On the implicit and inverse many-valued functions in topological spaces

Full Text

Введение Пусть заданы непустые множества T;X; Y и определены отображения f : TX!Y; y : T ! Y: Рассмотрим уравнение f(t; x) = y(t) (0.1) с параметром t 2 T относительно неизвестного x 2 X: Пусть для любого t 2 T ре- шение x 2 X уравнения (0.1) существует. Отображение, сопоставляющее точке t 2 T множество решений этого уравнения, называют (см. [1, п. 1.1.10]) неявным отображе- нием или неявной функцией. Исследованию условий существования и свойств неявной функции посвящена многочисленная литература, эти результаты находят применения в анализе, исследовании различных классов функциональных уравнений и включений, в приложениях (см, например, книгу [2], статью [3] и имеющуюся там библиографию). 386 Е. С. Жуковский, Ж.П. Мунембе В частном случае, когда Y = T; y(t) t и значение f(t; x) не зависит от t; то есть f(t; x) g(x); уравнение (0.1) принимает вид g(x) = t: (0.2) Отображение, сопоставляющее точке t 2 T множество решений уравнения (0.2), на- зывают обратным отображением или обратной функцией. Известные результаты по теории обратных функций представлены, например, в книге [4], некоторые их уточне- ния см. в [5]. В большинстве исследований неявная и обратная функция рассматриваются в пред- положении, что пространства X; Y являются банаховыми, а в ряде задач конеч- номерными векторными пространствами. Здесь мы предполагаем, что пространства T;X; Y топологические, и исследуем свойства непрерывности многозначных неявного и обратного отображений. 1. Постановка задачи Пусть заданы топологические пространства T;X; Y: В произведении X T пола- гаем, что задана стандартная топология, т. е. открытым является объединение произ- ведений открытых множеств из X и T: Пусть определены отображения g : T ! Y; f : T X ! Y; y : T ! Y и многозначное отображение U : T X (под многозначным отображением понимается отображение, сопоставляюшее каждому аргументу непустое множество). Напомним определение свойств полунепрерывности сверху и снизу многозначного отображения (подробнее сведения о полунепрерывных отображениях см., например, в [1, п. 1.2.2], [6, §2.3]). Многозначное отображение U называют полунепрерывным сверху в точке t0 2 T; если для любого открытого множества V X такого, что U(x0) V; существует окрестность BT (t0) точки t0; для которой выполнено соотношение 8t 2 BT (t0) U(t) V: Многозначное отображение U называют полунепрерывным снизу в точке t0 2 T; ес- ли для любого открытого множества V Y такого, что U(t0) \\ V 6= ;; существует окрестность BT (t0) точки t0; для которой выполнено соотношение 8t 2 BT (t0) U(t) \\ V 6= ;: Отображение, полунепрерывное сверху и снизу в точке t0; называют непрерывным в этой точке. Если U является полунепрерывным сверху (полунепрерывным снизу, непрерывным) в любой точке, то говорят, что данное многозначное отображение полу- непрерывно сверху (полунепрерывно снизу, непрерывно). Рассмотрим уравнение (0.1) Будем предполагать, что при каждом значении пара- метра t 2 T уравнение (0.1) имеет решение, принадлежащее множеству U(t); то есть справедливо соотношение 8t 2 T f(t; U(t)) 3 y(t): (1.1) Определим неявное отображение, то есть многозначное отображение RU : T X; RU(t) = fx 2 U(t) : f(t; x) = y(t)g 8t 2 T: (1.2) О НЕЯВНОЙ И ОБРАТНОЙ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЯХ 387 Нас будут интересовать условия полунепрерывности сверху, снизу и непрерывности этого отображения. Также мы рассмотрим уравнение (0.2) в предположении, что 8t 2 T g(U(t)) 3 t: (1.3) Нас будут интересовать свойства обратного отображения многозначного отображе- ния, определяемого соотношением VU : T X; VU(t) = fx 2 U(t) : g(x) = tg 8t 2 T: (1.4) 2. Неявная функция Везде далее предполагаем, что топологическое пространство Y является хаусдор- фовым. Пусть задана точка t0 2 T: Сформулируем условия полунепрерывности сверху в этой точке неявного отображения. Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия: при любом x 2 X отображе- ние f : T X ! Y непрерывно в точке (t0; x); отображение y : T ! Y непрерывно в точке t0; многозначное отображение U : T X полунепрерывно сверху в точке t0; множество U(t0) X компактно и имеет место включение (1.1). Тогда определенное формулой (1.2) многозначное отображение RU : T X полу- непрерывно сверху в точке t0 и множество RU(t0) замкнуто в пространстве X: Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для направления fxg; где x 2 RU(t0) ( эле- мент некоторого упорядоченного, направленного по возрастанию множества A) имеет место сходимость по Муру - Смиту x ! x 2 X (подробнее об используемых в данном доказательстве топологических понятиях в терминах сходимости направлений см., на- пример, [7, гл. I, п. 2.6, 2.7]). Тогда (x; t0) ! (x; t0) 2 T X и, в силу непрерывности отображения f в точке (t0; x); имеем y(t0) = f(t0; x) ! f(t0; x): Поскольку в хаусдорфовом пространстве Y предел единственный, получаем y(t0) = f(t0; x): Таким образом, множество RU(t0) замкнуто в X: Пусть многозначное отображение RU не является полунепрерывным сверху в точке t0: Тогда существует открытое множество eV X такое, что RU(t0) eV и в любой окрестности BT (t0) точки t0 находится точка t 2 BT (t0); для которой существует x 2 RU(t); x =2 eV : Определим множество eU0 = U(t0) n RU(t0): Пусть элементами множества A яв- ляются наборы произвольных окрестностей BT (t0) и BX(x); x 2 eU0: Определим на множестве A порядок, полагая для его элементов ; 0 2 A; = fB T (t0); BX (x) 8x 2 eU0g; 0 = fB0 T (t0); B0 X (x) 8x 2 eU0g 388 Е. С. Жуковский, Ж.П. Мунембе выполненным неравенство 0; если B T (t0) B0 T (t0) и BX (x) B0 X (x) при любом x 2 eU0: Множество A является упорядоченным по возрастанию, так как для любых ; 0 2 A можем определить = fB T (t0) \\ B0 T (t0); BX (x) \\ B0 X (x) 8x 2 eU0g; для которого выполнено ; 0: Определим направления fg T; fvg X; fug X ( 2 A) следующим образом. Для произвольного = fB T (t0); BX (x) 8x 2 eUg 2 A обозначим V = [ x2eU0 BX (x) [ eV : Множество V открыто и U(t0) V : В силу полунепрерывности сверху в точке t0 отображения U существует окрестность V B T (t0) точки t0 такая, что U(t) V при всех t 2 V: Кроме того, как показано выше, существует 2 V и существу- ет v 2 RU() такой, что v =2 eV : Но так как v 2 V ; для некоторого u 2 eU0 выполнено v 2 BX (u): Итак, направления fg; fvg; fug определены. В силу компактности множества U(t0) направление fug имеет предельную точку u 2 U(t0); то есть направление fug часто встречается с любой окрестностью BX(u) точки u : 8 2 A 90 = fB0 T (t0); B0 X (x) 8x 2 eUg 2 A 0 ; u0 2 BX(u): Покажем, что направление fvg часто встречается с любой окрестностью точки u: Для произвольной окрестности BX(u) точки u определим 0 2 A; для которого B0 X (x) BX(u) при всех x 2 BX(u): Существует 0 0 такое, что u0 2 BX(u): По определению направлений fg; fvg; fug имеем v0 2 RU(0); v0 2 B0 X (u0) B0 X (u0) BX(u): Таким образом, существует поднаправление fev; 2 Dg; сходящееся к u: Опре- делим соответствующее поднаправление fe; 2 Dg направления fg следующим образом. Пусть 0 = fB0 T (t0) = T; B0 X (x) = X 8x 2 eUg 2 A: Существует такой 0 2 D; что для любого 0 найдется 2 A; 0; удовлетворяющий соотно- шению ev = v: Для таких же индексов ; положим e = : Так как направление fg сходится к t0; то его соответствующее поднаправление fe; 2 Dg сходится к t0: Из равенства f(e; ev) = y(e) вследствие непрерывности отображений f и y и единственности предела в xаусдорфовом проcтранстве Y получаем f(t0; u) = y(t0); то есть u 2 RU(t0): Однако, так как ev =2 eV при любом 2 D; должно выполняться соотношение u =2 eV ; которое противоречит включению u 2 RU(t0): Итак доказано, что многозначное отображение RU полунепрерывно сверху в точке t0: Следствие 2.1. Пусть выполнены следующие условия: отображения f : TX!Y и y : X ! Y непрерывны, многозначное отображение U : T X полунепрерывно сверху, при любом t 2 T множество U(t) X компактно и имеет место соотно- шение (1.1). О НЕЯВНОЙ И ОБРАТНОЙ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЯХ 389 Тогда определенное формулой (1.2) многозначное отображение R полунепрерывно сверху и для всех t 2 T имеет образами замкнутые множества R(t): Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях этого утверждения выполнены предположе- ния теоремы 2.1 для любой точки t0 2 T: Следствие 2.2. Пусть пространство X компактно и выполнены условия: отоб- ражения f : T X ! Y и y : X ! Y непрерывны и при любом t 2 T выполнено соотношение f(t;X) 3 y(t): Тогда многозначное отображение R : T X; R(t) = fx 2 X : f(t; x) = y(t)g 8t 2 T; полунепрерывно сверху и для всех t 2 T имеет образами замкнутые множества R(t): Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из следствия 2.1, если положить U(t) = X при любом t 2 T: Следующий пример иллюстрирует существенность условия компактности множе- ства U(t) в теореме 2.1. П р и м е р 2.1. Пусть T = X = Y = R (полагаем, что в R задана “обычная” топология). Для любых t; x 2 R положим f(t; x) = (tx 1)x; y(t) = 0; U(t) = R: Функции f; y непрерывны, многозначное отображение U непрерывно (следовательно, полунепрерывно сверху). Таким образом, справедливы все условия теоремы 2.1 кро- ме компактности значений U(t) многозначного отображения U: Множеством решений уравнения (0.1) является R(t) = f0; t 1g при t 2 R n f0g; R(t) = f0g при t = 0: Но это многозначное отображение R : R R не является полунепрерывным сверху в точке t = 0: Аналогичное теореме 2.1 утверждение о полунепрерывности снизу многозначного отображения RU : T X в случае полунепрерывности снизу и даже непрерывности отображения U : T X оказывается неверным. Приведем соответствующий пример. П р и м е р 2.2. Пусть T = [0; 1]; X = Y = R (с “обычной” топологией), функции f : [0; 1] R ! R; y : [0; 1] ! R; и многозначное отображение U : [0; 1] R заданы соотношениями: f(t; x) = x + t при x 2 ( 1; 1] и f(t; x) = 2 x + t при x 2 (1;1); y(t) 0; U(t) [0; 3]: Очевидно, функции f; y непрерывны, многозначное отобра- жение U непрерывно и имеет компактные значения. В данном случае множеством решений уравнения (0.1) является RU(t) = f2 + tg при t 2 R n f0g; RU(t) = f0; 2 + tg при t = 0: Это многозначное отображение не является полунепрерывным снизу в точке t = 0: 390 Е. С. Жуковский, Ж.П. Мунембе Если значением многозначного отображения RU : T X в точке t0 является одно- элементное множество, то свойства полунепрерывности сверху и непрерывности точке t0 равносильны. Кроме того, если множество R(t0) состоит лишь из одного элемента, то любое сечение (то есть отображение : T ! X такое, что (t) 2 R(t) при всех t 2 T ) полунепрерывного в точке t0 многозначного отображения RU является отображени- ем, непрерывным в этой точке (что прямо следует из определения полунепрерывности сверху). Таким образом, получаем следующее утверждение. Следствие 2.3. Пусть выполнены предположения теоремы 2.1 и справедливо со- отношение 8x; x0 2 U(t0) f(t0; x) = y(t0); x0 6= x ) f(t0; x0) 6= y(t0): (2.1) Тогда определенное формулой (1.2) многозначное отображение RU : T X непрерыв- но в точке t0 и множество RU(t0) состоит ровно из одного элемента. Кроме того, любое сечение многозначного отображения RU будет отображением, непрерывным в точке t0: Заметим, что условие (2.1) очевидно выполнено в случае, когда сужение отображе- ния f(t0; ) на множество U(t0) инъективно. Соответственно, если при любом t 2 T выполнены предположения теоремы 2.1 и, кроме того, сужение отображения f(t; ) на множество U(t) является инъективным, то “однозначное” неявное отображение t 2 T 7! x 2 U(t) : f(t; x) = y(t) (как отображение T ! X ) будет непрерывным. 3. Обратная функция Поскольку уравнение (0.2) является частным случаем уравнения (0.1), из резуль- татов о неявной функции можно получить соответствующие утверждения об обратной функции. Будем предполагать, что топологическое пространство T является хаусдорфовым. Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие условия: многозначное отображение U : T X полунепрерывно сверху в точке t0 2 T; множество U(t0) X компактно, отображение g : X ! T непрерывно и выполнено включение (1.3). Тогда определенное формулой (1.4) многозначное отображение VU : T X полу- непрерывно сверху в точке t0 и множество VU(t0) замкнуто в пространстве X: Д о к а з а т е л ь с т в о. Это утверждение вытекает из теоремы 2.1, если поло- жить Y = T; y(t) t и f(t; x) g(x): Как отмечено выше, уравнение (0.1) тогда принимает вид (0.2), а многозначное отображение RU : T X “превращается” в отоб- ражение VU : T X: Используя приведенные выше сведения об отображениях, имеющих в заданной точ- ке значением одноэлементное множество, сформулируем условия непрерывности обрат- ной функции. О НЕЯВНОЙ И ОБРАТНОЙ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЯХ 391 Следствие 3.4. Пусть выполнены предположения теоремы 3.2 и справедливо со- отношение 8x; x0 2 U(t0) g(x) = t0; x0 6= x ) g(x0) 6= t0: (3.1) Тогда определенное формулой (1.4) многозначное отображение VU : T X непрерыв- но в точке t0 и множество VU(t0) состоит ровно из одного элемента. Кроме того, любое сечение многозначного отображения VU будет отображением, непрерывным в точке t0: Условие (3.1) очевидно выполнено в случае, когда сужение отображения g на мно- жество U(t0) инъективно. Соответственно, если при любом t 2 T выполнены предполо- жения теоремы 3.2 и, кроме того, сужение отображения g на множество U(t) является инъективным, то “однозначное” неявное отображение t 2 T 7! x 2 U(t) : g(x) = t (как отображение T ! X ) будет непрерывным.

About the authors

Evgeny S. Zhukovskiy

Derzhavin Tambov State University

Email: zukovskys@mail.ru
Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation

Joao Paulo Munembe

Eduardo Mondlane University

Email: jmunembe3@gmail.com
Deputy Deen for Postgraduate Studies Praca 25 de Junho, Maputo CP. 257, Mozambique

References

Supplementary files