On exact solution of a hyperbolic system of differential equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The paper considers a hyperbolic system of two first-order partial differential equations with constant coefficients, one of which is nonlinear and contains the square of one of the unknown functions. Moreover, each equation contains two unknown functions which in turn depend on two variables. Exact solutions are found for this system: a traveling wave solution and a self-similar solution. There is also defined the type of initial-boundary conditions which allow to use the constructed general solutions in order to write out a solution of the initial-boundary value problem for the system of differential equations under consideration.

About the authors

Elena Yu. Grazhdantseva

Irkutsk State University; Melentiev Energy Systems Institute Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: grelyur@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9541-5679

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Mathematical Analysis and Differential Equations Department; Junior Researcher of Applied Mathematics Department

Russian Federation, 1 Karla Marksa St., Irkutsk 664003, Russian Federation; 130 Lermontov St., Irkutsk 664033, Russian Federation

References

  1. Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике, Наука, М., 1978. [B.L. Rozhdestvensky, N.N. Yanenko, Systems of Quasilinear Equations and their Applications in Gas Dynamics, Nauka Publ., Moscow, 1978 (In Russian)].
  2. А.Л. Казаков, П.А. Кузнецов, Л.Ф. Спевак, “О решениях типа бегущей волны для нелинейного уравнения теплопроводности”, Дифференциальные уравнения и оптимальное управление, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 196, ВИНИТИ РАН, М., 2021, 36–43. [A.L. Kazakov, P.A. Kuznetsov, L.F. Spevak, “On solutions of the traveling wave type for the nonlinear heat equation”, Differential Equations and Optimal Control, Itogi Nauki I Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 196, VINITI, Moscow, 2021, 36–43 (In Russian)].
  3. В.Р. Тагирова, “Решение задачи гидроразрыва в виде бегущей волны”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2009, №4, 46–48. [V.R. Tagirova, “A solution to the hydraulic fracture problem in the traveling wave form”, Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., 2009, № 4, 46–48 (In Russian)].
  4. А.Д. Полянин, “Неклассические (неинвариантные) решения типа бегущей волны и автомодельные решения”, Доклады академии наук, 398:1 (2004), 33–37; англ. пер.: A.D. Polyanin, “Nonclassical (noninvariant) traveling-wave solutions and self-similar solutions”, Doklady Mathematics, 70:2 (2004), 790–793.
  5. С.В. Пикулин, “О решениях типа бегущей волны уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 58:2 (2018), 244–252; англ. пер.: S.V. Pikulin, “Traveling-wave solutions of the Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation”, Comput. Math. Math. Phys., 58:2 (2018), 230–237.
  6. Х.С. Кучакшоев, “Ограниченные решения типа бегущей волны и некоторые частные решения системы Келлера–Сиджела”, Доклады академии наук республики Таджикистан, 54:8 (2011), 610–617. [Kh.S. Kuchakshoev, “Bounded solutions of the traveling wave type and some particular solutions of the Keller–Siegel system”, Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, 54:8 (2011), 610–617 (In Russian)].
  7. Е.А. Будылина, Е.Г. Мурачев, И.А. Гарькина, А.М. Данилов, “Решения уравнения Клейна-Гордона типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности”, Фундаментальные исследования, 2014, №5-5, 1000–1005. [E.A. Budylina, E.G. Murachev, I.A. Garkina, A.M. Danilov, “Solutions of the Klein-Gordon equation of traveling wave type, which smoothed at infinity”, Fundamental Research, 2014, №5-5, 1000–1005 (In Russian)].
  8. П.А. Вельмисов, Ю.А. Казакова, “О решениях типа «бегущая волна» дифференциальных уравнений с частными производными”, Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании, 2011, №2, 102–108. [P.A. Velmisov, Yu.A. Kazakova, “On solutions of “travelling wave” type of partial differential equations”, Mathematical Methods and Models: Theory, Applications and Role in Education, 2011, №2, 102–108 (In Russian)].
  9. Т.Д. Джураев, Ю.П. Апаков, “Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2(15) (2007), 18–26. [T.D. Dzhuraev, Yu.P. Apakov, “On self-similar solution of an equation of the third order with multiple characteristics”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2(15) (2007), 18–26 (In Russian)].
  10. Б.Т. Мекенбаев, Ч.Т. Дуйшеналиев, “Автомодельное решение динамики гравитационных потоков в наклонных каналах”, Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии, 2016, №3(35), 59–71. [B.T. Mekenbaev, Ch.T. Duishenaliev, “Self-similar solutions of gravitational flows dynamics in inclined channels”, Caspian Journal: Control and High Technologies, 2016, №3(35), 59–71 (In Russian)].
  11. Э.В. Теодорович, “Автомодельное решение плоской задачи об эволюции трещины гидроразрыва в упругой среде”, Прикладная математика и механика, 74:2 (2010), 252–261; англ. пер.: E.V. Teodorovich, “Self-similar solution of the plane problem of the evolution of a hydraulic fracture crack in an elastic medium”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 74:2 (2010),
  12. А.В. Шмидт, “Автомодельное решение задачи о турбулентном течении круглой затопленной струи”, Прикладная механика и техническая физика, 56:3(331) (2015), 82–88; англ. пер.: A.V. Shmidt, “Self-similar solution of the problem of a turbulent flow in a round submerged jet”, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 56:3 (2015), 414–419.
  13. Б.В. Алексеев, И.В. Овчинникова, “Автомодельные решения гидродинамических уравнений нелокальной физики”, Вестник МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 9:6 (2014), 47–54. [B.V. Alekseev, I.V. Ovchinnikova, “Self-similar solutions of hydrodynamic equations of nonlocal physics”, Bulletin of the M.V. Lomonosov MITHT, 9:6 (2014), 47–54 (In Russian)].
  14. А.В. Аргучинцев, “Решение задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболической системы на основе точных формул приращения”, Известия высших учебных заведений. Математика, 2002, №12, 23–29; англ. пер.: A.V. Arguchintsev, “Solution of the problem of the optimal control of initial-boundary conditions of a hyperbolic system based on exact increment formulas”, Russian Math. (Iz. VUZ), 46:12 (2002), 21–27.
  15. А.В. Соловьев, А.В. Данилин, “Использование схемы Диез повышенного порядка точности для решения некоторых нелинейных гиперболических систем уравнений”, Вычислительные методы и программирование, 20:1 (2019), 45–53. [A.V. Solov’ev, A.V. Danilin, “Using the Sharp scheme of higher-order accuracy for solving some nonlinear hyperbolic systems of equations”, Num. Meth. Prog., 20:1 (2019), 45–53 (In Russian)].
  16. Ю.О. Яковлева, А.В. Тарасенко, “Решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка методом Римана”, Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 25:3 (2019), 33–38. [J.O. Yakovleva, A.V. Tarasenko, “The solution of Cauchy problem for the hyperbolic differential equations of the fourth order by the Riman method”, Vestnik SamU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 25:3 (2019), 33–38 (In Russian)].
  17. Р.Ю. Новиков, “Численное решение уравнений гиперболического типа”, Двойные технологии, 2011, №3(56), 48–51. [R.Yu. Novikov, “Numerical solution of equations of hyperbolic type”, Double Technologies, 2011, №3(56), 48–51 (In Russian)].
  18. О.П. Комурджишвили, “Разностные схемы для решения многомерных уравнений и систем уравнений гиперболического типа”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 47:6 (2007), 980–987; англ. пер.: O.P. Komurdzhishvili, “Finite-difference schemes for solving multidimensional hyperbolic equations and their systems”, Comput. Math. Math. Phys., 47:6 (2007), 936–942.
  19. Г.А. Абдикаликова, А.Х. Жумагазиев, “Построение многопериодического решения одной задачи для нелинейной гиперболической системы уравнений”, Sciences of Europe, 12:12 (2007), 15–19. [G.A. Abdikalikova, A.H. Zhumagaziyev, “Construction of the multiperiodical solution of one problem for a nonlinear of hyperbolic system equations”, Sciences of Europe, 12:12 (2007), 15–19 (In Russian)].
  20. В.В. Тарасевич, Развитие теории и методов расчета гидродинамических процессов в напорных трубопроводных системах, автореф. дис. ... д-ра. техн. наук, Новосибирск, 2017, 38 с. [V.V. Tarasevich, Development of the theory and methods for calculating hydrodynamic processes in pressure pipeline systems, Abstr. Diss. ... Doc. Tech. Sciences, Novosibirsk, 2017 (In Russian), 38 pp.]
  21. А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев, А.Ю. Журов, Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики, ФИЗМАТЛИТ, М., 2005. [A.D. Polyanin, V.F. Zaitsev, A.Yu. Zhurov, Methods for Solving Nonlinear Equations of Mathematical Physics and Mechanics, FIZMATLIT Publ., Moscow, 2005 (In Russian)].
  22. Е.Ю. Гражданцева, С.В. Солодуша, “Об одном аналитическом решении нелинейного дифференциального уравнения в частных производных”, Нелинейный анализ и экстремальные задачи, Материалы 7-й Международной конференции по нелинейному анализу и экстремальным задачам (НЛА-2022) (Иркутск, 15–22 июля 2022 г.), ред. А. А. Толстоногов, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск, 2022, 42–43. [E.Yu. Grazhdantseva, S.V. Solodusha, “On an analytical solution of a nonlinear partial differential equation”, Nonlinear Analysis and Extremal Problems, Proceedings of the 7th International Conference on Nonlinear Analysis and Extremal Problems (NLA-2022) (Irkutsk, July 15–22, 2022), ed. A.A. Tolstonogov, ISDCT SB RAS, Irkutsk, 2022, 42–43 (In Russian)].

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».