Prediction of multistage fatigue curve based on the relaxation model of irreversible cyclic deformation

Full Text

1. Кривая Вёлера, также известная как кривая усталости или S–N кривая, представляет собой графическое изображение, иллюстрирующее зависимость между амплитудой циклического напряжения (S) и количеством циклов до разрушения (N) для материала, который разрушается в результате механического циклирования. Эта кривая имеет решающее значение для понимания усталостного поведения материалов, особенно металлов. Она помогает инженерам и материаловедам разрабатывать компоненты и конструкции, способные выдерживать циклические нагрузки в течение длительного времени. Гипотетическую кривую обычно демонстрируют, как состоящую из трех областей, представляющих различные режимы усталости: малоцикловую усталость (МЦУ, LCF – low-cycle fatigue), многоцикловую усталость (МнЦУ, ΗCF – high cycle fatigue) и сверхмногоцикловую усталость (СвМУ, GCF – gigacycle fatigue). Для каждой области характерны свои механизмы и поведение. Исследования показывают, что в случае малоцикловой усталости доминирует механизм, связанный с пластической деформацией и зарождением различных, в том числе трещиноподобных, дефектов. Напряжения характеризуются достаточно высоким уровнем и макроскопический разрыв материала происходит после относительно небольшого количества циклов. При этом разрушение часто сопровождается как накоплением пластической деформации, так и ростом трещин. В случае многоцикловой усталости зарождение и кумулятивный рост поврежденности, в том числе трещиноподобных дефектов, становится более значительным. Процесс протекает при средних амплитудах напряжений с умеренным числом циклов до макроразрыва материала. Как пластическая деформация, так и рост дефектов способствуют разрушению. При сверхмногоцикловой усталости видимые повреждения и трещины обычно возникают из-за внутренних дефектов материала и особенностей поверхности. Уровень напряжения характеризуется низкими амплитудами, а разрыв среды происходит в основном из-за внезапного роста небольших трещин после большого количества циклов.

Несмотря на то, что эти различия полезны для понимания усталостного поведения в различных режимах напряжения, наличие единой концепции для объяснения всей кривой Вёлера может быть ценно по нескольким причинам. Единая концепция упрощает понимание усталостного поведения, облегчая работу инженеров и исследователей в различных режимах напряжения. Также подобная концепция позволила бы более просто ввести идеи обобщения явления усталости (МЦУ, МнЦУ, СвМУ) в процесс проектирования, что дает большую возможность разрабатывать материалы и конструкции, которые могут хорошо работать в различных условиях нагружения. Единая концепция облегчает разработку прогностических инженерных моделей, позволяющих оценить усталостную долговечность при различных условиях нагружения, что помогает в оптимизации компонентов при проектировании. Также целостное понимание механизмов усталости на разных стадиях поможет разрабатывать материалы с улучшенной усталостной прочностью по всей зависимости Вёлера. Таким образом, единая концепция, объясняющая все участки усталостной кривой, может обеспечить целостную основу для понимания и решения проблемы усталостного поведения материалов, что является важным инструментом для повышения эффективности процессов проектирования и разработки материалов.

Как правило, различные участки общей усталостной кривой описываются комплексом разных моделей, базирующихся на различных подходах и трактовках экспериментальных данных. Обзоры работ по малоцикловой [1, 2], многоцикловой [3, 4] и сверхмногоцикловой усталости [5] показывают разнообразие существующих в теории усталостного разрушения подходов и отсутствие единого подхода для расчета S–N кривой. Однако в работе [6] авторы обращают внимание на то, что даже простой учет накапливающейся интенсивности напряжений у вершины трещины при импульсном динамическом циклировании позволяет в рамках линейной механики разрушения получить единую аналитическую формулу, дающую зависимость с тремя характерными участками.

Единый подход возможен при условии создания модели, которая может единовременно явно учитывать релаксационные процессы при пластическом деформировании в сочетании с процессом накопления повреждений в материале. Примером необходимости учета происходящей релаксации напряжений при циклических нагрузках является наличие возникающего эффекта стабилизации накопленной пластической деформации. Обычно в теории приспособляемости каждая из методик связана с задаваемым режимом деформирования на каждом отдельном цикле, и методика привязана к каждому типу нагружения. В данной работе, на основе учета накапливающейся необратимой деформации и расчета объема диссипировавшейся энергии сформулирована комбинированная модель, которая может быть применена для прогнозирования эффектов циклического разрушения в широком диапазоне числа циклов: от малоцикловой до многоцикловой усталости. В рамках предложенного далее подхода релаксационная модель пластического деформирования [7], применяемая для прогнозирования эволюции, изменяющейся в процессе циклирования деформационной кривой, дополняется уравнением поврежденности Качанова–Работнова [8, 9], что позволяет прогнозировать зависимость числа циклов до разрушения на стадии, последующей установлению стабилизации пластической деформации.

2. Для прогнозирования усталостной кривой материала в широком диапазоне числа циклов до разрушения рассмотрим комбинированную модель, состоящую из релаксационной модели необратимого деформирования материалов [10, 11], модифицированной для случая циклического нагружения [7, 12], и кинетического уравнения поврежденности типа Качанова–Работнова [8, 13]. За точку перехода между двумя моделями берется момент достижения стабилизации пластической деформации t_stab [7, 14], которому соответствует ненулевое начальное условие ω₀, применяемое при решении эволюционного уравнения для параметра поврежденности. В случае отсутствия эффекта стабилизации пластической деформации, когда нет новых пластических деформаций за новый цикл, расчет проводится только по релаксационной модели циклического деформирования. Рассмотрим подробнее расчетную схему до (t < t_stab) и после (t > t_stab) начала стабилизирующего цикла пластической деформации, когда на определенном цикле отсутствуют новые пластические деформации.

2.1. Для прогнозирования накапливаемой в материале пластической деформации предлагается использовать релаксационную модель пластического деформирования, модифицированную для циклического процесса [7, 12]. Расчетную схему истинных напряжений материала по модели [7, 12, 15] на j цикле до t < t_stab можно представить в следующем виде:

${\overline{){\mathrm{\sigma }}_j\left({\epsilon }_j\left(t\right)\right)}}_{t<t_{stab};t<t_{*}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\sigma }\left({\epsilon }_j\left(t\right)\right),\mathit{ }t<t_{\mathit{j}}^{\mathit{u}\mathit{n}\mathit{l}},\\ E\left({\epsilon }_j\left(t\right)-{\epsilon }_j^{\mathrm{unl}}\right)H\left({\epsilon }_j\left(t\right)-{\epsilon }_j^{\mathrm{unl}}\right), t\ge t_j^{\mathrm{unl}},\end{array}\right.$(1)

где σ_j(ε_j(t)) – временная зависимость напряжений, ε_j(t) – текущая деформация, t_j^unl – время разгрузки, и ε_j^unl – деформация при времени разгрузки t_j^unl, t_stab – время начала стабилизирующего цикла в материале, t_* – время разрушения. Зависимость напряжение–деформация в истинных координатах σ(ε_j(t)) на каждом j цикле определяется по релаксационной модель пластичности:

$\mathrm{\sigma }\left({\epsilon }_j\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{l}E{\epsilon }_j\left(t\right), t<t_y^j,\\ E{\left[y_j\left(t\right)\right]}^{1-\mathrm{\beta }} {\epsilon }_j\left(t\right), t\ge t_y^j\end{array}\right.$(2)

с функцией релаксации напряжений на j цикле:

$y_j\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}1,\frac{1}{\mathrm{\tau }}{\int }_{\mathrm{t}-\mathrm{\tau }}^{\mathrm{t}}{\left(\frac{\sum \text{(s)}}{{\sigma }_y^j}\right)}^{\alpha }\mathit{\text{ds≤}}\text{1}\mathit{\text{,}}\\ \frac{1}{{\left(\frac{1}{\mathrm{\tau }}{\int }_{\mathrm{t}-\mathrm{\tau }}^{\mathrm{t}}{\left(\frac{\sum \text{(s)}}{{\sigma }_y^j}\right)}^{\alpha }\mathit{\text{ds}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}}}, \frac{1}{\mathrm{\tau }}{\int }_{\mathrm{t}-\mathrm{\tau }}^{\mathrm{t}}{\left(\frac{\sum \text{(s)}}{{\sigma }_y^j}\right)}^{\alpha }\mathit{\text{ds>}}\text{1.}\end{array}\right.$(3)

Как отмечалось в работах [16, 17], циклический предел текучести меньше статического предела текучести, поэтому в расчетной схеме рассматриваем ${\sigma }_y^j$ статический предел текучести для образцов, подвергающихся циклическим нагрузкам.

Условие текучести на каждом j цикле определяется по критерию текучести [18]:

$\frac{1}{\mathrm{\tau }}{\int }_{t_{\mathit{y}}^{\mathit{j}}-\mathrm{\tau }}^{t_{\mathit{y}}^{\mathit{j}}}{\left(\frac{\sum \text{(s)}}{{\sigma }_y^j}\right)}^{\alpha } ds=1.$ (4)

На каждом (j+1) цикле статический предел текучести определяется по условию

${\sigma }_y^{j+1}+{\sigma }_y^j=2\left|{\sigma }_j\left({\epsilon }_j\left(t_j^{\text{unl}}\right)\right)\right|$, (5)

где σ_y⁰ = σ_y. В случае отсутствия эффекта стабилизации накопленной пластической деформации время разрушения t_* определяем по структурно-временному подходу [19]:

$\frac{1}{\mathrm{\tau }}{\int }_{t_{*}-{\mathrm{\tau }}_f}^{t_{*}}{\left(\frac{\sum \text{(s)}}{{\sigma }_{*}}\right)}^{{\alpha }_f} ds=1.$ (6)

σ_* – предел прочности при статическом нагружении, α_f и τ_f – структурно-временные параметры критерия разрушения [16].

Модель (1)–(6) с явным учетом протекающих релаксационных процессов позволяет прогнозировать на текущем цикле накопленную пластическую деформацию и объемную плотность энергии деформации. При возникающем эффекте стабилизации пластической деформации модель позволяет оценивать циклическую прочность материала, как максимальное напряжение материала на петле гистерезиса, и соответствующий номер цикла N_stab.

2.2. Для того чтобы определить число циклов до разрушения материала N после установившего режима стабилизации пластической деформации (t > t_stab) необходимо использовать обобщенное уравнение поврежденности [8, 13] с параметром поврежденности 0 ≤ ω ≤1, определяемым из эволюционного уравнения накопления повреждений:

$\frac{\text{d}\mathrm{\omega }}{\text{d}\mathrm{t}}=\frac{{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{b}}}{{\left(1-\mathrm{\omega }\right)}^{\mathrm{a}}}\mathrm{A}{\left({\mathrm{\sigma }}_0\right)}^{\mathrm{a}}$, (7)

σ₀ – заданная временная функция напряжений; a, b, A – постоянные величины. На момент начала режима стабилизации t_stab в материале уже присутствует поврежденность ω₀, которая формирует начальное условие для уравнения (7). Время и номер цикла связаны соотношением t = N/ν [20], где ν – частота нагружения. Параметр поврежденности ω₀ определяется как соотношение плотности объемной энергии деформации W_stab, накопленной к стабильному циклу N_stab, к плотности объемной энергии деформации при квазистатических нагрузках W_c: ω₀ = W_stab / W_c. Объемную плотность энергии деформации за цикл определяем как площадь подграфика деформационной диаграммы, рассчитанной по релаксационной модели для циклического деформирования. Предполагаем, что σ₀ постоянная величина, определяемая по релаксационной модели пластичности на стабилизирующем цикле.

Для решения уравнения (6) предполагается ненулевое начальное условие ω₀, как осуществлялось в статье [21]:

${\left.\mathrm{\omega }\right|}_{t=t_{stab}}={\mathrm{\omega }}_0$. (8)

И ω = 1 (в момент разрушения t = t_* параметр поврежденности равен 1). Разделяя переменные, проинтегрируем уравнение (7) по времени от t_stab до t_* и выразим число циклов до разрушения материала:

$N=N_{stab}\left({\mathrm{\sigma }}_0\right)+\frac{1}{A{\mathrm{\sigma }}_0}\left(1-\frac{1}{{\mathrm{\omega }}_0^2}\right)\frac{\mathrm{Г}(a+1)\mathrm{Г}(1-b)}{\mathrm{Г}(a-b+2)}$, (9)

где Γ(x) – гамма-функция, определяемая при x > 0 как

$\mathrm{Г}\left(x\right)={\int }_{}^{\infty }{s}^{x-1}{e}^{-s}ds.$ (10)

Тогда, используя уравнения (1)–(10), можно построить зависимость критического напряжения до разрушения σ₀ от числа цикла N_*= t_*ν (или усталостную S–N-зависимость).

2.3. На рис. 1 построена единая усталостная диаграмма для гипотетического материала в логарифмических координатах со следующими выбранными параметрами ${\mathrm{\sigma }}_y^0$ = 400 МПа, σ_* = 620 МПа, α = 1, τ = 1 s, β = 0.067, Α = 0.003 МПа^–1с^–1, a = 1.5, b = 1. Режим нагружения проводился с фиксированной величиной общей деформации, по аналогии с работой [14]. Проводя две касательные линии к наклонному участку усталостной кривой, показанные на рис. 1, можно выявить этапы малоцикловой усталости (до 2 · 10⁴ цикла), многоцикловой усталости (от 2 · 10⁴ до 3 · 10⁷ цикла) и сверхмногоцикловой усталости (после 3 · 10⁷ цикла). В отличие от существующих моделей [1–5], эти три этапа строятся на основе единой комбинированной модели с фиксированным набором параметров.

 

Рис. 1. Зависимость предельного напряжения до разрушения, нормированного к статической прочности гипотетического материала, от числа циклов для гипотетического материала.

 

Рассмотрим подробнее особенность применения единой комбинированной модели. На рис. 2 построена зависимость номера цикла N_stab, при котором новые пластические деформации не накапливаются, от числа циклов до разрушения N для гипотетического материала, для которого построена кривая Вёлера на рис. 1. Каждой циклической прочности σ₀ соответствует номер цикла N_stab. Как показано на рис. 2, с уменьшением циклической прочности номера цикла N_stab уменьшается, но увеличивается число циклов до разрушения N. При N~4 · 10⁷ цикла материал деформируется упруго, так как N_stab = 1. При N < 4 · 10⁷ материал деформируется упруго-пластически. Применение эволюционного уравнения поврежденности (7) позволяет “сдвинуть” вправо результаты по циклической прочности и N_stab, полученные по релаксационной модели пластичности (1)–(6), и получить итоговую единую усталостную кривую. Другими словами, используя сочетание идей о явном учете релаксационных процессов и процесса накопления поврежденности, позволяет построить единую усталостную кривую, в том числе важный для инженерной практики непрерывный наклонный участок единой усталостной кривой.

 

Рис. 2. Зависимость номера цикла N_stab, при котором новые пластические деформации не накапливаются, от числа циклов до разрушения N для гипотетического материала.

 

3. Проведем проверку работоспособности предлагаемой комбинированной модели с экспериментальными данными на мягкое нагружение для двухфазной стали DP500 [22] σ_y = 350 МПа, σ_* = 570 MPa. В работе [22] проводилось циклические усталостные испытания с частотой нагружения 20 Гц в следующем режиме: минимальное напряжение равнялось нулю и среднее напряжение равнялось половине минимального напряжения. Ранее на основе этих же экспериментальных данных был спрогнозирован эффект стабилизации пластической деформации [12]. Расчетные параметры модели получены: α = 1, τ = 0.67 мс, β = 0.67, a = 1, b = 0.02. На рис. 3 показана теоретическая усталостная зависимость для двухфазной стали DP600, имеющая хорошее соответствие с экспериментальными данными. Из рис. 3 видно, что комбинированная модель способна прогнозировать единую усталостную зависимость как в случае малоциклового, так и в случае многоциклового деформирования. В рамках комбинированной модели не требуется необходимости четкого разделения на случаи малоцикловой и многоцикловой усталости, так как прогнозируется единая усталостная зависимость для материала.

 

Рис. 3. Прогнозирование усталостной кривой (диаграммы Вёлера) стали DP500 на основе единой релаксационной модели необратимого циклического деформирования и экспериментальных данных [22].

 

4. Предложена новая модель построения единой усталостной кривой на основе одновременного учета механизмов пластического деформирования и разрушения при циклических нагрузках. Показано, что комбинация релаксационной модели пластического деформирования, позволяющей прогнозировать деформационную диаграмму материала, и эволюционного уравнения поврежденности, в котором начальное условие формируется по вычисляемой в процессе циклирования энергии необратимой деформации, позволила построить усталостную зависимость, учитывающую эволюцию деформационного отклика материала. Показана необходимость одновременного учета процесса накопления поврежденности при циклических нагрузках и релаксационных процессов пластического деформирования, что может быть сделано при помощи введения в рассмотрение характерных времен релаксации данного материала. Проведена качественная верификация модели на экспериментальных данных на примере стали DP600.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (мегагрант № 075-15-2022-1114). Разделы 2 и 3 выполнены Н.С. Селютиной при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 23–71–01059).

About the authors

Yu. V. Petrov

St. Petersburg State University; Institute for Problems in Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: yuripetr@gmail.com

Corresponding Member of the RAS

Russian Federation, St. Petersburg; St. Petersburg

N. S. Selyutina

St. Petersburg State University; Institute for Problems in Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences

Email: nina.selutina@gmail.com
Russian Federation, St. Petersburg; St. Petersburg

M. N. Antonova

St. Petersburg State University

Email: maliya.antonova@gmail.com
Russian Federation, St. Petersburg

References

Supplementary files