О существовании непрерывно дифференцируемого решения задачи Коши для неявных дифференциальных уравнений

Полный текст

1. Введение и постановка задачи Рассмотрим задачу Коши f(t; x; x_ ) = 0; x(t0) = x0; t 2 I: (1.1) Здесь I заданный открытый интервал, f : IRnRn ! Rk заданное непрерывное отображение, относительно которого всюду далее будем предполагать, что отображение f(t; x; ) дважды дифференцируемо при всех (t; x) 2 I Rn; а отображения @f @x_ и @2f @x_ 2 непрерывны; x0 2 Rn заданный вектор; t0 2 I заданное число; решение x() задачи (1.1) ищется в классе непрерывно дифференцируемых функций, определенных на некотором интервале времени, лежащем в I и содержащем t0 . Дифференциальное уравнение в (1.1) принято называть неявным или не разрешен- ным относительно производной неизвестной функции. Уравнения такого типа изуча- лись во многих работах. Наиболее близкими к настоящему исследованию результаты были получены в работах [1, 2]. В них были получены утверждения о существовании и устойчивости решений неявных дифференциальных уравнений в классе абсолютно непрерывных функций. В частности, было доказано, что в предположении накрывае- мости отображения f по переменной x_ и липшицевости по x существует абсолютно непрерывное решение задачи (1.1). В настоящей работе исследован вопрос о существова- нии непрерывно дифференцируемого решения задачи Коши (1.1) при дополнительном предположении гладкости f по x_ ; и при более слабом предположении предположе- нии непрерывности отображения f по переменной x . 378 З.Т. Жуковская, С. Е. Жуковский Заметим, что если для некоторого набора (t0; x0; u0) 2 I RnRn для отображения f выполняется условие регулярности по переменной x_ ; т. е. @f @x_ (t0; x0; u0)Rn = Rk; (1.2) и f(t0; x0; u0) = 0; то по теореме о неявной функции существует непрерывное отоб- ражение g : I Rn ! Rn такое, что f(t; x; g(t; x)) = 0 при всех (t; x) из некоторой окрестности точки (t0; x0); и u0 = g(t0; x0): Поэтому задача x_ = g(t; x); x(t0) = x0 имеет решение '(); удовлетворяющее соотношению '_ (t0) = u0: Очевидно, что '() является решением задачи (1.1). Отметим, что если предположение (1.2) выполняется при всех (t0; x0; u0) 2 I Rn Rn; то задача (1.1) может не иметь решений при некоторых (t0; x0) 2 I Rn; посколь- ку в этом случае равенство f(t0; x0; u0) = 0 может не достигаться ни в какой точке (t0; x0; u0): Простой пример сказанному дает задача ex_ = 0; x(0) = 0: Очевидно, что данная задача не имеет решений, хотя свойство (1.2) в ней выполняется при любых (t0; x0; u0): Таким образом, для того, чтобы задача Коши (1.1) имела реше- ние при любом (t0; x0) 2 I Rn; регулярности отображения f в каждой точке области определения не достаточно. В этой работе мы приведем достаточные условия суще- ствования решения задачи Коши (1.1) при любых начальных данных и достаточные условия продолжения решения на заданный интервал времени. 2. Предварительные сведения Прежде чем перейти к основному результату, напомним некоторые определения и утверждения. Всюду далее через j j будем обозначать норму в пространствах Rn и Rk; через k k норму в пространстве Ln;k линейных операторов, действующих из Rn в Rk; через Bn(x; r) замкнутый шар в Rn с центром в точке x радиуса r; через SLn;k множество всех сюръективных операторов A 2 Ln;k: Оператор A 2 Ln;k называется -накрывающим (накрывающим с константой > 0 ), если Bk(0; r) ABn(0; r) 8 r 0: Отметим, что приведенное определение накрываемости для линейных операторов явля- ется частным случаем понятия накрываемости нелинейных отображений метрических пространств (см., например, [1, 2]). Очевидно, что линейный оператор сюръективен тогда и только тогда, когда он яв- ляется -накрывающим при некотором > 0 . Известно (см, например, [3]), что для произвольного A 2 SLn;k наибольшая константа накрывания оператора A опреде- ляется по формуле = 1 kA(AA)k : О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОГО РЕШЕНИЯ 379 Приведем теперь глобальную теорему о неявной функции из [3, теорема 3]. Пусть топологическое пространство, F : Rn ! Rk заданное отобра- жение, относительно которого будем предполагать, что оно непрерывно, отображение F(; ) дважды непрерывно дифференцируемо при всех 2 ; отображения @F @x и @2F @x2 непрерывны по совокупности аргументов (x; ): П р е д л о ж е н и е 2.1. (следствие из [3, теорема 3]). Пусть задано > 0: Предположим, что линейный оператор @F @x (x; ) является -накрывающим при всех (x; ) 2 Rn : Тогда существует непрерывное отображение G : Rn ! Rn такое, что F(G(x; ); ) = 0 8 (x; ) 2 Rn ; jG(x; ) xj jF(x; )j 8 (x; ) 2 Rn : 3. Основной результат Вернемся к задаче Коши (1.1). Сформулируем достаточные условия ее разреши- мости при любых начальных данных и условия существования решения на заданном интервале времени. Пусть задано вещественное число > 0: Теорема 3.1. Предположим, что для отображения f выполняется предположе- ние равномерной регулярности по переменной x_ ; то есть линейный оператор @f @x_ (t;x;x_ ) является -накрывающим при всех (t; x; x_ ) 2 I Rn Rn: 1. Тогда для любого (t0; x0) 2 I Rn и для любой непрерывной функции u0 : I ! Rn существует содержащий t0 интервал J I и решение ' : J ! Rn задачи Коши (1.1) такое, что j'_ (t) u0(t)j jf(t; '(t); u0(t))j 8 t 2 J: (3.1) 2. Предположим дополнительно, что существуют непрерывные функции a: I!R+ и b : I Rn ! R+ такие, что jf(t; x; x_ )j a(t)jxj + b(t; x_ ) 8 (t; x; x_ ) 2 I Rn Rn: (3.2) Тогда для любого (t0; x0) 2 I Rn; для любой непрерывной функции u0 : I ! Rn существует решение ' : I ! Rn задачи Коши (1.1), для которого выполняется (3.1). Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Применяя предложение 2.1 с = I Rn и = (t; x); получаем, что существует непрерывное отображение g : Rn Rn+1 ! Rn такое, что f(t; x; g(u; t; x)) = 0 8 (t; x; u) 2 I Rn Rn; (3.3) jg(u; t; x) uj jf(t; x; u)j 8 (t; x; u) 2 I Rn Rn: (3.4) 380 З.Т. Жуковская, С. Е. Жуковский Возьмем произвольную точку (t0; x0) 2 IRn и функцию u0 : I ! Rn и рассмотрим задачу Коши x_ = g(u0(t); t; x); x(t0) = x0: (3.5) Поскольку функции g и u0 непрерывны, то правая часть дифференциального уравне- ния в (3.5) непрерывна, и, значит, задача Коши (3.5) имеет решение '(); определенное на некотором интервале J (см., например, [4, глава II, теорема 2.1]). Покажем, что функция ' является искомой. Для произвольного t 2 J имеем f t; '(t); '_ (t) = f t; '(t); g(u(t); t; '(t)) = 0: Здесь первое равенство следует из того, что функция ' является решением задачи Коши (3.5), а второе из соотношения (3.3). Кроме того, j'_ (t) u0(t)j = jg(u0(t); t; '(t)) u0(t)j jf(t; '(t); u0(t))j : Здесь равенство следует из того, что функция ' является решением задачи Коши (3.5), а неравенство из соотношения (3.4). Таким образом, функция '() является искомой. 2. Применяя предложение 2.1 с = I Rn и = (t; x); получаем, что существует непрерывное отображение g : Rn Rn+1 ! Rn такое, что выполняются соотношения (3.3) и (3.4). Возьмем произвольную точку (t0; x0) 2 I Rn и функцию u0 : I ! Rn и рас- смотрим задачу Коши (3.5). Поскольку функции g и u0 непрерывны, то правая часть дифференциального уравнения в (3.5) непрерывна. Кроме того, jg(u0(t); t; x)j = jg(u0(t); t; x) u0(t) + u0(t)j jg(u0(t); t; x) u0(t)j + ju0(t)j jf(t; x; u0(t)j) + ju0(t)j a(t) jxj + b(t; u0(t)) + ju0(t)j для любого t 2 I: Здесь первое неравенство вытекает из неравенства треугольника, второе из соотношения (3.4), а третье из предположения (3.2). Таким образом, для задачи (3.5) выполнены предположения теоремы о продолжении решения на заданный интервал (см., например [5, глава II, теорема 5]). Значит, задача Коши (3.5) имеет ре- шение '(); определенное на всем интервале I: Дословно повторив соответствующие рассуждения из пункта 1 доказательства, получаем, что функция ' является иско- мой. 4. Обсуждение основных результатов Прокомментируем теорему 3.1. Применительно к задаче Коши для явного диффе- ренциального уравнения, т. е. к задаче x_ = h(t; x); x(t0) = x0; в которой h : I Rn ! Rn заданная непрерывная функция, а (t0; x0) 2 I Rn заданное начальное условие, теорема 3.1 не дает новых результатов. В этом случае О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОГО РЕШЕНИЯ 381 f(t; x; x_ ) x_ h(t; x); = 1; и, значит, теорема 3.1 совпадает с известными утвержде- ниями о существовании решения и его продолжении на заданный интервал времени (см., например, [4, 5]). При этом оценка (3.1) принимает вид j'_ (t) u0(t)j jh(t; '(t)) u0(t)j 8 t 2 J: Но это неравенство очевидно, поскольку '_ (t) h(t; '(t)): Таким образом, теорема 3.1 не дает новых результатов для явных дифференциальных уравнений. Отметим теперь, что в предположениях теоремы 3.1 решение может быть не един- ственным. Во-первых, это связано с тем, что отображение f непрерывно по переменной x; но не обязательно локально липшицево. Во-вторых, в предположениях теоремы воз- можна ситуация k < n; при которой, очевидно, единственность решения невозможна. Однако, если k = n; а отображение f достаточно гладко, то можно доказать един- ственность решения. Приведенный в параграфе 1 пример показывает, что предположение равномерной регулярности в теореме 3.1 существенно для утверждения п. 1 о существовании реше- ния. Покажем, что даже если имеет место условие (3.2), то условие равномерной регу- лярности существенно и для утверждения п. 2 о существовании решения на заданном интервале времени, и не может быть заменено, например, предположением регулярно- сти f по переменной x_ в каждой точке области определения отображения f: П р и м е р 4.1. Рассмотрим задачу Коши (1.1), в которой I = R; а отображение f : R R2 R2 ! R2 определено по формуле f(t; x; x_ ) := ex_ 1 cos(x_ 2) ex_ 1 sin(x_ 2) t 0 ; x_ = (x_ 1; x_ 2) 2 R2; x = (x1; x2); t 2 R: Для этого отображения соотношение (1.2) выполняется при любом (t0; x0; u0) 2 R R2 R2 (см., например, [6, §5.3]). Покажем, что в рассматриваемой задаче выполняется предположение (3.2). Дей- ствительно, для любых (t; x; x_ ) 2 R R2 R2 имеем jf(t; x; x_ )j = ex_ 1 cos(x_ 2) ex_ 1 sin(x_ 2) t 0 jtj + ex_ 1 8 t 2 R: Значит предположение (3.2) выполняется с I = R: Однако любое решение задачи Коши (1.1) не определено в точке t = 0; поскольку f(0; x; x_ ) 6= 0 ни при каких x; x_ 2 R2: В заключение рассмотрим случай, когда отображение f липшицево по перемен- ной x: Пусть 0 задано. П р е д л о ж е н и е 4.1. Предположим, что отображение f(t; ; x_ ) липшицево с константой Липшица при любых (t; x_ ) 2 IRn: Пусть (t0; x0) 2 IRn заданная точка, u0 : I ! Rn заданная непрерывная функция, [u0](t) := f t; x0 + Zt t0 u0(s) ds; u0(t) ; t 2 I; 382 З.Т. Жуковская, С. Е. Жуковский J I заданный интервал, содержащий t0; ' : J ! Rn решение задачи Коши (1.1), удовлетворяющее неравенству (3.1). Тогда j'_ (t) u0(t)j 2 Zt t0 e (t s)j[u0](s)j ds + j[u0](t)j 8 t 2 J: Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (3.1) и липшицевости отображения f по второму аргументу имеем j'_ (t) u0(t)j jf(t; '(t); u0(t))j jf(t; '(t); u0(t)) [u0](t)j + j[u0](t)j Zt t0 ('_ (s) u0(s)) ds + j[u0](t)j Zt t0 j'_ (s) u0(s)j ds + j[u0](t)j (4.1) для любого t 2 J; t t0: Умножая это неравенство на 1e (t t0) получаем, что d dt e (t t0) Zt t0 j'_ (s) u0(s)j ds e (t t0) j[u0](t)j при любом t 2 J; t t0: Значит, Zt t0 j'_ (s) u0(s)j ds 1 Zt t0 e (t s)j[u0](s)j ds при любом t 2 J; t t0: Отсюда и из (4.1) следует, что j'_ (t) u0(t)j 2 Zt t0 e (t s)j[u0](s)j ds + j[u0](t)j для любого t 2 J; t t0: Повторив аналогичные рассуждения для t 2 J; t < t0; получаем искомую оценку.

Об авторах

Зухра Тагировна Жуковская

ФГБУН «Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова» Российской академии наук

Email: zyxra2@yandex.ru
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник 117997, Российская Федерация, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65

Сергей Евгеньевич Жуковский

ФГБУН «Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова» Российской академии наук

Email: s-e-zhuk@yandex.ru
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник 117997, Российская Федерация, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65

Список литературы

Дополнительные файлы