Целочисленные треугольники, уравнение Пелля и многочлены Чебышева

Аннотация

В настоящей работе мы рассматриваем некоторые виды целочисленных треугольников: «почти равносторонние», прямоугольные «почти равнобедренные», прямоугольные «с углом почти в 30 градусов». Их описание сводится к уравнению Пелля. Изложение теории уравнения Пелля основывается на «итерационной матрице». Ее степени выражаются через многочлены Чебышева.

Полный текст

1. Уравнение Пелля Уравнением Пелля называется диофантово уравнение x2 Dy2 = L; (1.1) где D целое положительное число, причем p D иррациональное, а число L целое. По поводу этих уравнений см. [1], [5], в [5] рассматривается только L = 1: Мы будем иметь дело с L = 1: Это уравнение надо решить в целых числах. Больше мы не будем повторять, что решения целые. Достаточно искать решения среди неотрицатель- ных чисел. Обозначим через S множество всех решений уравнения (1.1) векторов z = (x; y) таких, что x > 0; y > 0: Рассмотрим линейные преобразования с матрицей A: u = x + y v = x + y A = ; (1.2) переводящие S в S: Теорема 1.1. Матрица линейного преобразования (1.2), переводящего S в S; есть A; где A = D ; здесь , целые числа > 0; 2 D 2 = 1; так что detA = 1: Д о к а з а т е л ь с т в о. Напишем (1.1) для u; v; подставим (1.2) и коэффициенты при x2; y2; xy приравняем 1; D; 0; соответственно, а именно: 2 D 2 = 1 2 D2 = D D = 0: Из этих уравнений получаем 2 = 2; 2 = D2 2: Возьмем > 0; > 0; тогда этим уравнениям удовлетворяют 4 матрицы: D ; D ; D ; D : Обозначим здесь первую матрицу через A; тогда эти 4 матрицы таковы: A; CA; AC; A; где C = 1 0 0 1 : ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 181 Применим эти матрицы к векторам из S: Первая сохраняет S; остальные три выводят из S; в самом деле, вторая и третья меняют знак второй координаты, четвертая меняет знак обеих координат. Обозначим через M матрицу A с наименьшим > 0 : M = p Dq q p ; p2 Dq2 = 1: Всякая матрица A из теоремы 1.1 есть степень матрицы M : A = Mn; n = 1; 2; : : : : Совокупность всех матриц A; их обратных и единичной матрицы образует бесконечную циклическую группу с образующим M: Обозначим Mn = pn Dqn qn pn ; p2 n Dq2n = 1: Пусть z1 = (x1; y1) наименьшее положительное решение уравнения (1.1). Тогда всякое решение получается из z1 с помощью матрицы M : zn = (xn; yn) = Mn 1z1; или xn+1 = pn x1 + Dqn y1; yn+1 = qn x1 + pn y1: Характеристический многочлен матрицы M есть многочлен 2 2p + 1; поэтому M2 2pM + E = 0 и потому Mn+2 2pMn+1 +Mn = 0: (1.3) Точно такое же рекуррентное соотношение справедливо для величин, линейно связан- ных с Mn; а именно, матричных элементов pn; qn; собственных чисел n1 ; n2 ; для решений zn = (xn; yn) уравнения (1.1), в частности, для последовательностей xn и yn в отдельности: xn+2 2p xn+1 + xn = 0; yn+2 2p yn+1 + yn = 0: Здесь 1 , 2 собственные числа матрицы M : 1 = p + p p2 1 = p + q p D; 2 = p p p2 1 = p q p D: 182 В. Ф. Молчанов, Е. С. Юрьева Приведем матрицу M к диагональному виду: M = B 1TB; где T = 1 0 0 2 : В качестве B можно взять B = 1= p D 1 1 p D : Тогда Mn = B 1TnB и потому zn = B 1Tn 1B z1: Следовательно, xn и yn являются линейными комбинациями степеней собственных чисел: xn = C1 n1 + C2 n2 ; yn = D1 n1 + D2 n2 ; коэффициенты Cj и Dj можно найти с помощью начальных условий, см. [3], [4]. Боль- ше того, используя матрицу B , мы можем написать явные выражения: xn = 1 2 n (x1 + y1 p D) n 1 1 + (x1 y1 p D) n 1 2 o (1.4) yn = 1 2 p D n (x1 + y1 p D) n 1 1 (x1 y1 p D) n 1 2 o : (1.5) Если L = 1 , то (x1; y1) = (p; q); так что последние формулы упрощаются: xn = 1 2 n n1 + n2 o ; yn = 1 2 p D n n1 n2 o Отметим связь матриц Mn с многочленами Чебышева. Напомним (см., напри- мер, [2]), что многочлены Чебышева Tk(x) и Uk(x) степени k первого и второго рода определяются формулами Tk(x) = cos k ; Uk(x) = sin(k + 1) sin ; где x = cos : Они удовлетворяют конечно-разностному уравнению Tk+2(x) 2x Tk+1(x) + Tk(x) = 0; (1.6) и точно такое же имеет место для Uk(x): Вот несколько первых многочленов: T0(x) = 1 U0(x) = 1 T1(x) = x U1(x) = 2x T2(x) = 2x2 1 U2(x) = 4x2 1 T3(x) = 4x3 3x U3(x) = 8x3 4x ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 183 Теорема 1.2. Матрицы Mn выражаются через многочлены Чебышева: Mn = 0 @ Tn(p) qDUn 1(p) q Un 1(p) Tn(p) 1 A: (1.7) В самом деле, обе части равенства (1.7) удовлетворяют одному и тому же конечно- разностному уравнению, см. (1.3) и (1.6) с x = p; и совпадают при n = 1; 2: 2. Целочисленные треугольники Треугольник называется целочисленным, или героновым, если его стороны a; b; c и площадь S выражаются целыми числами. Мы рассмотрим три вида таких треуголь- ников. (A). Целочисленный треугольник назовем ѕпочти равностороннимї, если его сто- роны три последовательных числа: b 1; b; b + 1: Найдем все такие треугольники. По формуле Герона имеем S2 = 3 16 b2 b2 4 : Следовательно, b делится на 2; пусть b = 2x; тогда S2 = 3x2 (x2 1) : Здесь x2 1 должно делиться на 3; а частное должно быть полным квадратом: x2 1 = 3y2: Таким образом, S = 3xy и x2 3y2 = 1: (2.1) Получили уравнение Пелля, изученное в § 1. Здесь D = 3; L = 1; наименьшее поло- жительное решение есть z1 = (2; 1); матрица M есть M = 2 3 1 2 ; с собственными числами 1 = 2 + p 3; 2 = 2 p 3; так что xn = 1 2 (n1 + n2 ) ; yn = 1 2 p 3 (n1 n2 ) ; рекуррентное соотношение для xn таково: xn+2 4 xn+1 + xn = 0; (2.2) и такое же для yn: Соберем числовые результаты в таблицу 184 В. Ф. Молчанов, Е. С. Юрьева Таблица A n x y b 1 b b + 1 S 0 1 0 1 2 3 0 1 2 1 3 4 5 6 2 7 4 13 14 15 84 3 26 15 51 52 53 1170 4 97 56 193 194 195 16296 5 362 209 723 724 725 226974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... (B). Целочисленный прямоугольный треугольник назовем ѕпочти равнобедреннымї, если длины его катетов отличаются на единицу. Пусть гипотенуза равна c; катеты рав- ны b; b+1; тогда по теореме Пифагора имеем: c2 = b2+(b+1)2; или 2b2+2b+1 = c2: Умножим на 2 и выделим полный квадрат: (2b + 1)2 + 1 = 2c2: Обозначим 2b + 1 = x; c = y: Тогда получим уравнение Пелля x2 2y2 = 1 с D = 2; L = 1: Здесь наименьшее положительное решение есть z1 = (1; 1); матрица M есть M = 3 4 2 3 ; с собственными числами 1 = 3 + 2 p 2; 2 = 3 2 p 2: Рекуррентное соотношение для xn таково: xn+2 6 xn+1 + xn = 0; и такое же для yn: Формулы (1.4) и (1.5) сейчас можно написать проще: заметим, что 1; 2 являются квадратами чисел 1 = p 2 + 1 и 2 = p 2 1; соответственно, входящих в коэффициенты в (1.4) и (1.5), поэтому xn = 1 2 2n 1 1 2n 1 2 ; yn = 1 2 p 2 2n 1 1 + 2n 1 2 : ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 185 Соберем числовые результаты в таблицу Таблица B n x y b b + 1 c S 0 1 1 0 1 1 0 1 7 5 3 4 5 6 2 41 29 20 21 29 210 3 239 169 119 120 169 7140 4 1393 985 696 697 985 242556 5 8119 5741 4059 4060 5741 8239770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... (C). Целочисленный прямоугольный треугольник назовем ѕс углом почти в 30ї, если длина c гипотенузы ѕпочти в 2 разаї больше длины a одного катета: c = 2a 1 (два варианта). Пусть длина второго катета равна b; тогда по теореме Пифагора имеем: a2 +b2 = (2a1)2; или 3a2 4a+1 b2 = 0: Умножим на 3 и выделим полный квадрат: (3a 2)2 3b2 = 1: Обозначим 3a 2 = x; b = y; получим уравнение Пелля x2 3y2 = 1: Это уравнение (2.1), здесь D = 3; L = 1; наименьшее положительное решение есть z1 = (2; 1); см. пункт (A) по поводу остальных величин. Возьмем конечно-разностное уравнение (2.2) по модулю 3, получим сравнение xn+2 xn+1 xn (mod 3): Из него следует, что xn 1 при четном n и xn 2 при нечетном n: Так как a = (x 2)=3; то an = 1 3 n xn + ( 1)n2 o : В таблице c = 2a 1 и c = 2a + 1 соответственно тому, четно или нечетно n: Таблица C n x y a b c S 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 7 4 3 4 5 6 3 26 15 8 15 17 60 4 97 56 33 56 65 924 5 362 209 120 209 241 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...