Том 25, № 129 (2020)
Статьи
О связи непрерывных и разрывных моделей нейронных полей с микроструктурой: II. Радиально симметричные стационарные решения в 2D («бампы»)
Аннотация
Предложен метод, позволяющий исследовать существование и близость между стационарными решениями непрерывных и разрывных уравнений нейронных полей с микроструктурой. Данная часть содержит результаты о близости стационарных решений конкретных усредненных уравнений нейронных полей с непрерывной и разрывной функциями активации. Проведено численное исследование стационарных радиально симметричных решений (бампов) уравнения нейронного поля с разрывной функцией активации нейронов и заданной микроструктурой.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(129):6-17
6-17
О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах
Аннотация
Пусть на пространстве X определена ∞ -метрика ρ (возможно, принимающая значение ∞ ), на пространстве Y определено удовлетворяющее аксиоме тождества ∞ -расстояние d . Для отображений F , G: X→ Y рассматривается задача о точке совпадения, т.е. задача о решении уравнения F( x)= G( x) . Получены условия существования точки совпадения, использующие множество накрывания отображения F и множество липшицевости отображения G в пространстве X× Y . Множество αнакрывания (α>0 ) отображения F - это множество таких ( x, y) , что ∃ u∈ X F( u)= y, ρ ( x, u)≤ α -1 d( F( x), y), ρ ( x, u)<∞, а множество β -липшицевости ( β ≥ 0) отображения G - множество таких ( x, y) , что ∀ u∈ XG ( u)= y⇒ d( y, G( x))≤ βρ ( u, x) . Обсуждается связь полученных результатов с известными теоремами о точках совпадения.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(129):18-24
18-24
Об исследовании спектральных свойств дифференциальных операторов с гладкой весовой функцией
Аннотация
В работе исследуются спектральные свойства дифференциального оператора третьего порядка с суммируемым потенциалом с гладкой весовой функцией. Граничные условия являются разделенными. Метод изучения дифференциальных операторов с суммируемым потенциалом является развитием метода изучения операторов с кусочно-гладкими коэффициентами. Краевые задачи такого рода возникают при исследовании колебаний стержней, балок и мостов, составленных из материалов различной плотности. Дифференциальное уравнение, задающее дифференциальный оператор, с помощью метода вариации постоянных сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения находится методом последовательных приближений Пикара. С помощью исследования интегрального уравнения получены асимптотические формулы и оценки для решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Асимптотические оценки решений дифференциального уравнения получаются аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора с гладкими коэффициентами. Изучение граничных условий приводит к исследованию корней функции, представленной в виде определителя третьего порядка. Чтобы получить корни этой функции, была изучена индикаторная диаграмма. Корни этого уравнения находятся в трёх секторах бесконечно малого раствора, задаваемых индикаторной диаграммой. В статье изучено поведение корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы. Вычислена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. Найденные формулы для асимптотики собственных значений позволяют исследовать спектральные свойства собственных функций изучаемого дифференциального оператора.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(129):25-47
25-47
Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с возмущенным фредгольмовым оператором
Аннотация
Рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве. Уравнение содержит малый параметр при старшей производной и возмущенный с помощью операторной добавки фредгольмов оператор в правой части. Системами с малым параметром при старшей производной описывается движение вязкого потока, поведение тонких и гибких пластин и оболочек, процесс обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа и др. В задаче выявляется наличие явления погранслоя; в этом случае даже малая добавка оказывает сильное влияние на поведение решения. Строится асимптотическое разложение решения по степеням малого параметра методом Васильевой-Вишика-Люстерника. Доказывается асимптотичность этого разложения. Для построения регулярной части разложения применяется метод декомпозиции уравнения. Этот метод заключается в пошаговом переходе к аналогичным задачам уменьшающихся размерностей.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(129):48-56
48-56
О неограниченных комплексных операторах
Аннотация
Вводится понятие неограниченного комплексного оператора как оператора, действующего в декартовом квадрате банахова пространства. Доказывается, что каждый такой оператор является линейным. На множестве неограниченных комплексных операторов определяются линейные операции сложения и умножения на число а также операция умножения. Указываются условия коммутируемости операторов из этого множества. Рассматриваются произведение комплексно сопряжённых операторов и свойства операции сопряжения. Исследуются вопросы обратимости: предложены два сужения неограниченного комплексного оператора, которые имеют обратный оператор, при этом для одного из этих сужений найден явный вид обратного оператора. Отмечается, что неограниченные комплексные операторы могут найти применение при изучении линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(129):57-67
57-67
Максимальные сцепленные системы и ультрафильтры: основные представления и топологические свойства
Аннотация
Исследуются вопросы, связанные с представлением множества ультрафильтров (УФ) широко понимаемого измеримого пространства как подпространства битопологического пространства максимальных сцепленных систем (МСС) в оснащении топологиями волмэновского и стоуновского типов (измеримая структура определяется в виде π-системы с «нулем» и «единицей»). Рассматриваются также аналогичные представления, связанные с обобщенным вариантом сцепленности, при котором для соответствующего семейства множеств постулируется непустота пересечения конечных подсемейств с мощностью, непревышающей заданную. Исследуются условия, при которых УФ и МСС (в упомянутом обобщенном смысле) отождествимы. Рассматриваются конструкции, приводящие к битопологическим пространствам с точками в виде обобщенных МСС, а также свойство n -суперкомпактности, обобщающее «обычную» суперкомпактность. Наконец, изучаются некоторые характеристические свойства МСС и их следствия, связанные с сужением МСС на «меньшую» π -систему. Особо выделяется случай, когда последняя является алгеброй множеств.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(129):68-84
68-84
О единственности решения обратной задачи атмосферного электричества
Аннотация
Исследуется обратная задача определения двух неизвестных числовых параметров, входящих линейно и нелинейно в старший коэффициент линейного эллиптического уравнения второго порядка типа диффузии-реакции в области Ω, диффеоморфной шаровому слою, при специальных краевых условиях, по наблюдению в окрестностях соответствующего количества точек. Для аналогичной обратной задачи при краевых условиях Дирихле автором в свое время были получены достаточные условия единственности решения, но они носили абстрактный характер, в силу чего были неудобны для практического использования. В данной статье эти условия распространяются на случай иных краевых условий и конкретизируются для случая старшего коэффициента экспоненциального вида. Исследуемая обратная задача имеет непосредственное отношение к изучению электрических процессов в атмосфере Земли в условиях глобальной электрической цепи в стационарном приближении и вытекает из потребностей восстановления неизвестного старшего коэффициента уравнения на основе данных наблюдений, полученных с двух локальных датчиков.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(129):85-99
85-99
Памяти профессора Александра Ивановича Булгакова
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(129):100-102
100-102