Miscellaneous types of localization of natural oscillations of a gasket between parallel flanges

全文:

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Тонкая однородная изотропная цилиндрическая пластина Ω^h = ω × (0,h) находится в идеальном контакте с двумя прямыми абсолютно жесткими фланцами (рис. 1) и имеет продольное сечение $\mathrm{\omega }\in {\mathrm{ℝ}}^2$, ограниченное простым замкнутым контуром ∂ω. Далее различаем три случая: ω — круг или прямоугольник (рис. 2a, б), а также произвольная область с гладкой границей, у которой кривизна κ (отрицательная на вогнутых участках) принимает максимальное значение в одной точке (рис. 2в). Собственные колебания прокладки описываются системой уравнений Ламе

−μ∆_xu^h − (λ + μ)∇_x∇_x · u^h = Λ^hu^h в Ω^h (1)

с условиями свободного края (Неймана) на боковой поверхности Г^h = ∂ω × (0,h) и жесткого защемления (Дирихле) на основаниях $\sum _p^h=\text{ω} \times \left\{p\right\}, p = 0,1$, а именно,

${\mathrm{\sigma }}^{\left(n\right)}\left(u^h\right)=0 \mathrm{на} {\mathrm{Г}}^h, u^h=0 \mathrm{на} {\sum }^h:=\sum _0^h◡\sum _1^h$. (2)

Рис. 1. Круглая (а) и прямоугольная (б) прокладки. Жестко защемленные основания глубоко тонированы.

Рис. 2. Круговое, прямоугольное и яйцевидное продольные сечения прокладки. Постоянная и нулевая кривизны (a, б). Угловые точки (б) и единственная точка максимальной кривизны (в) снабжены меткой •.

При этом ∇_x = grad, ∇_x · = div, ∆_x = ∇_x · ∇_x — оператор Лапласа, Λ^h — спектральный параметр, пропорциональный квадрату частоты колебаний, u^h = ($u_1^h,u_2^h,u_3^h$) — вектор смещений, а σ⁽ⁿ⁾(u^h) — вектор нормальных напряжений с декартовыми компонентами

${\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{k}}^{\left(n\right)}\left(u^h\right)=n_1{\mathrm{\sigma }}_{1k}\left(u^{\mathit{h}}\right)+n_2{\mathrm{\sigma }}_{2k}\left(u^{\mathit{h}}\right), k=1, 2, 3$.

Здесь n = (n₁,n₂) — единичный вектор внешней нормали к границе сечения $\mathrm{\omega }\in {\mathrm{ℝ}}^2$, ${\mathrm{\sigma }}_{jk}\left(u^h\right)$— компоненты тензора напряжений второго ранга,

$$\begin{gathered} {\mathrm{\sigma }}_{jk}\left(u^h\right)=\mu \left(\frac{\partial u_j^h}{\partial {\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}}+\frac{\partial {\mathrm{u}}_k^h}{\partial {\mathrm{x}}_j}\right)+{\mathrm{\lambda \delta }}_{j\mathit{,}k}{\nabla }_{\mathrm{x}}·u^h, \\ j,k=1, 2, 3 \end{gathered}$$ (3)

а λ ≥ 0 и μ > 0 — постоянные Ламе и δ_j,k — символ Кронекера.

Вариационная формулировка задачи (1), (2) апеллирует к интегральному тождеству [1, 2]

$E_3\left(u^h,{\mathrm{\Psi }}^h;{\mathrm{\Omega }}^h\right)={\mathrm{\Lambda }}^h{\left(u^{\mathit{h}},{\mathrm{\Psi }}^{\mathit{h}}\right)}_{{\mathrm{\Omega }}^h}\forall {\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{h}}\in H_0^1\left({\mathrm{\Omega }}^h\mathrm{;}{\mathrm{\sum }}^{\mathrm{h}}\right)$,

причем ${\left(·,·\right)}_{{\mathrm{\Omega }}^h}$ — натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега L²(Ω^h), скалярном или векторном, $H_0^1\mathit{(}{\mathrm{\Omega }}^h\mathit{;}{\sum }^h\mathit{)}$ — пространство Соболева функций, обращающихся в нуль на основаниях пластины, а удвоенная упругая энергия, запасенная пластиной выглядит так:

$E_3\left(u^h,{\mathrm{u}}^{\mathrm{h}};{\mathrm{\Omega }}^h\right)={\int }_{{\mathrm{\Omega }}^h}\left(2\mathrm{\mu }\sum _{k=1}^3{\left|\frac{\partial u_k^h}{\partial x_k}\right|}^2+\frac{\mathrm{\mu }}{2}\sum _{j,k=1}^3\left(1-{\mathrm{\delta }}_{j,k}\right){\left|\frac{\partial u_j^h}{\partial x_k}+\frac{\partial u_k^h}{\partial x_j}\right|}^2+\lambda {\left|{\nabla }_x·u^h\right|}^2\right)dx.$ (4)

Нижний индекс приписан к обозначению квадратичной формы (4) для того, чтобы отличать ее от удвоенной упругой энергии E₂ в плоской задаче, которая (энергия) получается удалением из подынтегрального выражения компоненты $u_3^h$ и всех производных по переменной x₃.

Основная цель сообщения — указать асимптотическое поведение при h → +0 собственных чисел задачи (1), (2)

0 < ${\mathrm{\Lambda }}_1^h$ ≤ ${\mathrm{\Lambda }}_2^h$ ≤ ... ≤ ${\mathrm{\Lambda }}_m^h$ ≤ ... → +∞ (5)

и соответствующих собственных вектор-функций $u_{\left(1\right)}^h,u_{\left(2\right)}^h,u_{\left(m\right)}^h,... \in H_0^1\mathit{(}{\mathrm{\Omega }}^h\mathit{;}{\sum }^h\mathit{)}$, которые подчинены условиям ортогональности и нормировки

${\left(u_{\left(p\right)}^h,u_{\left(q\right)}^h\right)}_{{\mathrm{\Omega }}^h}={\delta }_{p,q}, p,q\in \mathrm{\mathbb{N}}:=\left\{1,2,3...\right\}$. (6)

2. ЭФФЕКТЫ ЛОКАЛИЗАЦИИ

В классической теории пластин Кирхофа (см. [3–6] и др.), которая подразумевает постановку условий Неймана (отсутствия внешнего нагружения) на обоих основаниях $\sum _0^h$ и $\sum _1^h$ пластины, моды собственных колебаний описываются решениями краевых задач на сечении и поэтому оказываются распределенными по всему телу ${\mathrm{\Omega }}^h$. В статье [7], по-видимому, впервые установлено, что собственные вектор-функции задачи (3) (или (1), (2) в дифференциальной форме) сконцентрированы около кромки Г^h и затухают с экспоненциальной скоростью при удалении от нее. На первый взгляд кажется, что причиной их такого “странного” поведения служит жесткое защемление оснований $\sum _{р}^h$, не “пропускающее” колебания вовнутрь тела ${\mathrm{\Omega }}^h$. Это впечатление ошибочно: в той же статье проверено, что асимптотика собственных пар $\left\{{\mathrm{\Lambda }}_m^h;{\mathrm{u}}_{\left(m\right)}^h\right\}$ системы (1) с условиями Дирихле, распространенными на всю поверхность пластины,

u^h = 0 на ∂Ω^h = ${\overline{\mathrm{Г}}}^h◡\sum _0^h◡\sum _1^h$ (7)

описывается именно решениями задачи Дирихле для системы двух уравнений Гельмгольца

−μ∆_x'ν = Mν на  ω,ν = (ν₁,ν₂) = 0 на ∂ω, (8)

где x' = (x₁, x₂) — система продольных координат. Таким образом, в задаче (1), (7) эффект локализации отсутствует. Как пояснено в [8, 7], предельная задача в значительной мере определяется феноменом пограничных слоев, которые существенно различаются для краевых условий (2) и (7), а для рассматриваемой далее прямоугольной прокладки (рис. 1б) появляется ранее неизвестный пространственный пограничный слой (см. рис. 3 и разд. 3).

Рис. 3. Четверть единичного слоя. Жестко защемленные основания глубоко тонированы.

В разд. 4 сообщения воспроизведены асимптотические конструкции, отвечающие обнаруженному ранее эффекту локализации в задаче (1), (2), которые различаются для кругового и, например, яйцевидного сечений на рис. 2a–в, и в значительной степени повторяют материал сообщения [8], где, в частности, обследована упругая накладка (верхнее основание $\sum _1^h$, как и боковая поверхность Г^h, освобождено от внешних воздействий), для которой также характерна концентрация собственных мод вблизи кромки. Основной и абсолютно новый результат — локализация мод около углов прямоугольного сечения (рис. 2б) при λ > 0 — представлен в разд. 5. В разд. 6 отдельно рассмотрен случай λ = 0, в котором локализация происходит в окрестностях сторон прямоугольника. Эти выводы обеспечены технически наиболее сложным в сообщении анализом спектра смешанной краевой задачи теории упругости в четверти слоя (рис. 3)

Ξ = {ξ = (ξ₁,ξ₂,ξ₃):ξ₁ > 0,ξ₂ > 0, ξ₃ ∈ (0,1)}, (9)

возникающей вследствие растяжения исходных координат в h⁻¹ раз. Так, в разд. 3 удалось проверить, что при λ > 0 дискретный спектр задачи содержит по крайней мере одно собственное число, причем именно соответствующая собственная вектор-функция, затухающая на бесконечности с экспоненциальной скоростью, порождает эффект “околоугловой” локализации. В случае λ = 0 у задачи в неограниченной области (9) возникает пороговый резонанс (ср. публикации [9–11] и см. разд. 3), который как раз и дает возможность завершить асимптотический анализ “околореберной” локализации в разд. 6.

Обнаруженное необычное поведение мод собственных колебаний порождает концентрацию напряжений в малых или узких зонах хрупкого тела, которая в свою очередь провоцирует процесс разрушения. Приведенные результаты подтверждают известный из повседневной практики факт: отслоение прокладок и накладок обычно начинается с угловых или иных сингулярных точек на границе. Именно поэтому при наклеивании тонких поверхностных заплаток у них обычно закругляются углы, а тщательная проклейка края заплатки особенно важна. Прокладки между фланцами в водопроводных и газовых трубах обязательно имеют округлую, обычно кольцевую, форму.

3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА В ЧЕТВЕРТИ СЛОЯ

Рассмотрим спектральную смешанную краевую задачу теории упругости для однородного изотропного упругого тела (9) на рис. 3, вариационная формулировка которой выглядит так:

E₃(w,Ψ;Ξ) = M(w,Ψ)_Ξ ∀ Ψ ∈ $\mathcal{H}:=H_0^1$(Ξ;Y₁ ◡ Y₂). (10)

Здесь M — спектральный параметр, Y_p = {ξ ∈ ∂Ξ: ξ₃ = p}, p = 0, 1, — основания четверти слоя, которые жестко защемлены, но боковая поверхность оставлена свободной (ср. исходные краевые условия (2)). Поскольку левая часть интегрального тождества (10) — положительно определенная, замкнутая в H¹(Ξ) и симметричная билинейная форма, задаче о собственных колебаниях четверти слоя Ξ ставится [13, гл. 10, 1] в соответствие положительно определенный самосопряженный неограниченный оператор $\mathcal{A}$ в гильбертовом пространстве L²(Ξ) .

По обычной схеме (построение сингулярной последовательности Вейля при M ≥ M_† и регуляризатора оператора при M ∈ (0, M_† ); ср. работу [14]) проверяется, что существенный спектр ℘ess оператора $\mathcal{A}$ — луч [M_†,+∞), точка отсечки которого — первое (наименьшее) собственное число

M_† := β₁ ∈ (0, μπ²) (11)

плоской задачи теории упругости в полубесконечной единичной полосе (далее — полуполосе)

П = {ξ' = (ξ₂, ξ₃): ξ₂ > 0, ξ₃ ∈ (0,1)}. (12)

Существование изолированного собственного числа (11) в дискретном спектре последней задачи установлено, например, в статье [12]. Соответствующую собственную вектор-функцию, обращающуюся в нуль на боковых сторонах полуполосы П, нормированную в пространстве L²(П) и затухающую при ξ₂ → +∞ с экспоненциальной скоростью, обозначим через W = (W₂,W₃).

Нижняя грань всего спектра ℘ оператора $\mathcal{A}$ вычисляется согласно минимальному принципу [13, теорема 10.2.1]

$\underline{\wp } = \underset{\mathrm{\Psi }\in \mathcal{H}\backslash \left\{0\right\}}{\inf }\frac{E_3(\mathrm{\Psi },\mathrm{\Psi };\mathrm{\Xi })}{{||\mathrm{\Psi };L^2\left(\mathrm{\Xi }\right)||}^2}.$  (13)

Таким образом, дискретный спектр ℘_d оператора $\mathcal{A}$ непустой, если только нашлась пробная вектор-функция ψ^ε ∈ $\mathcal{H}$, для которой

E₃(ψ^ε,ψ^ε;Ξ) < M_† ${||{\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{\epsilon }};L^2\left(\mathrm{\Xi }\right)||}^2$.(14)

В этом случае величина (13) располагается ниже точки отсечки (11) и является первым собственным числом оператора $\mathcal{A}$. Положим

${\mathrm{\Psi }}_1^{\mathrm{\epsilon }}\left(\mathrm{\xi }\right)=\sqrt{\epsilon }Y\left(\mathrm{\xi }\right), {\mathrm{\Psi }}_q^{\mathrm{\epsilon }}\left(\mathrm{\xi }\right)=e^{-{\mathrm{\epsilon \xi }}_1}{W}_q(\mathrm{\xi }\text{'}), q=2,3$, (15)

где Y — какая-то гладкая функция с малым носителем. В силу формулы (15) имеем

${||{\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{\epsilon }};L^2\left(\mathrm{\Xi }\right)||}^2={\int }_0^{+\infty }{e}^{-2{\mathrm{\epsilon \xi }}_1}d{\mathrm{\xi }}_1{||W\mathit{;}{L}^2\left(\mathrm{П}\right)||}^2+$

$+\mathrm{\epsilon }{||Y;L^2\left(\mathrm{П}\right)||}^2=\frac{1}{2\mathrm{\epsilon }}+О\left(\mathrm{\epsilon }\right),$

E₃(ψ^ε,ψ^ε;Ξ) = ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-2{\mathrm{\epsilon \xi }}_1}d{\mathrm{\xi }}_1{E}_2(W\mathit{,}W\mathit{;}\mathrm{П})+$

$+2\sqrt{\mathrm{\epsilon }}{E}_3(\mathbf{W},\mathbf{Y};\mathrm{\Xi })+O\left(\mathrm{\epsilon }\right).$

При этом W = (0,W₂,W₃) и Y = (Y,0,0), а E₂ (W,W;П) = ${\mathrm{\beta }}_1{||W\mathit{;}{L}^{\mathit{2}}\left(\mathrm{П}\right)||}^2=M_{†}$ — упругая энергия полуполосы, порожденная захваченной двумерной волной. В итоге при помощи формулы интегрирования по частям придаем неравенству (14) следующий вид:

$2\sqrt{\mathrm{\epsilon }}\mathrm{\lambda }{\int }_{\mathrm{П}}\mathrm{Y}(0,\mathrm{\xi }\text{'}){\nabla }_{\mathrm{\xi }\text{'}}·W(0,\mathrm{\xi }\text{'})d\mathrm{\xi }\text{'}=2\sqrt{\mathrm{\epsilon }}{E}_3(\mathbf{W},\mathbf{Y};\mathrm{\Xi })<-\mathrm{C\epsilon }.$ (16)

Поскольку собственная мода W не может быть соленоидальной всюду в упругой полуполосе П, находим точку Р ∈ П, в которой ∇_ξ' · W(P) ≠ 0, и подбираем функцию Y так, чтобы интеграл из левой части (16) стал отрицательным. В итоге, при λ > 0 неравенство (14) выполнено для пробной вектор-функции ψ^ε с компонентами (20) и достаточно малом ε > 0, т.е. дискретный спектр ℘_d оператора $\mathcal{A}$ в самом деле непустой. Первое собственное число задачи (10) обозначим M₁ а соответствующую собственную вектор-функцию — w₍₁₎ ∈ $\mathcal{H}$. При помощи приемов из [7] можно убедиться в экспоненциальном затухании w₍₁₎(ξ) при |ξ| → ∞.

При λ = 0 вектор-функция W — ограниченное решение задачи в четверти слоя Ξ, а значит, в ней реализуется пороговый резонанс [9–11].

К сожалению, вопрос о кратности дискретного спектра при любых значениях параметра λ остался открытым.

4. СЕЧЕНИЯ С ГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

Сообщим известные сведения о собственных парах задачи (1), (2) (см. публикации [7, 8]). Асимптотическое представление собственных чисел выглядит так:

${\mathrm{\Lambda }}_m^h=h^{-2}B+h^{-1}{b}_J+h^{-1/J}{K}_m+O\left(h^{1-J/2}\right)$. (17)

Здесь J = 1 при ω = {x' = (x₁, x₂): |x'| < 1}, но J = 2 для области на рис. 2в, у которой строгий глобальный максимум κ₀ > 0 кривизны границы достигается в одной точке s₀ ∈ ∂ω. Положительные множители B и b₁ сложным образом зависят от интегральных характеристик собственной моды W в полуполосе П и, разумеется, от постоянных Ламе λ и μ. В случае круга K_m — собственное число обыкновенного дифференциального уравнения наединичной окружности

$\begin{array}{l}-A{\partial }_s^{2}V\left(s\right)=KV\left(s\right), s\in \partial \mathrm{\omega },\end{array}$ (18)

причем (n, s) — локальная система координат, т.е. расстояние до контура ∂ω, измеренная вдоль внешней нормали, и длина дуги на нем. Во втором случае K_m — собственное число уравнения гармонического осциллятора (см., например, книгу [15]):

$\begin{array}{l}-A{\partial }_{\mathrm{\eta }}^{2}V\left(\mathrm{\eta }\right)+a{\mathrm{\eta }}^{2}V\left(\mathrm{\eta }\right)=KV\left(\mathrm{\eta }\right), \mathrm{\eta }\in ℝ,\end{array}$ (19)

где $\mathrm{\eta }=h^{-1/2}\left(s-s_0\right)$ — растянутая координата (ср. сообщение [8]), а коэффициенты A > 0 и a > 0 зависят от W и λ, μ, а также от ${\partial }_s^2\kappa \left(s_0\right)<0$. Кроме того, множитель b₂ в формуле (17) пропорционален величине ${\mathrm{\kappa }}_0>0$.

Отметим, что асимптотические представления собственных вектор-функций, нормированных согласно формуле (6), приобретают вид

$u_{\left(m\right)}^h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{h}^{-1}\left(V_m\right(s\left)W\right(-h^{-1}n,h^{-1}z)+O(h\left)\right)\mathrm{при}\mathit{\text{ J}}\text{ = 1,}\\ h^{-5/4}\left(V_m\right(h^{-1/2}(s-s_0)\left)W\right(-h^{-1}n,h^{-1}z)+O(h^{1/2}\left)\right)\text{ при}\mathit{\text{ J}}\text{ = 2,}\end{array}\right.$

где V_m — собственная функция уравнения (18) или (19), а различие в показателях степеней малого параметра h обусловлено разным растяжением координат.

Для кругового и эллиптического колец (рис. 4) асимптотические серии (17) собственных чисел задачи (1), (2) тиражируются: асимптотические конструкции годятся соответственно для внутренней окружности на рис. 4a, или нескольких точек глобальных и локальных максимумов кривизны, помеченных значком • на рис. 4б.

Рис. 4. Круговое (а) и эллиптическое (б) кольца. Точки максимумов кривизны (б) снабжены метками •.

5. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ И λ ˃ 0

В противоположность технически сложному исследованию спектра задачи (10) асимптотика первых четырех (по количеству вершин прямоугольника) собственных чисел из последовательности (5) легко выводится при помощи максиминимального принципа [13, теорема 10.2.2] и принимает вид

${\mathrm{\Lambda }}_{\mathit{k}}^{\mathit{h}}$ = h^-2(M₁ + O(e^-δ/h)), δ > 0, k = 1,…,4. (20)

Соответствующие собственные вектор-функции задачи (1), (2) допускают представления

$u_{\left(k\right)}^h\left(x\right)=h^{-3/2}\left(w_{\left(1\right)}\left({\xi }^{\left(k\right)}\right)+O\left(e^{-\delta /h}\right)\right),$

причем k = 1,…,4 и ξ^(k) — растянутые h⁻¹ в раз декартовы координаты с центрами в вершинах прямоугольного сечения.

Асимптотическое строение собственных чисел ${\mathrm{\Lambda }}_m^h$ с номерами m ≥ 5 — полностью открытый вопрос из-за отсутствия информации о кратности дискретного спектра задачи (10) и появления у нее пороговых резонансов.

6. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ И λ = 0

Поскольку кратность дискретного спектра осталась неизвестной, обсуждаем две ситуации.

Если и при λ = 0 дискретный спектр оператора $\mathcal{A}$ остается непустым, то начальные члены последовательности (5) по-прежнему имеют вид (20).

В случае ℘_d = ∅ благодаря тому, что в задаче (10) при λ = 0 возникает двойной пороговый резонанс, асимптотика собственных чисел становится такой:

${\mathrm{\Lambda }}_m^h=h^{-2}{\mathrm{\beta }}_1+K_{\mathit{m}}\mathit{+}O\left(h^{\mathrm{1}\mathrm{/}\mathrm{2}}\right)$.

Здесь ${\left\{K_m\right\}}_{m\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ — объединенная и упорядоченная последовательность собственных чисел задач Неймана для обыкновенных дифференциальных уравнений

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}-A{\partial }_{\mathit{\text{s}}}^2{V}_p\left(s\right)=K{V}_p\left(\mathit{\text{s}}\right), s\in \left(-{\mathcal{l}}_p,{\mathcal{l}}_p\right), \end{array}\\ \pm {\partial }_s{V}_p\left(\pm {\mathcal{l}}_p\right)=\mathrm{0,}\end{array}$(21)

на сторонах прямоугольника

ω = ($-{\mathcal{l}}_1,{\mathcal{l}}_1$) × ($-{\mathcal{l}}_2,{\mathcal{l}}_2$).

При этом задачи (21) с индексами p = 1, 2 учитываются дважды — для каждой из противоположных сторон. Асимптотика собственных вектор-функций $u_{\left(m\right)}^h$ устроена достаточно сложно из-за возникновения угловых пограничных слоев.

7. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ

Для сечений, изображенных на рис. 2, в разд. 4–6 представлены лишь основные (первые) асимптотические серии собственных чисел задачи (1), (2) (или (3) в вариационной форме). В разд. 4 уже упоминалось, что для обоих колец на рис. 4 возникают и другие серии собственных числах с устойчивыми асимптотиками. В случае прямоугольного сечения также можно построить собственные числа, порожденные двумерной (8) или одномерной (21) моделями упругой прокладки Ω^h. Это не сделано в сообщении по причине отсутствия информации о пороговых резонансах задач теории упругости в полуполосе (12) и четверти слоя (9), и потому обоснованно поставить краевые условия на сторонах или в вершинах прямоугольника не удается. Подчеркнем, что при отсутствии порогового резонанса в задаче (10) при λ > 0 условия Неймана в задачах (21) заменяются условиями Дирихле в точках $s = \pm {\mathcal{l}}_p$.

По-видимому, кратности дискретного спектра и пороговые резонансы можно определить разве лишь при помощи численных методов: в силу общих результатов [11] доступны приемы изучения названных объектов на основе вычисления устойчивых интегральных характеристик задач для упругих тел П и Ξ.

Предложенный в разд. 3 подход к изучению спектра трехмерной задачи теории упругости весьма чувствителен к геометрической и материальной симметриям. Какие-либо результаты о спектре анизотропного сектора слоя с произвольным углом продольного сечения неизвестны.

Вывод двумерной модели (8) для ортотропной прокладки Ω^h = ω × (0,h) не встречает заметных препятствий согласно общим асимптотической процедурам [6]. Кроме того, приемы из работы [12] и книги [6] позволяют распространить модель и на прокладки с искривленной боковой поверхностью подходящих форм. Вопрос о поведении собственных частот тонких прокладок переменной толщины не рассматривался.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект № 124041500009-8).

作者简介

S. Nazarov

编辑信件的主要联系方式.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
俄罗斯联邦, Saint-Peterburg

参考

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

2. Fig. 1. Round (a) and rectangular (b) gaskets. The rigidly clamped bases are deeply tinted.

下载 (75KB)

索引源数据

3. Fig. 2. Circular, rectangular and ovoid longitudinal sections of the gasket. Constant and zero curvature (a, b). Corner points (b) and the only point of maximum curvature (c) are marked •.

下载 (62KB)

索引源数据

4. Fig. 3. A quarter of a single layer. The rigidly clamped bases are deeply toned.

下载 (43KB)

索引源数据

5. Fig. 4. Circular (a) and elliptical (b) rings. Points of maximum curvature (b) are marked •.

下载 (78KB)

索引源数据