Убывание решений обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза при больших временах

Аннотация

В данной работе доказано существование слабых решений для нелинейного обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза и найдены условия, при которых слабые решения убывают к нулю при больших временах.

Полный текст

Рассмотрим в QT = (0; T) (0; L) , 0 < T +1, 0 < L < +1, начально-краевую задачу ut + aux + uxxx + g(u)ux = 0; (1) 100 А.А. Николаев u(0; x) = u0(x); 8x 2 (0; L); (2) u(t; 0) = u(t; L) = ux(t; L) = 0; 8t 2 (0; T); (3) где a 2 R, функция g 2 C1(R) и jg0(u)j C(juj + 1); 8u: (4) Класс таких уравнений включает в себя уравнение Кортевега-де Фриза g(u) = u и модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза g(u) = u2 , которые описывают распространение одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией и без диссипации. Аналогичные вопросы были ранее рассмотрены в статьях [1]-[4]. В статье [1] рас- сматривается задача для уравнения ut + ux + uxxx + g(u)ux + b(x)u = 0; 0 x L (5) с начально-краевыми условиями (2), (3). Предполагается, что функция b неотрицатель- ная и лежит в пространстве L2(0; L) . Функция g такая, что g(0) = 0 и удовлетворяет следующему условию роста jg(j)(u)j C(1 + jujp j); 8u 2 R; (6) для j =0; 1 , если 1p< 2 и для j =0; 1; 2 , если p2: В случае, когда u0 2 L2(0; L); было показано, что для любого p 2 [1; 2) и T > 0 задача (5), (2), (3) имеет единствен- ное решение в пространстве C [0; T]; L2(0; L)) \ L2(0; T;H1(0; L) . Также было показа- но, что в случае, когда u0 2 L2(0; L) , p 2 [2; 4) , для любого T > 0 задача (5), (2), (3) имеет решение в пространстве C! [0; T]; L2(0; L)) \ L2([0; T];H1(0; L) . В случае, если дополнительно известно, что носитель функции b содержит открытое непустое подмно- жество (0; L) , то при p 2 [1; 4) для таких решений найдутся число > 0 , зависящее только от L; и неубывающая непрерывная функция : R+ ! R+ такие, что для всех t > 0 выполняется неравенство jju(; t)jjL2(0;L) (jju0jjL2(0;L))e t: Ранее в статье [2] для задачи (5), (2), (3) были получены аналогичные результаты в том случае, когда (6) справедливо при p = 1 и выполнены более сильные условия на b , чем в статье [1]. В статье [3] было показано, что в случае g(u) = u4 (т. е., когда условие (6) вы- полняется при p = 4 ), b 2 L1(0; L) , и u0 2 L2(0; L) имеет достаточно малую норму, задача (5), (2), (3) имеет решение в пространстве C([0; T]; L2(0; L)) \ L2(0; T;H1 0 (0; L)) при любом T > 0 . В том случае, когда jju0jjL2(0;L) < R для некоторого малого R > 0 , существуют положительные константы C = C(R; T) и = (R) такие, что неравен- ство jju(t; )jjL2(0;L) Cjju0jj2 L2(0;L)e t выполняется для всех t > 0 . УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА 101 В статье [4] рассматривались вопросы о существовании, единственности решений и их убывании при больших временах для начально-краевой задачи на QT в случае более общих уравнений. В частности, из результатов [4] следует, что начально-краевая задача с условиями (2), (3) для уравнения ut + uxxx + aux + uux = f(t; x); имеет решение в пространстве C([0; T]; L2(0; 1)) \ L2(0; T;H1(0; 1)) для любого T > 0 , если u0 2 L2(0; 1) и f 2 L1(0; T; L2(0; 1)) . В предположении, что f 0 и начальное значение u0 мало в норме L2(0; L) , была получена оценка jju(t; )jj2 L2(0;1) 2e ktjju0jj2 L2(0;1); (7) где k некоторая постоянная определенная в статье. В статье [5] был рассмотрен вопрос о том, является ли условие малости начальных данных для уравнения Кортевега-де Фриза и модифицированного уравнения Кортеве- га-де Фриза с начально-краевыми условиями (2), (3) необходимым для убывания реше- ний к нулю при больших временах. Для ответа на этот вопрос в статье были найдены условия, при которых данные задачи имеют стационарные решения u = u(x) . В данной статье мы покажем, что если u0 2 L2(0; L) , то задача (1)-(3) имеет ре- шение в пространстве C([0; T]; L2(0; L)) \ L2(0; T;H1(0; L)) для любого T > 0 , т. е. в том случае, когда p = 2; j = 0; 1 в (6) и b(x) 0 в (5). В случае, когда начальные данные достаточно малы, будет определен интервал значений , при которых решение убывает к нулю при больших временах и выполнена оценка, аналогичная (7). Пусть T > 0 . Определим пространство X0(QT ) = C([0; T]; L2(0; L)) \ L2(0; T;H1(0; L)): О п р е д е л е н и е 1. Пусть u0 2 L2(0; L) . Под обобщенным решением задачи (1)-(3) для некоторого T > 0 мы будем понимать функцию u 2 X0(QT ) для которой при любой функции 2 L2(0; T;H3(0; L)) такой, что t 2 L2(QT ) , jt=T = jx=0 = jx=L = xjx=0 = 0 , выполняется равенство ZT 0 ZL 0 (ut + aux + uxxx g(u)ux)dxdt + ZL 0 u0(x)(0; x)dx = 0: (8) Сформулируем основные результаты статьи. Теорема 1. Если u0 2 L2(0; L) , то для любого T > 0 существует обобщенное решение u(t; x) задачи (1)-(3). З а м е ч а н и е 1. Единственность решения следует из [6, Theorem 6.4], где она установлена в более широком пространстве L1(0; T; L2(0; L)) \ L2(0; T;H1(0; L)) . 102 А.А. Николаев Теорема 2. Пусть u0 2 L2(0; L) , T > 0 , CL2 < 12; где постоянная C из условия (4). Пусть для некоторого A 2 CL2 4 ; 3 выполняются неравенства jju0jjL2(0;L) 8A CL 2L 1 2 ; (9) a < (3 A)2 L2(1 + L) : (10) Тогда единственное решение u 2 X0(QT ) задачи (1)-(3) при всех t 2 [0; T] удовлетво- ряет неравенству jju(t; )jj2 L2(0;L) (1 + L)e (3 A)2 L2(1+L) +a0 tjju0jj2 L2(0;L); (11) где a0 = ( a; a 0; a 1+L; a < 0: Доказательство теоремы 1 мы проведем поэтапно, сначала рассмотрим начально- краевую задачу для регуляризованного уравнения ut + aux + uxxx + gh(u)ux = 0; (12) сохранив начально-краевые условия (2), (3), где g0 h(u) = g0(u)(2 hjuj) + 2 h (hjuj 1); gh(0) = g(0); (13) а 2 C1(R) ѕсрезающаяї функция такая, что (t) = 0 при всех t 0; 0(t) > 0 , (t) + (1 t) = 1 при всех t 2 (0; 1); и (t) = 1 при всех t 1: Заметим, что gh(u) сходится поточечно к g(u) при h ! 0 . В ходе дальнейших рассуждений мы будем часто использовать оценки для функций gh(u) и g0h (u) : jg0 h(u)j C(h); jgh(u)j C(h)(juj + 1); 8u; (14) и их равномерные по h аналоги jg0 h(u)j C(juj + 1); jgh(u)j C(u2 + 1); 8u: (15) Данные оценки нетрудно получить из условий (4) и (13). Теперь покажем, что задача для уравнения (12) с начально-краевыми условиями (2), (3) разрешима локально по времени. В [4, Lemma 4.3] было показано, что у линейной начально-краевой задачи на QT для уравнения ut + aux + uxxx = f(t; x); (16) УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА 103 c условиями (2), (3) существует обобщенное решение u(t; x) из пространства X0(QT ) в том случае, когда u0 2 L2(0; L) , f 2 L1(0; T; L2(0; L)) . В этом случае при любом t0 2 (0; T] справедлива оценка jjujjX0(Qt0 ) C(T;L)(jju0jjL2(0;L) + jjfjjL1(0;T ;L2(0;L))): (17) Обобщенное решение задачи (16), (2), (3) понимается в смысле, аналогичном определе- нию 1. Сформулируем другие условия существования обобщенного решения задачи. Утверждение 1. Пусть u0 2 L2(0; L) , тогда существует t > 0 такое, что задача для уравнения (12) c начально-краевыми условиями (2), (3) имеет обобщенное решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть t0 > 0 , зададим на множестве X0(Qt0) отображе- ние следующим образом: u = v 2 X0(Qt0) является решением на Qt0 начально- краевой задачи для уравнения ut + aux + uxxx = gh(v)vx (18) с условиями (2), (3). Покажем, что правая часть (18) лежит в пространстве L1(0; t0; L2(0; L)): Воспользуемся оценкой (14) и интерполяционным неравенством для функций u 2 H1 0 (0; L) , sup x2(0;L) u2(x) 2( L R 0 u2(x)dx) 1 2 ( L R 0 u2 x(x)dx) 1 2 : jjgh(v)vxjjL1(0;t0;L2(0;L)) C(h) Zt0 0 ZL 0 (v2 + 1)v2x dx 1 2 dt C(h) Zt0 0 sup x2(0;L) jvj ZL 0 v2xdx 1 2 dt + t 1 2 0 Zt0 0 ZL 0 v2x dxdt 1 2 C(h) Zt0 0 sup x2(0;L) v2dxdt 1 2 Zt0 0 ZL 0 v2x dxdt 1 2 + t 1 2 0 Zt0 0 ZL 0 v2x dxdt 1 2 C(h)jjvxjjL2(Qt0 ) Zt0 0 ( ZL 0 v2dx) 1 2 ( ZL 0 v2x dx) 1 2 dt 1 2 + t 1 2 0 C(h)jjvjjX0(Qt0 ) ( sup t2(0;t0) jjv(t; )jjL2(0;L)) 1 2 Zt0 0 ZL 0 v2x dx 1 2 dt 1 2 + t 1 2 0 C(h)t 1 4 0 jjvjjX0(Qt0 )(jjvjjX0(Qt0 ) + t 1 4 0 ): (19) Из предыдущего неравенства следует, что условия [4, Lemma 4.3] выполнены. Получа- ем, что для любого v существует решение u 2 X0(Qt0) задачи (18), (2), (3), а значит, 104 А.А. Николаев отображение существует. Воспользуемся оценкой (17), получим jjvjjX0(Qt0 ) c(T)(jju0jjL2(0;L) + jjgh(v)vxjjL1(0;t0;L2(0;L))) c(T)(jju0jjL2(0;L) + C(h)t 1 4 0 jjvjjX0(Qt0 )(jjvjjX0(Qt0 ) + t 1 4 0 )): Выберем R = maxf2c(T)jju0jjL2(0;L); 2c(T)g , t1 = R 2 + s R2 4 + 1 2C(h) : Тогда если t2 t1 , jjvjjX0(Qt2 ) R, то jjvjjX0(Qt2 ) R; т. е. отображение : v ! u переводит шар радиуса R с центром в нуле в простран- стве X0(Qt2) в себя. Теперь возьмем две функции v; ev 2 X0(Qt2) , которые лежат в шаре радиуса R с центром в нуле, тогда ! = v ev является решением задачи для уравнения !t + a!x + !xxx = gh(v)vx + gh(ev)evx (20) с нулевыми начальными условиями. По аналогии, с оценкой (19) получим оценку правой части (20) в пространстве L1(0; t2; L2(0; L)) jjgh(~v)~vx gh(v)vxjjL1(0;t2;L2(0;L)) = jj(gh(~v) gh(v))vx + gh(v)(~vx vx)jjL1(0;t2;L2(0;L)) C j~v vjj~vxj+(jvj+1)j(~v v)xj L1(0;t2;L2(0;L)) C Zt2 0 ZL 0 (~v v)2~v2x +(v2+1)((~v v)x)2dxdt Cjj~v vjjX0(Qt2 )t 1 4 2 (jj~vjjX0(Qt2 ) + jjvjjX0(Qt2 ) + t 1 4 2 ); а затем применим (17), получим jjv evjjX0(Qt2 ) C(T; h; jjvjjX0(Qt2 ); jj~vjjX0(Qt2 ))t 1 4 2 jj~v vjjX0(Qt2 ): А значит, можем выбрать такое t t2 , что отображение при t 2 (0; t] будет сжимающим, следовательно, при таких t отображение будет иметь одну стационарную точку, которая и будет решением уравнения (12). Далее продолжим локальное решение задачи (12), (2), (3) на (0; T) . Для этого рас- смотрим вспомогательное утверждение. Утверждение 2. Пусть u0 2 L2(0; L) , f 2 L1(0; T; L2(0; L)) для некоторого T > 0 и u 2 X0(QT ) является обобщенным решением задачи (16), (2), (3). Тогда существует функция 2 L2(0; L) такая, что 8 t 2 (0; T] справедливо равенство ZL 0 u2(t; x)dx + Zt 0 2( )d = ZL 0 u20 (x)dx + 2 Zt 0 ZL 0 f(; x)u(; x)dxd: (21) УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА 105 Д о к а з а т е л ь с т в о. Осуществим переход к функциям, обладающими большей гладкостью. Согласно [7], если u0 2 D(A) , где оператор A = (a @ @x + @3 @x3 + E) , а D(A) = fg 2 H3(0; L) : g(0) = g(L) = g0(L) = 0g , функция f 2 C1([0; T]; L2(0; L)) , то существует единственное решение u 2 C([0; T];H3(0; L)) \ C1([0; T]; L2(0; L)); задачи (16), (2), (3). Домножим уравнение (16) на 2u и проинтегрируем по области Qt . В результате для любого t из (0; T] получим ZL 0 u2(t; x)dx + Zt 0 u2 x x=0 d = ZL 0 u20 (x)dx + 2 Zt 0 ZL 0 f(x; )u(x; )dxd: (22) Простыми преобразованиями получим, что jjujjC([0;t];L2(0;L)) + jjuxjx=0jjL2(0;t) jjfjjL1(0;t;L2(0;L)) + jju0jjL2(0;L): (23) Выберем такие последовательности fu0ng; u0n 2 D(A) и ffng , fn 2 C1([0; T]; L2(0; L)); которые сходятся к u0 в L2(0; L) и к f в L1(0; T; L2(0; L)) соответственно. Тогда un решение задачи (16), (2), (3), для правой части fn и начальных данных u0n: Очевидно, что fung фундаментальная последовательность в C([0; T]; L2(0; L)) и jju unjjC([0;t];L2(0;L)) ! 0: Это означает, что пределом последовательности fung является обобщенное решение u: Из оценки (23), примененной к равенству (22), легко доказать, что последователь- ность funxjx=0g фундаментальна и следовательно имеет пределом некоторую функ- цию 2 L2(0; L): Перейдя к пределу на множестве гладких функций в (22) получим необходимое равенство в общем случае. Следствие 1. Пусть для некоторого T > 0 функция u 2 X0(QT ) является реше- нием задачи (12), (2), (3), где u0 2 L2(0; L) . Тогда выполняется равенство jjujjC([0;T ];L2(0;L)) = jju0jjL2(0;L): (24) Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (19) следует, что gh(u)ux 2 L1(0; T; L2(0; L)) . Из ра- венства ZT 0 ZL 0 gh(u)uxu(t; x)dxdt = ZT 0 ZL 0 Zu 0 gh()d x dxdt = 0; и (21) следует (24). Из следствия 1 получаем утверждение о существовании глобального решения задачи (12), (2), (3). 106 А.А. Николаев Утверждение 3. Если u0 2 L2(0; L) , то задача (12), (2), (3) имеет обобщенное решение в X0(QT ) для любого T > 0 . Далее мы устремим h ! 0 в (12) и перейдјм к первоначальной задаче (1)-(3), для успешной реализации задуманного нам потребуется оценка на производную функции uh , такая оценка окажется следствием следующего утверждения. Утверждение 4. Если u0 2 L2(0; L) , f 2 L1(0; T; L2(0; L)) для некоторого T > 0 и u 2 X0(QT ) является обобщенным решением задачи (16), (2), (3), то для любого t 2 (0; T] справедливо следующее равенство ZL 0 (1 + x)u2(t; x)dx + 3 Zt 0 ZL 0 u2 x(; x)dxd + Zt 0 2( )d = ZL 0 (1 + x)u20 (x)dx+ + a Zt 0 ZL 0 u2(; x)dxd + 2 Zt 0 ZL 0 (1 + x)f(; x)u(; x)dxd; (25) где из утверждения 21. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала, как при доказательстве утверждения 2, получим равенство (25) в гладком случае после домножения уравнения (16) на 2(1 + x)u и интегрирования по области Qt . Простыми преобразованиями получим jjuxjjL2(Qt) C(jju0jjL2(0;L) + jjfjjL1(0;T ;L2(0;L)) 8t 2 (0; T): На основании данного неравенства и рассуждениями, аналогичными доказательству утверждения 2, совершим предельный переход в (25) в гладком случае и получим (25) в общем случае. Следствие 2. Пусть u0 2 L2(0; L) , тогда для обобщенного решения u 2 X0(QT ) задачи (12), (2), (3) справедливо неравенство jjuxjjL2(QT ) C(a; L; T; jju0jjL2(QT )): (26) Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (19) следует, что gh(u)ux 2 L1(0; T; L2(0; L)) . Обо- значим jju0jjL2(0;L) = C1 . В следующей оценке воспользуемся (24), (25), (15), получим 3 ZT 0 ZL 0 u2 xdxdt ZL 0 (1 + x)u20 dx + a ZT 0 ZL 0 u2dxdt 2 ZT 0 ZL 0 (1 + x)g(u)uuxdxdt ZL 0 (1 + x)u20 dx + a ZT 0 ZL 0 u2dxdt + 2 ZT 0 ZL 0 Zu 0 g()d dxdt (1 + L)C2 1 + jajC2 1T+ УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА 107 +C2 ZT 0 ZL 0 (u4+u2)dxdt (1+L)C2 1 +jajC2 1T +C2C2 1 ZT 0 ZL 0 u2dx 1 2 ZL 0 u2 xdx 1 2 dt+T (1 + L)C2 1 + jajC2 1T + C2C2 1 C2C2 1 4 ZT 0 ZL 0 u2dxdt + 2 C2C2 1 ZT 0 ZL 0 u2 xdxdt + T (1 + L)C2 1 + jajC2 1T + C2 2C6 1 4 T + 2 ZT 0 ZL 0 u2 xdxdt + C2C2 1T; тогда справедливо (26). Докажем теорему 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из утверждения 3 следует, что для любого h > 0 существует решение uh 2 X0(QT ) задачи (12), (2), (3). Искомое решение задачи (1), (2), (3) будем строить как предел решений. Из (26) следует, равномерная оценка по h jjuhjjL2(0;T ;H1(0;L)) C; из которой получаем, что равномерно по h выполнено jjuhxxxjjL2(0;T ;H 2(0;L)) C: Пусть gh(uh)uhx = (gh (uh))x: Имеем jjgh(uh)uhxjjL2(0;T ;H 2(0;L)) jjg h(uh)jjL2(0;T ;H 1(0;L)) jjg h(uh)jjL2(0;T ;L1(0;L)) ZT 0 ZL 0 Zjuhj 0 jgh()jddx 2 dt 1 2 C ZT 0 ZL 0 juhj3 + juhjdx 2 dt 1 2 C ZT 0 sup x2(0;L) u2 h ( ZL 0 u2 hdx)2 + L2 dt 1 2 CT 1 2 (jjuhjj2 X0(QT ) + L2)jjuhjjX0(QT ) C: Из написанных оценок и равенства (12) следует, что jjuhtjjL2(0;T ;H 2(0;L)) C; (27) Из ранее полученных оценок (24), (26), (27) и в силу того, что L1(0; T; L2(0; L)) = (L1(0; T; L2(0; L))) , получаем, что можем выделить такую подпоследовательность uhn , что uhn ! u *-слабо в L1(0; T; L2(0; L)); uhnx ! ux слабо в L2(QT ); uhn ! u сильно в L2(QT ). 108 А.А. Николаев Перейдем к пределу в нелинейном члене интегрального тождества (8) при h = hn : ZT 0 ZL 0 (g h(uh) g(u))xdxdt ZT 0 ZL 0 j(g h(u) g(u))xjdxdt+ + ZT 0 ZL 0 j(g h(uh) g h(u))xjdxdt (28) Ниже используется то, что x лежит в пространстве C([0; T]; L2(0; L)) , это следует из того, что 2 L2(0; T;H3(0; L)) и t 2 L2(0; T; L2(0; L)): Сходимость второго слагаемого в правой части неравенства (28) следует из неравенств ZT 0 ZL 0 j(g h(uh) g h(u))xjdxdt C ZT 0 ZL 0 (u2 h + u2 + 1)juh ujjxjdxdt Cjjuh ujjL2(QT ) ZT 0 ZL 0 (u2 h + u2 + 1)22 xdxdt 1 2 C1jjuh ujjL2(QT )jjxjjC([0;T ];L2(0;L)) ZT 0 sup x2(0;L) u4dt + ZT 0 sup x2(0;L) u4 hdt + ZT 0 dt 1 2 C2jjuh ujjL2(QT )jjxjjC([0;T ];L2(0;L)) ZT 0 ZL 0 u2dx ZL 0 u2 xdxdt+ ZT 0 ZL 0 u2 hdx ZL 0 u2 hxdxdt+T 1 2 C2jjuh ujjL2(QT )jjxjjC([0;T ];L2(0;L)) jjujj2 C([0;T ];L2(0;L))jjujj2 L2(0;T ;H1(0;L))+ + jjuhjj2 C([0;T ];L2(0;L))jjuhjj2 L2(0;T ;H1(0;L)) + T 1 2 C2jjuh ujjL2(QT )jjxjjC([0;T ];L2(0;L)) jjujj4 X0(QT ) + jjuhjj4 X0(QT ) + T) 1 2 ! 0: (29) Первое слагаемое в правой части неравенства (28) стремится к нулю по теореме Лебега, так как gh() ! g() поточечно при любом , Zjuj 0 gh() g() d C(juj3 + juj); и справедливо неравенство ZT 0 ZL 0 (juj3 + juj)jxjdxdt C1jjxjjC([0;T ];L2(0;L))jjujjL2(QT )jjujj2 X0(QT ) < +1; УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА 109 которое получается, аналогично оценке (29). Таким образом, получаем, что u 2 L1(0; T; L2(0; L)) \ L2(0; T;H1(0; L)) и удовле- творяет интегральному тождеству (8). Докажем, что u 2 X0(QT ) . Для этого рас- смотрим линейную задачу (16), (2), (3), где f = g(u)ux . Покажем, что g(u)ux 2 L1(0; T; L2(0; L)) jjg(u)uxjjL1(0;T ;L2(0;L)) C ZT 0 ZL 0 (u4 + 1)u2 xdx 1 2 dt C ZT 0 sup x2(0;L) u2 ZL 0 u2 xdx 1 2 dt + T 1 2 ZT 0 ZL 0 u2 xdxdt 1 2 C ZT 0 ZL 0 u2dx 1 2 ZL 0 u2 xdx dt + T 1 2 ZT 0 ZL 0 u2 xdxdt 1 2 C jjujjL1(0;T ;L2(0;L)) + jjuxjjL2(QT ) jjuxjj2 L2(QT ) + T 1 2 < 1: Тогда из [6, Theorem 6.4] следует, что такая линейная задача будет иметь единствен- ное решение в пространстве L1(0; T; L2(0; L)) \ L2(0; T;H1(0; L)) . Из [4, Lemma 4.3] получим, что рассмотренная линейная задача будет иметь решение в X0(QT ) . Докажем теорему 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим решение задачи (1)-(3), которая совпадает с за- дачей (16), (2), (3), в случае f = g(u)ux . Тогда можем воспользоваться (25) и получим ZL 0 (1 + x)u2(t; x)dx + 3 Zt 0 ZL 0 u2 x(; x)dxd + Zt 0 2( )d = ZL 0 (1 + x)u20 (x)dx+ + a Zt 0 ZL 0 u2(; x)dxd 2 Zt 0 ZL 0 (1 + x)g(u)uuxdxdt: Очевидно, что все члены этого равенства абсолютно непрерывны по t . Из того, что ZL 0 (1 + x)g(u)uuxdx = ZL 0 Zu 0 g()ddx получим, что справедлива оценка для п. в. t d dt ZL 0 (1 + x)u2(t; x)dx + 3 ZL 0 u2 xdx a0 ZL 0 (1 + x)u2(t; x)dx + 2 ZL 0 Zu 0 g()ddx a0 ZL 0 (1 + x)u2(t; x)dx + 2C ZL 0 u4 4 + u2 2 dx: (30) 110 А.А. Николаев Преобразуем (30), воспользовавшись следующим неравенством из [8]: jjujjL1(0;L) p L 2 jjuxjjL2(0;L): Получим d dt ZL 0 (1+x)u2(t; x)dx + ZL 0 (3 A+A CL2 4 CL 8 jju(t; )jj2 L2(0;L))u2 xdx a0 ZL 0 (1+x)u2(t; x)dx: Из условия (9) и соотношения (24) получим d dt ZL 0 (1 + x)u2(t; x)dx + ZL 0 (3 A)u2 xdx a0 ZL 0 (1 + x)u2(t; x)dx: Воспользуемся неравенством Стеклова jjujjL2(0;L) L jjuxjjL2(0;L); получим d dt ZL 0 (1 + x)u2(t; x)dx (3 A)2 L2(1 + L) + a0 ZL 0 (1 + x)u2dx: Далее, из условия (10) очевидными рассуждениями получаем (11).