On adjoint operators for fractional differentiation operators

Full Text

\\section*{Введение} Теория дифференциальных уравнений дробного порядка берет свое начало от идей Г.\\,В.~Лейбница и Л.~Эйлера, но лишь к концу ХХ века внимание к этой тематике значительно усилилось, благодаря интересным приложениям в различных разделах прикладной математики, физики, инженерии, биологии, экономики и др. (см. монографии \\cite{pg1,pg2}, статьи \\cite{pg3,pg4}). На данный момент разработаны различные подходы к разрешимости дифференциальных уравнений и включений дробного порядка $\\alpha\\in (0,1).$ Например, в работах \\cite{pg5,pg6} для указанного дробного порядка были разрешены задачи типа Коши для дифференциальных уравнений. Статьи \\cite{pg7,pg8} посвящены исследованию траекторий дифференциальных включений дробного порядка $\\alpha\\in (0,1),$ подчиняющихся обобщенным краевым условиям, выраженным в форме операторных включений. В работах \\cite{pg9,pg10} авторы приводят доказательства разрешимости периодических краевых задач для дифференциальных включений того же порядка. Аппроксимации решений дифференциальных уравнений и включений дробного порядка $\\alpha\\in (0,1),$ были изучены в статьях \\cite{pg11,pg12}. В последние годы активно исследуются дифференциальные уравнения и включения дробного порядка $\\alpha>1.$ Естественно, основным аппаратом для исследования таких задач является классический функциональный анализ. Например, Ph.~Clement, S.-O.~Londen и P.~Egberts в работах \\cite{pg13,pg14} используют для разрешимости полулинейных дифференциальных уравнений дробного порядка теорию сопряженных операторов в гильбертовом пространстве. При этом авторы в данных статьях не выписывают в явном виде сопряженный оператор для оператора дробного дифференцирования, а лишь предполагают его существование в каком-то неизвестном виде. В настоящей работе мы покажем, что для оператора левостороннего дробного дифференцирования Капуто, сопряженным является оператор правостороннего дробного дифференцирования Капуто. Более того, оператор, представимый в виде суммы операторов левостороннего и правостороннего дробного дифференцирования Капуто, является самосопряженным. Аналогичные результаты справедливы и для операторов дробного дифференцирования Римана--Лиувилля. % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Понятия и факты из дробного математического анализа} Вначале введем необходимые понятия и обозначения из дробного математического анализа (более подробные сведения можно найти в монографиях \\cite{pg1,pg2}). Пусть $AC[a,b]$ --- пространство всех вещественных абсолютно непрерывных функций на отрезке $[a,b].$ Для натурального числа $n$ обозначим через $AC^{n}[a,b]$ пространство всех вещественных функций $f$ на отрезке $[a,b],$ имеющих непрерывные производные до $n-1$ порядка и таких, что $f^{(n-1)}\\in AC[a,b],$ при $n=1,$ $AC^{1}[a,b]=AC[a,b].$ Классически будем считать $C^{n}[a,b]$ пространством всех вещественных $n$ раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке $[a,b],$ а пространство суммируемых с $p$-й степенью функций на отрезке $[a,b]$ обозначается через $L^{p}[a,b], 1 \\leq p < \\infty.$ \\begin{Definition} \\label{de:p: 0} Левосторонним дробным интегралом порядка $\\alpha\\geq 0$ фун\\-кции $f\\in L^{1}[a,b]$ называется фун\\-кция $I^{\\alpha}_{a+}f$ следующего вида:\\vspace{-1ex} $$I^\\alpha_{a+} f(t) = \\frac{1}{\\Gamma(\\alpha)}\\int^{t}_{a}(t-s)^{\\alpha-1}f(s)\\,ds,\\vspace{-1ex}$$ где $\\Gamma$ --- гамма-функция Эйлера\\vspace{-1ex} $$\\Gamma(\\alpha) = \\int^{\\infty}_{0}x^{\\alpha-1} e^{-x}dx.\\vspace{-1ex}$$ \\end{Definition} \\begin{Definition} Правосторонним дробным интегралом порядка $\\alpha\\geq 0$ функции $f\\in L^{1}[a,b]$ называется функция $I^{\\alpha}_{b-}f$ следующего вида:\\vspace{-1ex} $$I^\\alpha_{b-}f(t) = \\frac{1}{\\Gamma(\\alpha)}\\int^{b}_{t}(s-t)^{\\alpha-1}f(s)\\,ds.$$ \\end{Definition} \\begin{Definition} \\label{de:p: 1} Левосторонней дробной производной Римана--Лиувилля порядка $\\alpha\\geq 0$ функции $f\\in AC^{n}[a,b]$ называется функция $ ^{RL}D^{\\alpha}_{a+}f$ следующего вида: $$ ^{RL}D^{\\alpha}_{a+}f(t) =\\left(\\frac{d}{dt}\\right)^{n}I^{n-\\alpha}_{a+}f(t)= \\frac{1}{\\Gamma(n-\\alpha)}\\,\\,\\Big(\\frac{d}{dt}\\Big)^{n}\\int^{t}_{a}(t-s)^{n-\\alpha-1}f(s)\\,ds, \\quad n=[\\alpha]+1. $$ \\end{Definition} \\begin{Definition} Правосторонней дробной производной Римана--Лиувилля порядка $\\alpha\\geq 0$ функции $f\\in AC^{n}[a,b]$ называется функция $ ^{RL}D^{\\alpha}_{b-}f$ следующего вида:\\vspace{-1ex} $$ ^{RL}D^{\\alpha}_{b-}f(t) =\\left(-\\frac{d}{dt}\\right)^{n}I^{n-\\alpha}_{b-}f(t)= \\frac{1}{\\Gamma(n-\\alpha)}\\,\\,\\Big(-\\frac{d}{dt}\\Big)^{n}\\int^{b}_{t}(s-t)^{n-\\alpha-1}f(s)\\,ds, \\quad n=[\\alpha]+1. $$ \\end{Definition} \\begin{Definition} \\label{de:p: 1cap} Левосторонней дробной производной Капуто порядка \\linebreak $\\alpha\\geq 0$ функции $f\\in C^{n}[a,b]$ называется функция $ ^CD^{\\alpha}_{a+}f$ следующего вида:\\vspace{-1ex} $$ ^CD^{\\alpha}_{a+}f(t) = \\frac{1}{\\Gamma(n-\\alpha)}\\int^{t}_{a}(t-s)^{n-\\alpha-1}f^{(n)}(s)\\,ds, \\quad n=[\\alpha]+1.$$ \\end{Definition} \\begin{Definition} Правосторонней дробной производной Капуто порядка $\\alpha\\geq 0$ функции $f\\in C^{n}[a,b]$ называется функция $ ^CD^{\\alpha}_{b-}f$ следующего вида:\\vspace{-1ex} $$ ^CD^{\\alpha}_{b-}f(t) = \\frac{(-1)^{n}}{\\Gamma(n-\\alpha)}\\int^{b}_{t}(s-t)^{n-\\alpha-1}f^{(n)}(s)\\,ds, \\quad n=[\\alpha]+1.$$ \\end{Definition} Дробные производные Капуто порядка $\\alpha\\geq 0$ для функции $f$ на отрезке $[a,b]$ связаны с дробными производными Римана--Лиувилля того же порядка $\\alpha\\geq 0$ посредством следующих соотношений:\\vspace{-1ex} \\begin{equation} \\label{pg 7} ^CD^{\\alpha}_{a+}f(t) = \\Big(^{RL}D^{\\alpha}_{a+}(f(s) - \\sum^{n-1}_{k=0}\\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(s-a)^{k})\\Big)(t), \\end{equation}\\vspace{-1ex} \\begin{equation} \\label{pg 8} ^CD^{\\alpha}_{b-}f(t) = \\Big(^{RL}D^{\\alpha}_{b-}(f(s) - \\sum^{n-1}_{k=0}\\frac{f^{(k)}(b)}{k!}(b-s)^{k})\\Big)(t), \\end{equation} где $n=[\\alpha]+1.$ Отметим, что большим преимуществом дробной производной Капуто, по сравнению с дробной производной Римана--Лиувилля, является сохранение основных свойств производной целого порядка, например, равенство нулю производной от константы. В дробном исчислении немаловажную роль играют функции представимые в виде левостороннего (правостороннего) дробного интеграла от функции из $L^{p}[a,b],$ \\linebreak $1\\leq p\\leq \\infty.$ Классы таких функций обозначают соответственно $I^{\\alpha}_{a+}(L^{p})$ и $I^{\\alpha}_{b-}(L^{p}).$ Известно (см.\\cite{pg1}), что справедливы включения $I^{\\alpha}_{a+}(L^{p})\\subset L^{p}[a,b]$ и $I^{\\alpha}_{b-}(L^{p})\\subset L^{p}[a,b],$ более того при условии $\\alpha>\\frac{1}{p}$ функции из данных множеств являются непрерывными (гельдеровскими). Для функции $y\\in I^{\\alpha}_{a+}(L^{1})$ справедливо соотношение\\vspace{-1ex} $$ I^{\\alpha}_{a+}\\, ^{RL}D^{\\alpha}_{a+}y(t)=y(t), $$ соответственно для функции $y\\in I^{\\alpha}_{b-}(L^{1})$ справедливо соотношение\\vspace{-1ex} $$ I^{\\alpha}_{b-}\\, ^{RL}D^{\\alpha}_{b-}y(t)=y(t). $$ В тоже время (см. \\cite{pg2}), если $y\\in C^{n}[a,b],$ то выполняются равенства\\vspace{-1ex} \\begin{equation} \\label{pg 9} I^{\\alpha}_{a+}\\, ^{C}D^{\\alpha}_{a+}y(t)=y(t)-\\sum^{n-1}_{k=0}\\frac{y^{(k)}(a)}{k!}(t-a)^k, \\end{equation} \\begin{equation} \\label{pg 10} I^{\\alpha}_{b-}\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}y(t)=y(t)-\\sum^{n-1}_{k=0}\\frac{(-1)^{k}y^{(k)}(b)}{k!}(b-t)^k. \\end{equation} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Полученные результаты} Для определения явного вида сопряженного оператора для операторов дробного дифференцирования вначале докажем следующее утверждение о равенстве интегралов для дробных производных Капуто. \\begin{Theorem} \\label{pg th1} Пусть для $\\alpha> 0$ и $n=[\\alpha]+1$ выполняются следующие условия: \\begin{itemize} \\item[1)] функции $x,y\\in C^{n}[a,b];$ \\item[2)] $x^{(k)}(a)=0, k=0,1,2,...,n-1;\\, y^{(k)}(b)=0, k=0,1,2,...,n-1;$ \\item[3)] $^{C}D^{\\alpha}_{a+}x,\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}y\\in L^{1}[a,b],$ при $\\alpha\\geq 1;$ \\item[4)] $^{C}D^{\\alpha}_{a+}x,\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}y\\in L^{2}[a,b],$ при $0<\\alpha< 1.$ \\end{itemize} Тогда \\begin{equation} \\label{pg 16} \\int^{b}_{a}y(t)\\, ^{C}D^{\\alpha}_{a+}x(t)\\,dt=\\int^{b}_{a}x(t)\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}y(t)\\,dt. \\end{equation} \\end{Theorem} \\proof Воспользуемся следующим соотношением, которое называют формулой дробного интегрирования по частям (см. \\cite{pg1}): \\begin{equation} \\label{pg 11} \\int^{b}_{a}\\varphi(t)I^{\\alpha}_{a+}\\psi(t)\\,dt=\\int^{b}_{a}\\psi(t)I^{\\alpha}_{b-}\\varphi(t)\\,dt, \\end{equation} где $\\varphi\\in L^{p}[a,b],\\, \\psi\\in L^{q}[a,b],\\, \\frac{1}{p}+\\frac{1}{q}\\leq 1+\\alpha,\\, p\\geq 1, q\\geq 1.$ Очевидно, что при $\\alpha\\geq 1$ равенство \\eqref{pg 11} верно для всех функций $\\varphi, \\psi\\in L^{p}[a,b],$ $1\\leq p\\leq\\infty,$ а при $0<\\alpha<1,$ равенство \\eqref{pg 11} верно для функций $\\varphi, \\psi\\in L^{p}[a,b],$ $p\\geq 2 \\geq \\frac{2}{1+\\alpha}.$ Пусть $\\alpha\\geq 1.$ Для функций $x,y\\in C^{n}[a,b]$ определим $\\varphi=^{C}D^{\\alpha}_{b-}y$ и $\\psi=^{C}D^{\\alpha}_{a+}x.$ Для этих функций формула \\eqref{pg 11} принимает вид: \\begin{equation} \\label{pg 17} \\int^{b}_{a}\\,^{C}D^{\\alpha}_{b-}y(t) \\cdot I^{\\alpha}_{a+}\\, ^{C}D^{\\alpha}_{a+}x(t)\\,dt=\\int^{b}_{a}\\,^{C}D^{\\alpha}_{a+}x(t)\\cdot I^{\\alpha}_{b-}\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}y(t)\\,dt, \\end{equation} где $^{C}D^{\\alpha}_{a+}x,\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}y\\in L^{1}[a,b].$ В силу равенств \\eqref{pg 9}, \\eqref{pg 10}, а также условия 2) теоремы, мы получаем \\eqref{pg 16}. Очевидно, что таким же образом можно установить справедливость \\eqref{pg 16} для \\linebreak $0<\\alpha<1,$ считая $^{C}D^{\\alpha}_{a+}x,\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}y \\in L^{2}[a,b].$ %\\end{proof} Введем в рассмотрение множество $\\mathcal L\\subset L^{2}[a,b],$ $$\\mathcal L=\\left\\{x\\in C^{n}[a,b]\\,|\\, x^{(k)}(a)=x^{(k)}(b)=0,\\, k=0,1,2,...,n-1\\right\\},$$ для которого $\\overline{\\mathcal L}=L^{2}[a,b].$ Для функций $x\\in \\mathcal L,$ в силу равенств \\eqref{pg 9}, \\eqref{pg 10} мы имеем: $$ I^{\\alpha}_{a+}\\, ^{C}D^{\\alpha}_{a+}x(t)=x(t), $$ $$ I^{\\alpha}_{b-}\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}x(t)=x(t). $$ Отметим также, что для функций $x\\in \\mathcal L$ в силу соотношений \\eqref{pg 7}, \\eqref{pg 8}, мы имеем $$ ^{C}D^{\\alpha}_{a+}x=^{RL}D^{\\alpha}_{a+}x,\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}x=^{RL}D^{\\alpha}_{b-}x, $$ поэтому равенство \\eqref{pg 16} при наложенных в теореме \\ref{pg th1} условиях, справедливо и для дробных производных Римана--Лиувилля: \\begin{equation} \\label{pg 18} \\int^{b}_{a}y(t)\\, ^{RL}D^{\\alpha}_{a+}x(t)\\,dt=\\int^{b}_{a}x(t)\\, ^{RL}D^{\\alpha}_{b-}y(t)\\,dt. \\end{equation} Из равенства \\eqref{pg 16} следует, что на линейном многообразии $\\mathcal L$ операторы $^{C}D^{\\alpha}_{a+}$ и $^{C}D^{\\alpha}_{b-}$ являются сопряженным. Соответственно из \\eqref{pg 18} следует, что на линейном многообразии $\\mathcal L$ операторы $^{RL}D^{\\alpha}_{a+}$ и $^{RL}D^{\\alpha}_{b-}$ также являются сопряженными. Если же мы на $\\mathcal L$ будем рассматривать оператор $^{C}D^{\\alpha}_{a+} + ^{C}D^{\\alpha}_{b-},$ то легко можно показать, что он является самосопряженным: $$ \\int^{b}_{a}y(t)\\, (^{C}D^{\\alpha}_{a+}+^{C}D^{\\alpha}_{b-})x(t)\\,dt= \\int^{b}_{a}y(t)\\, ^{C}D^{\\alpha}_{a+}x(t)\\,dt+\\int^{b}_{a}y(t)\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}x(t)\\,dt= $$ $$ =\\int^{b}_{a}x(t)\\, ^{C}D^{\\alpha}_{b-}y(t)\\,dt+\\int^{b}_{a}x(t)\\, ^{C}D^{\\alpha}_{a+}y(t)\\,dt= \\int^{b}_{a}x(t)\\, (^{C}D^{\\alpha}_{a+}+^{C}D^{\\alpha}_{b-})y(t)\\,dt, $$ где $x,y\\in \\mathcal L.$ Очевидно, аналогично можно показать, что оператор $^{RL}D^{\\alpha}_{a+} + ^{RL}D^{\\alpha}_{b-}$ является самосопряженным на $\\mathcal L.$

About the authors

Garik G. Petrosyan

Voronezh State University of Engineering Technologies

Email: garikpetrosyan@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Leading Researcher of the Research Center 19, Revolutsii Prospect, Voronezh, 394036, Russian Federation

References

Supplementary files