Уравнение ветвления для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве c квадратичными возмущениями малого параметра

Обложка
  • Авторы: Усков В.И.1
  • Учреждения:
    1. Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова
  • Выпуск: Том 233 (2024)
  • Страницы: 99-106
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://bakhtiniada.ru/2782-4438/article/view/257157
  • ID: 257157

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Статья посвящена исследованию поведения решения при  задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с квадратичными операторными пучками при производной от искомой функции. Получено уравнение ветвления; для его решения применяется диаграмма Ньютона. Выявлены условия, при которых возникает погранслой вблизи начальной точки, и определяется вид функций погранслоя.

Полный текст

1. Введение и необходимые сведения

Рассмотрим задачу Коши

(A-εB-ε2C)dudt=(D+εE+ε2F)u(t,ε), (1)

u(t0,ε)=u0(ε)X1, (2)

где A, B, C, D, E, F "— замкнутые линейные операторы X1X2, X1, X2 "— банаховы пространства dom ¯A=dom¯ B = dom¯ C = dom¯ D =dom¯ E = dom¯ F = X1u0(ε) — голоморфная в окрестности точки ε=0 функция; tT=[t0;tmax]εE=(0;ε0).

Оператор A полагается фредгольмовым с нулевым индексом (далее "— фредгольмов), имеющим одномерное ядро. Рассматривается частный случай конечной D-кордановой цепочки оператора A.

Под решением задачи (1), (2) подразумевается функция u(t,ε), дифференцируемая по tT при каждом εE и удовлетворяющая (1), (2) в T×E.

Уравнениями вида (1) описываются экономические процессы (динамическая модель Леонтьева межотраслевого баланса; см. [5], явления в электрических и гидравлических цепях (см. [10]), быстрых бимолекулярных реакций (см. [6]), процессы фильтрации, влагопереноса и т. д.

Задача Коши для уравнения

Adudt=(B+εC)u(t,ε) (3)

с необратимым оператором A изучена в разных работах. Для фредгольмова оператора A случай одномерного ядра изучен в [12], где исследовались качественные свойства решения, и в [4], где для нее построено асимптотическое разложение решения; для оператора , обладающего свойством иметь нуль нормальным собственным числом (0-Н.С.Ч.), в случае многомерного ядра в [11] изучено явление погранслоя. В [8] изучена задача Коши с правой частью уравнения (3), содержащей квадратичный операторный пучок B+εC+ε2D перед , с 0-Н.С.Ч. оператором , имеющим двумерное ядро.

В настоящей работе задача обобщается наличием квадратичного пучка перед производной. Цель работы: выявление условий, при которых имеет место явление пограничного слоя (далее погранслоя). Такие условия называются условиями регулярности вырождения. Для этого выводится уравнение ветвления. Это уравнение решается с применением диаграммы Ньютона (см. [9]).

Приведем необходимые сведения.

Определение 1 (см.~) Ограниченная функция v(t,ε), определенная на T, называется функцией погранслоя вблизи точки t=t0, если v(t,ε)0 на [t';tmax] при каждом t'(t0;tmax) и v(t,ε)0 по норме в банаховом пространстве X1 на T при ε0.

Рассмотрим предельную задачу для (1), (2):

Adu¯ dt=Du¯(t),u¯(t0)=u¯0. (4)

Определение 2 (см.~) В задаче (1), (2) имеет место явление погранслоя, если

u(t,ε)=u ̅(t)+v(t,ε),

где v(t,ε) "— функция погранслоя вблизи точки t=t0.

Фредгольмов оператор A:X1X2 вполне определяется следующим свойством (см. [7]): 

X1=KerACoimA,X2=ImACokerA, (5)

где KerA "— ядро оператора ACoimA "— прямое дополнение к нему, ImA "— образ, CokerA "— дефект; dimKerA=dimCokerA<; сужение A¯ оператора A на CoimAdomA имеет ограниченный обратный A(~-1).

Введем проектор Q на CokerA, полуобратный оператор 

A-=A~-1(I-Q):ImACoimAdomA.

Зафиксируем элементы eKerA, e0, φCokerA. В CokerA введем скалярное произведение , так, что φ,φ=1.

Лемма 1 (см.~) Уравнение Aξ=η, ξX1domA, ηX2, равносильно системе ξ=A-η+cec,Qη,φ=0.

Определение 3 Последовательность таких элементов ξ0,ξ1,ξ2,, что ξ0=e,Aξi=Dξi-1,i=1,2,,

назовем D-жордановой цепочкой присоединенных элементов оператора A, отвечающих нулевому собственному значению.

Лемма 2 (см.~) D"=Жорданова цепочка имеет конечную длину тогда и только тогда, когда существует такое число p<, что

QD(A-D)ie,φ=0,i=0,1,,p-1,QD(A-D)pe,φ0.

В настоящей работе будем рассматривать случай p1.

Наложим следующее условие.

Условие 1 Операторы QB, QC, QD, QE, QF, A-B, A-C, A-D, A-E, A-F ограничены.            

Приведем решение задачи (4).

Теорема 1 (см.~) Пусть выполнено условие 1. Пусть выполнена лемма 2. Тогда решение задачи (4) существует при выполнении условий

QD(A-D)iu¯0,φ=0,i=0,1,,p.

Оно единственно и равно

u¯(t)=etTpu¯0

 в обозначении

Tp()=A-D()-QD(A-D)p+1(),φQD(A-D)pe,φe.

Далее нам понадобятся следующие утверждения.

Пусть Kj, j=1,2,,r, "— линейные операторы, действующие в одном пространстве. Обозначим через Si1,i2,,irK1,K2,,Kr сумму по всевозможным перестановкам из ij элементов Kj. Также введем следующие обозначения: 

Γrm={(i1;i2;;ir)|ijN0,j=1,2,,r,i1+i2++ir=m};

Γr,lμ=Γrμ\ {(0;;0;μ1; 0;;0)}.

Утверждение 1 Пусть для любого  выполнено равенство

Si1,i2,,irK1,K2,,Kr=K1Si1-1,i2,,irK1,K2,,Kr+K2Si1,i2-1,,irK1,K2,,Kr++KrSi1,i2,,ir-1K1,K2,,Kr. (6)

Тогда для любых m,r справедлива следующая формула:

(K1+K2++Kr)m=Гrm Si1,i2,,irK1,K2,,Kr (7)

Доказательство. Зафиксируем  и докажем утверждение методом математической индукции по m. Пусть оно верно для m=μ. Покажем, что оно верно и для m=μ+1.

Имеем:

(K1+K2++Kr)μ+1=

=(K1+K2++Kr)(K1+K2++Kr)μ=(K1+K2++Kr) ΓrμSi1,i2,,irK1,K2,,Kr=

=K1 ГrμSi1,i2,,irK1,K2,,Kr+K2ГrμSi1,i2,,irK1,K2,,Kr++KrГrμSi1,i2,,irK1,K2,,Kr.

 В каждой i-й сумме извлечем слагаемое по набору (0;0;;μ;;0)l=1,2,,r:

K1Sμ,0,,0K1,K2,,Kr+K1 Гr,1μSi1,i2,,irK1,K2,,Kr++KlS0,0,,μ,,0K1,K2,,Kl,,Kr+

+Kl Гr,lμ Si1,i2,,irK1,K2,,Kr++KrS0,0,,μK1,K2,,Kr+KrГr,rμSi1,i2,,irK1,K2,,Kr .

Сделаем в них замену ilil-1, внесем под одну сумму и воспользуемся равенством (6):

Sμ+1,0,,0K1,K2,,Kr+SK1,K2,,KrK1,K2,,Kr++SK1,K2,,KrK1,K2,,Kr+

+ υl=1r Γr,lμ+1K1Si1-1,i2,,irK1,K2,,Kr+K2Si1,i2-1,,irK1,K2,,Kr++KrSi1,i2,,ir-1K1,K2,,Kr+

=SK1,K2,,KrK1,K2,,Kr+S0,μ+1,0,,0K1,K2,,Kr++S0,0,,μ+1K1,K2,,Kr+υl=1r Γr,lμ+1Si1,i2,,irK1,K2,,Kr=Гrμ+1Si1,i2,,irK1,K2,,Kr

что и требовалось доказать.

 

2. Уравнение ветвления

Выведем уравнение ветвления. Подставив

u(t,ε)=exp(t-t0λ(ε))v(ε), (8)

где v(ε) "— равномерно ограниченная в E функция, v(ε)0 в (1), получим спектральное уравнение

Av(ε)=[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)]v(ε). (9)

 В силу леммы 1 оно равносильно системе

(I-A-[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)])v(ε)=e, (10)

Q[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)]v(ε),φ=0. (11)

Наложим следующее условие.

Условие 2 Числа λ=λ(ε), отличные от нуля и достаточно малые по модулю, таковы, что при каждом εE выполнено неравенство

0<A-[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)]<1.

При выполнении условий 1, 2 уравнение (10) разрешимо:

v(ε)=(I-A-[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)])(-1)e. (12)

Подставив (12) в (11), получим искомое уравнение ветвления:

R(λ,ε)e=0, (13)

где

R(λ,ε)()=Q[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)](I-A-[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)])(-1)(),φ.

 

3. Выявление условий регулярности вырождения в частном случае

Выявим условия регулярности вырождения в задаче (1), (2), для чего рассмотрим уравнение (13).

Пусть выполнено равенство (6) для K1=A-BK2=A-C, K3=A-D, K4=A-E, K4=A-E. Преобразуем выражение (I-A-[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)])-1 по формуле Неймана, применив утверждение 1:

(I-A-[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)])-1=

=I+m=1(A-[εB+ε2C+λ(D+εE+ε2F)])m=

=I+m=1Г5mλi3+i4+i5εi1+2i2+i4+2i5+2SA-B,A-C,A-D,A-E,A-FA-B,A-C,A-D,A-E,A-F.

Тогда выражение R(λ,ε)() можно записать в виде

(λ,ε)()=εQBe,φ+ε2QCe,φ+λQDe,φ+λεQEe,φ+λε2QFe,φ+

+m=1[RmB(λ,ε)+RmC(λ,ε)+RmD(λ,ε)+RmE(λ,ε)+RmF(λ,ε)]()

где

RmB(λ,ε)()=Г5mλi3+i4+i5εi1+2i2+i4+2i5+3QBSi1,i2,i3,i4,i5A-B,A-C,A-D,A-E,A-F)(),φ,

RmC(λ,ε)()=Г5mλi3+i4+i5εi1+2i2+i4+2i5+4QCSi1,i2,i3,i4,i5A-B,A-C,A-D,A-E,A-F(),φ,

RmD(λ,ε)()=Г5mλi3+i4+i5+1εi1+2i2+i4+2i5+3QDSi1,i2,i3,i4,i5A-B,A-C,A-D,A-E,A-F(),φ,

RmE(λ,ε)()=Г5mλi3+i4+i5+1εi1+2i2+i4+2i5+4QESi1,i2,i3,i4,i5A-B,A-C,A-D,A-E,A-F(),φ,

RmF(λ,ε)()=Г5mλi3+i4+i5+1εi1+2i2+i4+2i5+5QFSi1,i2,i3,i4,i5A-B,A-C,A-D,A-E,A-F(),φ.

Запишем выражение (14) в виде

R(λ,ε)=i,j=0λiεjHij, H00=0,

 и введем обозначение hij=Hije.

Решим уравнение (13) при выполнении следующего условия.

Условие 3 Существует такое число n, что

hij=0,  i=0,1,2,,p-1,  j=1,2,,hpj=0,  j=0,1,2,,n-1,  hpn0.

В силу леммы 2 конечность D"=жордановой цепочки оператора A влечет hp+1,00.

Построим диаграмму Ньютона (см. рис. 1). Уравнение ветвления имеет вид

λpεnhpn+λp+1hp+1,0+o(λp+1)=0,

где o(λp+1) вмещает в себя нормы ограниченных, в силу условия 1, операторов. Оно имеет решение

λ=-hpnhp+1,0εn. (15)

 

Рис. 1: Диаграмма Ньютона

 

Подстановка (15) в (8) приводит к следующему результату.

Теорема 2 Пусть выполнены условия 1, 2, 3, лемма 2 и неравенство

Rehpnhp+1,0>0.  (16)

Тогда в задаче (1), (2) наблюдается явление погранслоя, и функции погранслоя имеют переменную τ=(t-t0)/εn.

Неравенство (16) является условием регулярности вырождения.

 

4. О фредгольмовости одного оператора

Рассмотрим оператор Α:33, задаваемый числовой матрицей

A=a11a12a13a21a22a23aa11+βa21aa12+βa22aa13+βa23,

где aij0, отношения a2j/a1jпопарно различны, i=1,2j=1,2,3.

Утверждение 2 Оператор A фредгольмов.

Доказательство. Возьмем элементы ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)T, η=(η1,η2,η3)T3 (здесь  T"— знак транспонирования). Решив уравнение Aξ=0, построим ядро оператора A:

KerA={(Δ1Δξ3, Δ2Δξ3, ξ3)T}, ξ30,

где

Δ1=det a12a13a22a23, Δ2=-det a11a13a21a23,  Δ=det a11a12a21a22.

Разложив элемент ξX1=3 в сумму ξKerA+ξCoimA элементов из KerA и CoimA соответственно, построим CoimA:

CoimA={(ξ1-Δ1Δξ3, ξ2+Δ2Δξ3,0)T}.

Приравнивая ξKerA=ξCoimA, находим ξ1=ξ2=ξ3=0; значит, имеет место разложение X1=3=KerACoimA.

Образ оператора A равен

ImA={(η1,η2,αη1+βη2)T}.

Разложив элемент ηX2=3в сумму ηImA+ηCokerA, построим CoimA:

CoimA={(0,0,-αη1-βη2+η3)T}.

Приравнивая ηImA=ηCokerA, находим η1=η2=η3=0; значит, имеет место разложение X2=3=ImACokerA.

 Нетрудно видеть, что dimKerA=dimCokerA=1.

Проектор на CokerA

Q(A)=000000-a-β1

является идемпотентным.

Решение уравнения AξCoimA=ηImAвлечет взаимно однозначное соответствие между CoimA и ImA, и

A-=1Δa22-a120-a21a110000

ограничен. Тем самым, фредгольмовость оператора A доказана.

 

5. Пример

Рассмотрим задачу (1), (2) со следующими операторами A,B,C,D,E,F:33

A=23434571013,  B=1-10134314,  C=30-2-65105-3

D=3d5-10000-50, E=g18g2-100-60-49,  F=-4580005000040

где dg1g2 "— параметры. В силу утверждения 2 оператор A фредгольмов. Возьмем 

e=(1, 2, 1)TKerA, φ=(0, 0, 1)TCokerA.

Так как QB=QC=0, то h0j=0j=1,2,,

h10=QDe,φ=4d+4,h11=QDABe,φ+QEe,φ=2g12g222d50,h12=QEABe,φ+QFe,φ=30g1+180,h20=QDADe,φ=12d226d468.

При d1 имеем h100, что влечет равномерную сходимость решения задачи (1), (2) к решению задачи (4), поскольку диаграмма Ньютона вырождается в точку 1;0.

Применим результаты теоремы 2. Пусть d=1; тогда h11=2g12g228, h20=430. При выполнении условия h11<0, т.е. g1+g2>14, функции погранслоя имеют переменную τ=tt0/ε.

Если h11=0, т.е. g1+g2=14, то при 30g1+180<0, т.е. g1<6 и g2>8, функции погранслоя имеют переменную τ=tt0/ε2.

×

Об авторах

В. И. Усков

Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова

Автор, ответственный за переписку.
Email: vum1@yandex.ru
Россия, Воронеж

Список литературы

  1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.
  2. Зубова С. П. Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной/ Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. — Воронеж, 1973.
  3. Зубова С. П. О роли возмущений в задаче Коши для уравнения с фредгольмовым оператором при производной// Докл. Акад. наук. — 2014. — 454, № 4. — С. 383–386.
  4. Зубова С. П., Усков В. И. Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай// Мат. заметки. — 2018. — 103, № 3. — С. 392–403.
  5. Кузнецова А. В. Экономико-математические методы и модели. — Минск: БГЭУ, 2000.
  6. Нефедов Н. Н. Развитие методов асимптотического анализа переходных слоев в уравнениях реакция-диффузия-адвеция: теория и применение// Ж. вычисл. мат. мат. физ. — 2021. — 61, № 12. — С. 2074–2094.
  7. Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах// Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1943. — 7, № 3. — С. 147–166.
  8. Усков В. И. Исследование жесткости алгебро-дифференциальной системы первого порядка с возмущением в правой части// Вестн. росс. ун-тов. Мат. — 2021. — 26, № 134. — С. 172–181.
  9. Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций. — М.: Либроком, 2009.
  10. Christiansen P. L., Lomdahl P. S., Muto V. On a Toda lattice model with a transversal degree of freedom// Nonlinearity. — 1991. — 4, № 2. — P. 477–501.
  11. Uskov V. I. Boundary layer phenomenon for a first order descriptor equation with small parameter on the right-hand side// J. Math. Sci. — 2020. — 250, № 1. — P. 175–181.
  12. Zubova S. P., Raetskaya E. V. A study of the rigidity of descriptor dynamical systems in a Banach space// J. Math. Sci. — 2015. — 208, № 1. — P. 119–124.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
2. Рис. 1: Диаграмма Ньютона

Скачать (115KB)

© Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».