}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}_0\mathrm{,}{P}_{n}x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{e}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}_n+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{e}_{-n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}_{-n}\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$

Важно отметить, что из-за кратности собственных значений оператора $A_0$ в дальнейшем, при применении метода подобных операторов, приходится рассматривать именно блочные матрицы, состоящие из блоков $2\times 2$. Иначе метод подобных операторов применять нельзя. Также блочные матрицы приходится рассматривать при применении других модификаций метода подобных операторов, например, в [3, 4, 25, 35, 37, 44].

Перейдем к оператору $A_2$. Его также можно представить в виде $A_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{A}}_0-B$, где оператор $B$ останется таким же, как и в предыдущем случае, и

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{A}}_{0}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{,}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{A}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Отметим, что при применении метода подобных операторов обычно невозмущенный оператор не изменяется, а возмущения бывают различными или рассматриваемыми в разных операторных пространствах. В данной же статье наоборот, меняется вид невозмущенного оператора в зависимости от того, является ли рассматриваемый оператор оператором с инволюцией.

3. Предварительные сведения. Пусть $\mathcal{H}$ $—$ абстрактное гильбертово пространство.

Определение 1 ([26]). Линейный замкнутый оператор $A\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$, $\overline{D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{H}$, называется нормальным, если для сопряженного оператора выполнены условия $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\parallel A^{\mathrm{<mo>*</mo>}}x\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\parallel Ax\parallel$, $x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и самосопряженным, если $A^{\mathrm{<mo>*</mo>}}x\mathrm{<mo>=</mo>}Ax$.

Отметим, что оператор $A_1$ является самосопряженным в случае вещественной последовательности $a\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$, а в общем случае он нормальный. Оператор $A_2$ является самосопряженным, так как последовательность $a\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$ вещественная и четная.

Определение 2. Два линейных оператора ${\mathcal{E}}_i\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, называются подобными, если существует такой непрерывно обратимый оператор $U\in End\mathcal{H}$, что

$UD\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\mathcal{E}}_{1}Ux\mathrm{<mo>=</mo>}U{\mathcal{E}}_{2}x\mathrm{,}x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Оператор $U$ называется оператором преобразования оператора ${\mathcal{E}}_1$ в оператор ${\mathcal{E}}_2$ или сплетающим оператором.

Широкое использование преобразования подобия обусловлено тем, что спектральные свойства одного из операторов можно найти, зная спектральные свойства ему подобного. Соответствующее утверждение удобно оформить в виде следующей леммы.

Лемма 1. Пусть ${\mathcal{E}}_i\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ $—$ подобные операторы и $U$ $—$ оператор преобразования. Тогда имеют место следующие утверждения. [ (a)]

1. $Im{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Im{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2. если $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ спектр, дискретный, непрерывный и остаточные спектры оператора ${\mathcal{E}}_i$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, то

$\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\sigma }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\sigma }_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

3. Пусть $e$ $—$ собственный вектор оператора ${\mathcal{E}}_2$, отвечающий собственному значению $\lambda$, ${\mathcal{E}}_{2}e\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda e$. Тогда ${\mathcal{E}}_{1}Ue\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda Ue$.

4. Если оператор ${\mathcal{E}}_2$ допускает разложение

${\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{E}}_{21}\oplus {\mathcal{E}}_{22}\mathrm{,}{\mathcal{E}}_{2k}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo>|</mo>}{\mathcal{H}}_k\mathrm{,}$

и $\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{H}}_1\oplus {\mathcal{H}}_2$ $—$ прямая сумма инвариантных относительно ${\mathcal{E}}_2$ подпространств ${\mathcal{H}}_1$ и ${\mathcal{H}}_2$, то подпространства ${\tilde{\mathcal{H}}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{H}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, инвариантны относительно оператора ${\mathcal{E}}_1$ и

${\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{E}}_{11}\oplus {\mathcal{E}}_{12}\mathrm{,}{\mathcal{E}}_{1k}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_k\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$

Более того, пусть $P$ $—$ проектор, осуществляющий разложение

$\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{H}}_1\oplus {\mathcal{H}}_2\mathrm{,}{\mathcal{H}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}ImP\mathrm{,}{\mathcal{H}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}Im\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I-P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

то проектор $\tilde{P}\in End\mathcal{H}$, осуществляющий разложение

$\tilde{\mathcal{H}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_1\oplus {\tilde{\mathcal{H}}}_2\mathrm{,}$

определяется формулой

$\tilde{P}\mathrm{<mo>=</mo>}UP{U}^{-1}\mathrm{.}$

5. Если ${\mathcal{E}}_2$ $—$ генератор сильно непрерывной полугруппы операторов $T_2\mathrm{<mo>:</mo>}{ℝ}_{+}\to End\mathcal{H}$, то оператор ${\mathcal{E}}_1$ также является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов $T_1\mathrm{<mo>:</mo>}{ℝ}_{+}\to End\mathcal{H}$, $T_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}U{T}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}^{-1}$, $t\ge 0$.

Пусть пространство $\mathcal{H}$ представимо в виде прямой суммы взаимно ортогональных ненулевых замкнутых подпространств ${\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$, т.е.

$\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{n\in \mathbb{Z}}{{\displaystyle \oplus }}{\mathcal{H}}_n\mathrm{,}$ (1)

где ${\mathcal{H}}_i$ ортогонально ${\mathcal{H}}_j$ при $i\ne j$, $i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}$, и

$x\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}{x}_n\mathrm{,}{x}_n\in {\mathcal{H}}_n\mathrm{,}\parallel x{\parallel }^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\parallel x_n{\parallel }^2\mathrm{.}$

В этом случае последовательность ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{H}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in \mathbb{Z}}$ обычно называют ортогональным базисом из подпространств пространства $\mathcal{H}$ (см. [12, 18]). Такое представление пространства $\mathcal{H}$ ведет к существованию разложения единицы системы ортопроекторов $\mathcal{P}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{P}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$. При этом проекторы $P_n$, $n\in \mathbb{Z}$, обладают следующими свойствами:

$P_n^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>;</mo>}{P}_i{P}_j\mathrm{<mo>=</mo>0}\text{приi}\ne \text{j}\text{,i}\text{,j}\in \mathbb{Z}\text{;}$

ряд ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}{P}_{n}x$ безусловно сходится к $x\in \mathcal{H}$ и $\parallel x{\parallel }^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\parallel P_{n}x{\parallel }^2$; из равенств $P_{k}x\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $k\in \mathbb{Z}$, следует, что вектор $x$ нулевой; ${\mathcal{H}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}Im{P}_k$, $x_k\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_{k}x$, $k\in \mathbb{Z}$.

Определение 3 (см. [25, 36]). Линейный оператор $\mathcal{E}\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ называется ортогональной прямой суммой ограниченных операторов ${\mathcal{E}}_n\in End{\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$, относительно разложения (1), если выполнены следующие условия: [ (i)]

1. ${\mathcal{H}}_n\subset D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in \mathcal{H}\mathrm{<mo>:</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb{J}}}\parallel {\mathcal{E}}_k{x}_k{\parallel }^2\mathrm{<mo><</mo>}\infty {\mathrm{,}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_{k}x\mathrm{,}k\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ для всех $n\in \mathbb{Z}$;

2. каждое подпространство ${\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$, инвариантно относительно оператора $\mathcal{E}$ и ${\mathcal{E}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$, есть сужение оператора $\mathcal{E}$ на ${\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$;

3. $\mathcal{E}x\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb{Z}}}{\mathcal{E}}_k{x}_k$, $x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $x_k\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_{k}x$, $k\in \mathbb{Z}$.

При этом используется обозначение

$\mathcal{E}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{n\in \mathbb{Z}}{{\displaystyle \oplus }}{\mathcal{E}}_n\mathrm{,}$ (2)

Если для последовательности подпространств ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in \mathbb{Z}}$ существует такой линейный ограниченный непрерывно обратимый оператор $U$ и такой ортогональный базис из подпространств ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{H}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in \mathbb{Z}}$, что ${\tilde{\mathcal{H}}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}U{\mathcal{H}}_n$, то ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in \mathbb{Z}}$, очевидно, тоже является базисом. Его принято называть базисом Рисса из подпространств (см. [12, 18]). Кроме того, если оператор $U$ представим в виде $U\mathrm{<mo>=</mo>}I+W$, где $W\in {\mathfrak{S}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то базис Рисса будем называть базисом Бари. Для базисов Рисса будем использовать запись

$\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{k\in \mathbb{Z}}{\cup }}U{\mathcal{H}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{k\in \mathbb{Z}}{\cup }}{\tilde{\mathcal{H}}}_k\mathrm{.}$ (3)

Такой базис также называется базисом из подпространств, эквивалентным ортогональному, или спрямляемым базисом (см. [12, 31]).

Разложение (3) будем называть квазиортогональным или $U$ -ортогональным.

Определение 4 (см. [36]). Линейный замкнутый оператор $\mathcal{E}\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ назовем квазиортогональной ( $U$ -ортогональной) прямой суммой ограниченных операторов ${\tilde{\mathcal{E}}}_k$, $k\in \mathbb{Z}$, относительно квазиортогонального разложения пространства $\mathcal{H}$ вида (3), если для некоторого обратимого оператора $U\in End\mathcal{H}$ имеет место разложение

$U^{-1}\mathcal{E}U\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{n\in \mathbb{Z}}{{\displaystyle \oplus }}{U}^{-1}{\mathcal{E}}_{n}U$

вида (2). При этом используется запись

$\mathcal{E}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{k\in \mathbb{Z}}{\cup }}{\tilde{\mathcal{E}}}_k\mathrm{.}$

Предположим, что операторы $\mathcal{E}$ и $\tilde{\mathcal{E}}$ подобны, а оператор $U$ является оператором преобразования $\mathcal{E}$ в $\tilde{\mathcal{E}}$. Пусть также оператор $\tilde{\mathcal{E}}$ является ортогональной прямой суммой

$\tilde{\mathcal{E}}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{k\in \mathbb{Z}}{{\displaystyle \oplus }}{\tilde{\mathcal{E}}}_k\mathrm{.}$

Из определений 1 $–$ 3 немедленно вытекает, что в этом случае оператор $\mathcal{E}$ является $U$ -ортогональной прямой суммой

$\mathcal{E}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{k\in \mathbb{Z}}{\cup }}{\mathcal{E}}_k\mathrm{,}$

где ${\mathcal{E}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}U{\tilde{\mathcal{E}}}_k{U}^{-1}$.

Далее мы также затронем проблему построения биинвариантных подпространств для оператора $A_1$, что не было рассмотрено в [8, 9, 11, 39]. Введем ниже соответствующую терминологию. При этом в вопросах биинвариантных подпространств мы будем придерживаться терминологии из [2].

Определение 5 ((см. [2]) Нетривиальное замкнутое линейное подпространство ${\mathcal{H}}_0\subset \mathcal{H}$ ( ${\mathcal{H}}_0\ne \mathcal{H}$ ) называется биинвариантным для линейного оператора $\mathcal{E}\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$, если ${\mathcal{H}}_0$ и его ортогональное дополнение ${\mathcal{H}}_0^{\perp }$ инвариантны относительно $\mathcal{E}$.

Лемма 2. Пусть линейный оператор $\mathcal{E}$ перестановочен с некоторым ортопроектором $Q$, т.е. $\mathcal{E}Q\mathrm{<mo>=</mo>}Q\mathcal{E}$. Тогда подпространства $ImQ$ и $RanQ$ являются биинвариантными для оператора $\mathcal{E}$.

Отметим, что очевидная лемма 2 и применяется для построения биинвариантных подпространств.

Определение 6. Пусть подпространство ${\mathcal{H}}_0$ биинвариантно для некоторого оператора $\mathcal{E}$. Тогда подпространство $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mathcal{H}}_0$, где $U$, ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\in End\mathcal{H}$ назовем биинвариантным подпространством Рисса. Если же $U\in {\mathfrak{S}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mathcal{H}}_0$ назовем биинвариантным подпространством Бари.

4. Метод подобных операторов. Обычно изучение спектральных свойств некоторых операторов в гильбертовом пространстве, представимых в виде $A-B\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$, где $A$ $—$ хорошо изученный оператор с известными спектральными свойствами и $B$ $—$ его возмущение, подчиненное оператору $A$, укладывается в рамки теории возмущений линейных операторов. Эта теория восходит к книге [14] и развивается в работах различных авторов (см. [1, 13, 16,19$–$21, 41]). Обзор имеющихся на 1967 год результатов в теории возмущений линейных операторов можно найти в диссертации [15]. Свое дальнейшее развитие и использование теория возмущений получила, например, в [22, 27, 28, 32], а также работах других авторов.

Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод (см. [14]), связанный с использованием интегрального представления для проектора Рисса $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, построенного по спектральной компоненте $\sigma$ из спектра $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оператора $A$. С помощью резольвентного метода исследования проводились, например, в [22, 32, 42]. Не всегда бывает удобно оценивать соответствующие интегралы на контурах, поэтому существуют и другие методы исследования. Один из которых, метод операторов преобразования или transmutation method, связан с построением подходящего преобразования подобия исходного оператора в оператор более простой структуры. Историю и современное состояние метода операторов преобразования можно найти в [29]. Используемый нами метод подобных операторов также относится к методам операторов преобразования. В изложении метода подобных операторов будем придерживаться работы [35].

Пусть $A\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ $—$ некоторый абстрактный невозмущенный оператор. Одним из основных понятий метода подобных операторов является определение допустимой для невозмущенного оператора $A$ тройки, которая для применимости метода должна удовлетворять ряду условий.

Определение 7 (см. [35]). Пусть $\mathfrak{U}$ $—$ банахово пространство операторов из $End\mathcal{H}$ с нормой $\parallel X{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, $X\in \mathfrak{U}$, и $J\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{U}\to \mathfrak{U}$, $\Gamma \mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{U}\to \mathfrak{U}$ $—$ трансформаторы, т.е. линейные операторы в пространстве линейных операторов. Тройку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{U}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем называть допустимой тройкой для оператора $A$, а $\mathfrak{U}$ $—$ пространством допустимых возмущений, если выполнены следующие условия: [ (i)]

1. $J$ и $\Gamma$ $—$ непрерывные трансформаторы, причем $J$ $—$ проектор;

2. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$,

$A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{<mo>=</mo>}X-JX$ (4)

для любого $X\in \mathfrak{U}$ и $Y\mathrm{<mo>=</mo>}\Gamma X$ $—$ единственное решение уравнения

$AY-YA\mathrm{<mo>=</mo>}X-JX\mathrm{,}$ (5)

удовлетворяющее условию $JY\mathrm{<mo>=</mo>}O$, где $O$ $—$ нулевой оператор в $\mathcal{H}$;

3. $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}X\in \mathfrak{U}$ для всех $X$, $Y\in \mathfrak{U}$ и существует такая постоянная $\gamma \mathrm{<mo>></mo>0}$, что $\parallel \Gamma \parallel \le \gamma$ и

$\max \mathrm{<mo>\{</mo>}\parallel X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Y{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\le \gamma \parallel X{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\parallel Y{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>;</mo>}$

4. для любого $X\in \mathfrak{U}$ и любого $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ существует такое число ${\lambda }_{\epsilon }\in \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что

$\parallel X{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-{\lambda }_{\epsilon }I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\parallel \mathrm{<mo><</mo>}\epsilon \mathrm{<mo>;</mo>}$

5. $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}JX\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O$ для всех $X$, $Y\in \mathfrak{U}$.

Отметим, что для одного невозмущенного оператора $A$ иногда можно построить несколько разных допустимых троек.

Трансформатор $J$ $—$ обычно это оператор диагонализации (блочной диагонализации) матрицы оператора $X\in \mathfrak{U}$. Трансформатор $\Gamma$ связан с построением оператора $U$ из определения 2. Свойства (ii)$–$(v) допустимой тройки необходимы для разрешения нелинейного операторного уравнения (7) метода подобных операторов, приведенного ниже.

Зафиксируем теперь некоторую допустимую тройку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{U}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для невозмущенного оператора $A$.

Теорема 1 (см. [33, 35]). Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{U}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ допустимая для оператора $A$ тройка и $B$ $—$ некоторый оператор из пространства возмущений $\mathfrak{U}$. Если

$4\gamma \parallel J\parallel \parallel B{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo><</mo>1,}$ (6)

то оператор $A-B$ подобен оператору $A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, где $X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in \mathfrak{U}$ $—$ решение уравнения

$X\mathrm{<mo>=</mo>}B\Gamma X-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}JB-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{<mo>=</mo>}\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$ (7)

оно может быть найдено методом простых итераций, если положить $X_0\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $X_1\mathrm{<mo>=</mo>}B$, . Преобразование подобия оператора $A-B$ в оператор $A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ осуществляет оператор $I+\Gamma X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in End\mathcal{H}$. Отображение $\Phi \mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{U}\to \mathfrak{U}$ является сжимающим в шаре

$\mathfrak{B}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}X\in \mathfrak{U}\mathrm{<mo>:</mo>}\parallel X-B{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le 3\parallel B{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

5. Применение метода подобных операторов к оператору $A_1$. В этом разделе построим допустимую тройку для оператора $A_1$ в двух случаях: в случае потенциала общего вида и в случае четного потенциала; приведем полученные в [2, 8, 9, 11, 39] результаты, касающиеся основной теоремы о подобии, оценках собственных значений и спектральных проекторов, а также новые теоремы, касающиеся биинвариантных подпространств.

Вернемся к невозмущенному оператору $A_0$. Обозначим через $\mathbb{J}$ множество $\mathbb{J}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\mathbb{Z}\mathrm{,}{\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Тогда оператор $A_0$ есть ортогональная прямая сумма операторов $A_{0i}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_0\mathrm{<mo>|</mo>}{\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_i$, $i\in \mathbb{J}$, где $I_i$, $i\in \mathbb{J}$, есть тождественный оператор в ${\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}Im{P}_i$, $i\in \mathbb{J}$. Иными словами,

$A_0\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{i\in \mathbb{Z}}{{\displaystyle \oplus }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_i$

в случае выполнения первой группы условий и

$A_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_i$

в случае выполнения второй группы условий (четного потенциала). Это представление оператора $A_0$ связано с представлением пространства $l_2$ в виде

$l_2\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{i\in \mathbb{J}}{{\displaystyle \oplus }}{\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{i\in \mathbb{J}}{{\displaystyle \oplus }}Im{P}_i\mathrm{.}$

Напомним, что $\dim Im{P}_0\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $\dim Im{P}_i\mathrm{<mo>=</mo>2}$, $i\in \mathbb{N}$, в случае четного потенциала и $\dim Im{P}_i\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $i\in \mathbb{Z}$, в случае потенциала общего вида. При этом использовалось разложение единицы системой спектральных проекторов $\mathrm{<mo>\{</mo>}{P}_i\mathrm{,}i\in \mathbb{J}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ оператора $A_0$. Отметим, что подпространства ${\mathcal{H}}_i$, $i\in \mathbb{J}$, образуют базис из подпространств в $l_2$, а также систему биинвариантных подпространств.

Рассмотрим также другое представление единицы. Пусть

$P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}j\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}m\mathrm{,}j\in \mathbb{J}}}{P}_j\mathrm{,}{\mathcal{P}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\cup \mathrm{<mo>\{</mo>}{P}_i\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}m\mathrm{,}i\in \mathbb{J}\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Тогда пространство $l_2$ представимо в виде ортогональной прямой суммы подпространств

$l_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\oplus \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}m\mathrm{,}i\in \mathbb{J}}{{\displaystyle \oplus }}{\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где ${\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}Im{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. При этом подпространства ${\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${\mathcal{H}}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}m$, $i\in \mathbb{J}$, также образуют базис из подпространств в $l_2$. Оператор $A_0$ можно представить в виде

$A_0\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{\mathrm{0<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\oplus \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}m\mathrm{,}i\in \mathbb{J}}{{\displaystyle \oplus }}{A}_{0i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_{\mathrm{0<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\oplus \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}m\mathrm{,}i\in \mathbb{J}}{{\displaystyle \oplus }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $m\in {\mathbb{Z}}_{+}$ и $A_{\mathrm{0<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_0\mathrm{<mo>|</mo>}{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

Важно отметить, что системы подпространств $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mathcal{H}}_i\mathrm{,}i\in \mathbb{J}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{\mathcal{H}}_i\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}m\mathrm{,}i\in \mathbb{J}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ являются системами биинвариантных подпространств для оператора $A_0$.

Каждому ограниченному оператору $X\in End{l}_2$ поставим в соответствие его (операторную) матрицу относительно некоторой дизъюнктной системы проекторов $\mathrm{<mo>\{</mo>}{Q}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{J}\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $X\sim \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_{i}X{Q}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{,}j\in \mathbb{J}$. Оператор $X$ из $End{l}_2$ отнесем к $En{d}_1{l}_2$, если конечна величина

${\displaystyle \sum _{p\in \mathbb{Z}\mathrm{,}i-j\mathrm{<mo>=</mo>}p}}\parallel Q_{i}X{Q}_j{\parallel }_{\infty }\mathrm{,}$

принимаемая за норму в $En{d}_1{l}_2$. В рассматриваемом случае в качестве дизъюнктной системы проекторов будет выступать система спектральных проекторов $\mathrm{<mo>\{</mo>}{P}_i\mathrm{,}i\in \mathbb{J}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ невозмущенного оператора $A_0$. Отметим, что, очевидно, $B_1\mathrm{,}{B}_2\in En{d}_1{l}_2$ и имеют трехдиагональные матрицы относительно введенной системы проекторов. Поэтому в методе подобных операторов удобно в качестве пространства допустимых возмущений использовать $En{d}_1{l}_2$.

Перейдем к построению операторов $J$, $\Gamma \in End\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}En{d}_1{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Положим

$JX\mathrm{<mo>=</mo>}{J}_{0}X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in \mathbb{J}}}{P}_{i}X{P}_i\mathrm{,}{J}_{k}X\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}X{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\displaystyle \sum _{i\in \mathbb{J}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}}{P}_{i}X{P}_i\mathrm{,}k\ge 0.$

Отметим, что

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}JX\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}{X}_{ij}\mathrm{,}& i\mathrm{<mo>=</mo>}j\mathrm{,}\\ \mathrm{0,}& i\ne j\mathrm{,}\end{array}\right.{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_{k}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}{X}_{ij}\mathrm{,}& i\mathrm{<mo>=</mo>}j\mathrm{,}\\ X_{ij}\mathrm{,}& \max \mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo>,<mo>|</mo>}j\mathrm{<mo>|</mo><mo>\}</mo>}\le k\mathrm{,}\\ 0& \text{востальныхслучаях}\mathrm{.}\end{array}\right.$

Таким образом, оператор $J$ оставляет в матрице оператора $X$ главную диагональ, а остальные элементы обнуляет. Оператор $J_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ оставляет главную диагональную и центральный блок размера $2k+1$, а остальные элементы обнуляет.

Оператор ${\Gamma }_k\in End\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}En{d}_1{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ зададим матричными элементами

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_{0}X{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& i\mathrm{<mo>=</mo>}j\mathrm{,}\\ \frac{X_{ij}}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}& i\ne j\mathrm{,}\end{array}\right.{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_{k}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& i\mathrm{<mo>=</mo>}j\mathrm{,}\\ \mathrm{0,}& \max \mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo>,<mo>|</mo>}j\mathrm{<mo>|</mo><mo>\}</mo>}\le k\mathrm{,}\\ \frac{X_{ij}}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}& \text{востальныхслучаях}\mathrm{.}\end{array}\right.$

Заметим, что знаменатель не обращается в нуль в случае группы условий (II) на потенциал, так как в этом случае в качестве матричных элементов выступают матрицы $2\times 2$ и совпадающие члены четной последовательности $a\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$ попадают в один матричный элемент, который обнуляет оператор ${\Gamma }_k\in End\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}En{d}_1{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$. Теперь оператор ${\Gamma }_k$ определен. Отметим также, что

${\Gamma }_{k}X\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_{0}X-{\Gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}X{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Gamma }_{0}X-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_{0}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Из результатов [8, 9, 11, 39] вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Для любого $k\ge 0$ тройка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}En{d}_1{l}_2\mathrm{,}{J}_k\mathrm{,}{\Gamma }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть допустимая тройка для оператора $A_0$. При этом константа $\gamma$ из определения 7 допускает оценку

${\gamma }_k\le const{d}_k^{-1}\mathrm{,}$

где

$d_k\mathrm{<mo>=</mo>}dist\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash {\sigma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\sigma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{i\in \mathbb{J}\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo>}\le k}{\cup }}\mathrm{<mo>\{</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{2<mo>\}</mo>.}$

Теорема 3. Существует такое $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, что оператор $A$, подобен оператору $A_0-J_k{X}_0\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_0-V_0$, где $X_0$, $V_0\in En{d}_1{l}_2$,

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0-J_k{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Оператор $A_0-V_0$ есть ортогональная прямая сумма

$A_0-V_0\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_0-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{V}_{\mathrm{0<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\oplus \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}i\in \mathbb{J}}{{\displaystyle \oplus }}{V}_{0i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

относительно ортогонального разложения пространства

$l_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\oplus \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}i\in \mathbb{J}}{{\displaystyle \oplus }}{\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

и размерность подпространства ${\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ есть $2k+1$. Оператор $X_0$ есть решение нелинейного операторного уравнения (7). Более того, оператор $A_1$ есть $U$ -ортогональная ( $U\mathrm{<mo>=</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_0$ ) прямая сумма

$A_1\mathrm{<mo>=</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_{\mathrm{0<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\oplus \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}i\in \mathbb{J}}{{\displaystyle \oplus }}{X}_{0i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}^{-1}$

относительно $U$ -ортогонального разложения

$l_2\mathrm{<mo>=</mo>}U{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\oplus \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}i\in \mathbb{J}}{{\displaystyle \oplus }}U{\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Из теоремы 3 немедленно вытекает, что система подпространств $\mathrm{<mo>\{</mo>}U{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $U{\mathcal{H}}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, $i\in \mathbb{J}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ образует в $l_2$ базис Рисса из подпространств (спрямляемый базис; базис, эквивалентный ортогональному, из подпространств).

Следствие 1. Пусть последовательность $a\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$ удовлетворяет группе условий (I). Тогда существует такое $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, что спектр $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оператора $A_1$ представим в виде

$\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}{\cup }}{\sigma }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\in \mathbb{J}\mathrm{,}$

где множество ${\sigma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ содержит не более чем $2k+1$ собственных значений, множества ${\sigma }_i\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\mu }_i\mathrm{<mo>\}</mo>}$ одноточечны и

${\mu }_i\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2+\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_i^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$ (8)

${\mu }_i\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2-\frac{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-2a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_i^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (9)

Соответствующие собственные векторы ${\tilde{e}}_i$ такие, что

$\parallel {\tilde{e}}_i-y_i\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_i^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$

где

$y_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1,}& i\mathrm{<mo>=</mo>}j\mathrm{,}\\ {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}& j\mathrm{<mo>=</mo>}i\pm \mathrm{1,}\\ 0& \text{вдругихслучаях}\mathrm{.}\end{array}\right.$

Собственные векторы $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\tilde{e}}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}$ образуют в $l_2$ базис Рисса со скобками.

Следствие 2. Пусть последовательность $a\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$ удовлетворяет группе условий (II). Тогда спектр $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оператора $A_1$ также представим в виде

$\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{i\mathrm{<mo>></mo>}k\mathrm{,}i\in \mathbb{J}}{\cup }}{\sigma }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где множество ${\sigma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, как и в следствии 1, содержит не более $2k+1$ собственных значений. Множества ${\sigma }_i$, $i\mathrm{<mo>></mo>}k$, двухточечны, ${\sigma }_i\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\mu }_i\mathrm{,}{\mu }_{-i}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и для ${\mu }_{\pm i}$ имеют место асимптотические оценки (8), (9).

Обозначим через ${\tilde{P}}_n$, $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, $n\in \mathbb{J}$, ${\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, спектральные проекторы, построенные по спектральным множествам ${\sigma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${\sigma }_i$, $i\in \mathbb{J}$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, из следствий 1 и 2.

Из леммы 1 и теоремы 3 вытекает следующее утверждение.

Следствие 3. Для спектральных проекторов ${\tilde{P}}_n$, $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, $n\in \mathbb{J}$, ${\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, имеют место формулы

${\tilde{P}}_n\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}n\in \mathbb{J}\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$

${\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}$

${\tilde{P}}_n-P_n\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_n-P_n{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}$

${\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{.}$

 При этом имеют место следующие оценки:

$\parallel {\tilde{P}}_n-P_n\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_n^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{J}\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$

$\parallel {\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>}m}^N}{\tilde{P}}_n-{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>}m}^N}{P}_n\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_n^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}m\mathrm{<mo>></mo>}k\mathrm{,}N\mathrm{<mo>></mo>}m\mathrm{,}N\in \mathbb{J}\mathrm{,}$

$\parallel {\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}^l}{\tilde{P}}_i-{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}l}}{P}_i\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_l^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

если $\mathbb{J}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathbb{Z}$, и

$\parallel {\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>></mo>}k}^l}{\tilde{P}}_i-{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^l}{P}_i\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_l^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

если $\mathbb{J}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathbb{Z}}_{+}$.