Том 518, № 1 (2024)

Пусть гиперэллиптическая кривая $C$ рода $g$, определенная над алгебраически замкнутым полем $K$ характеристики 0, задана уравнением $y^2=f\left(x\right)$, где многочлен $f\left(x\right)\in K\left[x\right]$ свободен от квадратов и имеет нечетную степень $2g+1$. Кривая $C$ содержит единственную “бесконечную” точку $O$, которая является точкой Вейерштрасса. Существует классическое вложение $C\left(K\right)$ в группу $K$-точек $J\left(K\right)$ якобиева многообразия $J$ кривой $C$, отождествляющее точку $O$ с единичным элементом группы $J\left(K\right)$. При $2\le g\le 5$ в статье явно найдены представители классов бирациональной эквивалентности таких гиперэллиптических кривых $C$ с отмеченной единственной точкой на бесконечности $O$, что множество $C\left(K\right)\cap J\left(K\right)$ содержит не менее 6 точек кручения порядка $2g+1$. Ранее было известно, что при $g=2$ таких классов эквивалентности ровно 5, а при $g\ge 3$ была известна верхняя оценка, зависящая только от рода $g$. Мы улучшаем ранее известную верхнюю оценку почти в 36 раз.

Рассматривается прямолинейное движение материальной точки под действием двух сил меняющихся по степенным законам с произвольными показателями степеней. Находятся такие показатели степеней, при которых уравнение нелинейно, а период колебаний не зависит от начальных условий (таутохронное движение). Уравнения приводятся к гамильтоновой форме и методом нормальной гамильтоновой формы доказано, что существуют только два варианта таутохронного движения. Вариант 1: показатели степеней равны 1 и –3. Вариант 2: показатели степеней равны 0 и –1/2. При всех других степенных законах движение материальной точки не таутохронно. Гамильтонова нормальная форма таутохронного движения является гамильтонианом линейного осциллятора. Каноническое преобразование, приводящее исходный гамильтониан к нормальной форме, выражается через элементарные функции. Гамильтонианы таутохронных движений могут использоваться для тестирования программных комплексов вычисления нормальной гамильтоновой формы.

Настоящая работа посвящена локализации случайных 3-КНФ формул, полиномиально разрешимых резолюционным алгоритмом. Показано, что случайные формулы с числом дизъюнктов, пропорциональным квадрату числа переменных, с вероятностью близкой к единице полиномиально разрешимы при коэффициенте пропорциональности, превышающем найденный порог.

Представлены новые случаи интегрируемых однородных по части переменных динамических систем девятого порядка, в которых может быть выделена система на касательном расслоении к четырехмерному многообразию. При этом силовое поле разделяется на внутреннее (консервативное) и внешнее, которое обладает диссипацией разного знака. Внешнее поле вводится с помощью некоторого унимодулярного преобразования и обобщает ранее рассмотренные поля. Приведены полные наборы как первых интегралов, так и инвариантных дифференциальных форм.

Проведен сравнительный анализ точности численных схем TVD (Total Variation Diminishing) второго порядка, RBM (Rusanov-Burstein-Mirin) третьего порядка и A-WENO (Alternative Weighted Essentially Non-Oscillatory) пятого порядка по пространству и третьего порядка по времени при расчете специальной задачи Коши для уравнений мелкой воды с разрывными начальными данными, точное решение которой содержит центрированную волну разрежения и не содержит ударную волну. Показано, что внутри центрированной волны разрежения и в области ее влияния решения всех трех схем с различными порядками сходятся к разным инвариантам точного решения, что приводит к снижению точности этих схем при вычислении вектора базисных переменных рассматриваемой задачи Коши. Для теоретического обоснования данных численных результатов применяется P-форма первого дифференциального приближения разностных схем.

Настоящая статья посвящена совершенствованию методов распознавания сигналов на основе информационных характеристик спектра. Установлена дискретная функция нормированного упорядоченного спектра для единичной оконной функции, входящей в ДПФ. Доказаны леммы об оценках энтропии, дисбаланса и статистической сложности при обработке временного ряда независимых гауссовских величин. Предложены новые понятия одномерной и двумерной спектральных сложностей. Полученные теоретические результаты верифицированы численными экспериментами, которые подтвердили эффективность новой информационной характеристики при детектировании сигнала в смеси с белым шумом при малых отношениях сигнал/помеха.