О дифференциально-операторных уравнениях в частных производных в локально выпуклых пространствах

Аннотация

Рассматривается дифференциально-операторное уравнение первого порядка в частных производных относительно векторнозначной аналитической вектор-функции двух переменных со значениями в локально-выпуклом пространстве. Актуальность исследования обусловливается сложностью, а порой и невозможностью перенесения существующих методов исследования дифференциально-операторных уравнений в частных производных с нормированных пространств на локально выпуклые пространства. В работе сформулирована и доказана теорема о существовании и единственности решения дифференциально-операторного уравнения первого порядка в частных производных. В этом утверждении существенно используются предложенные и исследованные В.П. Громовым понятия порядка и типа оператора. На основе полученных результатов получены решения двух конкретных дифференциально-операторных уравнений.

Полный текст

Введение Теория дифференциально-операторных уравнений в ненормированных, в частности, в локально выпуклых пространствах является значительно менее развитой, чем в бана- ховых. Отчасти тому причина отсутствие в таких пространствах стандартных (как, например, в теории полугрупп) пријмов исследования уравнений или их систем доста- точно сложной структуры. Объясняется это проблематичностью, а порой и невыполни- мостью непосредственного перенесения уже существующих методов с нормированных пространств на ненормированные. Известные сейчас результаты в ненормированных пространствах относятся, преимущественно, к уравнениям первого порядка в классе вектор-функций действительного аргумента (см. работы В.М. Миллионщикова [1], [2], К. Иосиды [3], А.Н. Годунова [4], Я.В. Радыно [5], [6], С.Г. Лобанова [7], С.А. Шка- рина [8]). В комплексном же случае такие задачи стали рассматриваться лишь в по- следние 20 лет в работах В.П. Громова [9]-[12], С.Н. Мишина [13], [14], В.П. Громова, С.Н. Мишина, С.В. Панюшкина [15]. Ими разработаны методы исследования задачи Коши в локально выпуклых пространствах над полем комплексных чисел для одного дифференциально-операторного уравнения, опирающиеся на понятия порядка и типа линейного оператора, а также порядка и типа фиксированного вектора относительно линейного оператора. При этом пространство подбирается (с большой свободой выбора) в соответствии с изучаемой задачей. Ранее теория порядка и типа оператора была положена в основу решения ряда задач современного функционального анализа. К их числу, в частности, относятся: задача о представлении функций комплексных переменных рядами по собственным функциям линейного оператора [16]; задача о разложении векторов локально выпуклого простран- ства в обобщЁенный ряд Тейлора [17]; задача о полноте систем значений голоморфных вектор-функций [16], [18], [19]; изучение характеристик роста целых векторнозначных 92 Л. Ф. Логачева функций [20], [9]; исследование подпространств локально выпуклого пространства, ин- вариантных относительно оператора конечных порядка и типа [21]; исследование реше- ний операторных уравнений [9], [15] и др. Начала этой теории были заложены В.П. Гро- мовым в работе [16] и получили дальнейшее обобщение в работах С.Н. Мишина [22]-[24]. Основные результаты, относящиеся к общей теории порядка и типа оператора, приве- дены в монографии [15]. Методы исследования дифференциально-операторных уравнений в частных произ- водных в локально выпуклых пространствах разработаны не были, что и обусловливает актуальность настоящей работы. 1. Теорема существования решения Пусть H полное локально выпуклое пространство над полем комплексных чи- сел, топология которого задајтся системой полунорм fjj:jjpg (банахово пространство не исключается) и пусть A линейный непрерывный оператор, действующий в H . Обо- значим D1(A) = T k0 D(Ak) , где D(Ak) область определения оператора Ak , k 2 Z, k > 0 . Всюду в дальнейшем предполагается, что множество D1(A) не пусто. Рассмотрим уравнение A @u @t @u @ = 0; (1.1) где u(t; ) (векторнозначная) функция со значениями в H двух комплексных пере- менных t и , аналитическая по совокупности переменных. Ставится задача: описать условия существования и единственности и найти решение u(t; ) уравнения (1.1), удовлетворяющее следующему начальному условию: u(t; )j=0 = g(t); (1.2) где g(t) векторнозначная аналитическая функция комплексного переменного t , и частные производные вектор-функции u(t; ) понимаются в сильном смысле, т. е. по топологии пространства H . При этом значения производных всех порядков функции g(t) принадлежат множеству D1(A) . Пусть оператор A имеет порядок и тип . Эти характеристики были введены в 1986 году В.П. Громовым [16], [17] для оператора, действующего в отделимом локально выпуклом пространстве. Пусть An последовательность степеней оператора A, An : H ! H . Из непрерывности оператора An в локально выпуклом пространстве вытекает его ограниченность: 8n 8p 9Cp(n) 9q(p; n) : kAn(x)kp 6 Cp k x kq 8x 2 H: Скажем, что последовательность fAng имеет порядок, если найдјтся последова- тельность положительных чисел fcng , такая, что будет справедливо неравенство 8p 9Cp 9q(p) : kcnAn(x)kp 6 Cp k x kq 8x 2 H 8n; О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 93 т. е., семейство операторов fcnAng будет равностепенно непрерывным (см. [25]). Среди последовательностей операторов, имеющих порядок, уделим внимание тем, для кото- рых можно взять cn = nan; a 2 R (они встречаются в приложениях наиболее часто). Пусть (p; q; n) = sup kxkq6=0 k An(x) kp k x kq ; n = 0; 1; 2; ::: (случай (p; q; n) = +1 не исключается). Положим по определению p;q(A) = lim n!1 ln (p; q; n) n ln n : О п р е д е л е н и е 1.1. Число p(A) = inf q2Q p;q(A); p 2 P называется p -порядком последовательности операторов An , а число (A) = sup p2P fp(A)g еј порядком. Если последовательность операторов An имеет p -порядок p(A) 6= 1, то для неј вводится более тонкая характеристика. Положим p;q(A) = lim n!1 n p(A) n p (p; q; n): О п р е д е л е н и е 1.2. Число p(A) = inf q2Q p;q(A); p 2 P называется p -типом последовательности операторов An при p -порядке p(A) , а число (A) = ( sup p2P fp(A)g; 9p p(A) = (A); 0; 8p p(A) < (A) - еј типом при порядке (A) . Отметим, что p -порядок последовательности A может быть любым, а p -тип только неотрицательным. Теорема 1.1. При 0 для любой целой функции g(t) задача (1.1) и (1.2) име- ет единственное решение. Оно является аналитической вектор-функцией u(t; ) со значениями в H и представляется в виде абсолютно сходящегося ряда: u(t; ) = g(t A) = X1 n=0 An(g(n)(t)) n! n: (1.3) Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция g(t) целая, то для любого t 2 C jjg(n)(t)jjp n! < C n; 8 > 0: Применяя неравенство (1.8) из монографии [15]: jjAn(x)jjp < Cp(+")n nnjjxjjq; где x 2 H , Cp > 0 , " > 0 , p и q индексы полунорм, оценим общий член ряда по произвольной полунорме p . An(g(n)(t)) n! n p ( + ")n nn jjg(n)(t)jjp jjn n! < ( + ")n nn C n jjn: 94 Л. Ф. Логачева При 0 ряд абсолютно сходится для любого t и представляет собой целую функцию переменных t и . Подставляя в (1.3) = 0 видим, что условие (1.2) выполняется. Проверим, что функция u(t; ) является решением уравнения (1.1). A @ @t X1 n=0 An(g(n)(t)) n! n ! = X1 n=0 An+1(g(n+1)(t)) n! n; @u @ = @ @ X1 n=0 An(g(n)(t)) n! n ! = X1 n=1 An(g(n)(t)) (n 1)! n 1 = X1 k=0 Ak+1(g(k+1)(t)) k! k: Таким образом, функция u(t; ) является целой функцией двух комплексных пере- менных t и и представляет собой решение уравнения (1.1) при условии (1.2). Докажем, что решение (1.3) задачи (1.1), (1.2) единственно. Действительно, предпо- ложим, что существуют два различных решения задачи (1.1), (1.2): u1(t; ) и u2(t; ) . Рассмотрим разность (t; ) = u1(t; ) u2(t; ) . Подставляя (t; ) в задачу (1.1), (1.2), получаем, что (t; ) удовлетворяет уравнению (1.1), причјм (t; )j=0 = 0 . Докажем, что (t; ) 0 . Так как (t; ) целая функция переменных t и , то она разлагается в двойной ряд Тейлора: (t; ) = X1 i;j=0 ci;jtij ; ci;j 2 H: Подставив это разложение в уравнение (1.1) и приравняв коэффициенты при соот- ветствующих степенях, получаем: (j + 1)ci;j+1 = (i + 1)Aci+1;j : Из этого равенства, а также из того факта, что ci;0 = 0 (в силу (t; )j=0 = 0) вытекает, что ci;j = 0 для любых i и j . Значит, (t; ) 0 . Следовательно, решение задачи (1.1), (1.2) единственно. 2. Приложения к конкретным уравнения П р и м е р 2.1. Пусть H = H(C) пространство всех целых функций с тополо- гией равномерной сходимости на компактах: kFkp = max jzjp jF(z)j; p = 1; 2; :::; F(z) 2 H(C); и пусть A(F) = Rz 0 F(t) dt . Известно (см. [15]), что (A) = 1 . Найдјм решение урав- нения (1.1) при условии (1.2), где g(t) = sin tz . Согласно теореме (1.1), решение представляется в виде: u(t; ) = X1 n=0 An(g(n)(t)) n! n = X1 n=0 ( 1)nA2n(sin tz) (2n)! 2n + X1 n=0 ( 1)nA2n+1(cos tz) (2n + 1)! 2n+1 = О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 95 = X1 n=0 ( 1)n (2n)! 1 (2n 1)! Zz 0 (z y)2n 1 sin ty dy 2n+ + X1 n=0 ( 1)n (2n 1)! 1 (2n)! Zz 0 (z y)2n cos ty dy 2n+1 = = Zz 0 sin ty X1 n=0 ( 1)n (z y)2n 1 2n (2n)!(2n 1)! ! dy + Zz 0 cos ty X1 n=0 ( 1)n (z y)2n (2n 1)!(2n)! 2n+1 ! dy = = 1 2 Zz 0 sin ty ( (J0 02i(z y)) J0 0 ( 2i(z y))) dy + + 2 2 Zz 0 cos ty (z y) (J0 0 (2i(z y)) J0 0 ( 2i(z y))) dy; где J00 производная функции Бесселя. П р и м е р 2.2. Пусть s пространство всех числовых последовательностей x = (x1; x2; : : :) с топологией покоординатной сходимости, задаваемой мультинормой kxkp = max kp jxkj . И пусть A : S ! S оператор сдвига вправо: A(x1; x2; : : :) = (0; x1; x2; : : :) . Известно (см. [15]), что (A) = 1. Найдјм решение уравнения (1.1) при условии (1.2), где g(t) = (eat; eat; eat; : : :) , a 2 C. Согласно теореме (1.1), решение представляется в виде: u(t; ) = X1 n=0 An(g(n)(t)) n! n = X1 n=0 1 n! (|0; :{:z: ; 0} n раз ; an eat; : : :)n = = eat; eat(1 + a); eat 1 + a + a22 2 ; : : : ; eat Xn i=0 ann n! ; : : : ! : Отметим, что полученная векторнозначная функция u(t; ) со значениями в s яв- ляется целой по совокупности переменных t и .