On the generation of frequency combs based on mechanical vibrations of 2D material nanosheets

Full Text

Теоретические и прикладные задачи нелинейной динамики наномеханических систем в настоящее время привлекают растущее внимание научного и инженерного сообщества. Данная область исследований имеет непосредственное отношение к развитию таких направлений современной индустрии наносистем, как датчики высокоточного измерения различных физических величин (высотомеры, датчики давления и влажности, газовые сенсоры, детекторы масс осаждаемых частиц, датчики инерциальной информации) [1, 2], системы преобразования и обработки сигналов (ультразвуковые преобразователи, радиочастотные переключатели, генераторы частоты, элементы акустоэлектроники) [3], системы идентификации физических характеристик материалов на наномасштабе [4].

Проблемы упругих колебаний наносистем (в особенности атомарно тонких наноструктур из т.н. двумерных материалов: графен, дисульфид молибдена и др. [5]) представляют значительный научный интерес и практическую важность по ряду причин. Во-первых, уникальные физико-механические свойства двумерных материалов [6, 7] обеспечивают возможность эффективной генерации и управления параметрическими и вынужденными колебаниями, в т.ч. по многоузловым собственным формам резонаторов [8, 9]. В частности, открываются возможности фазовой корректировки теплошумовой характеристики резонатора и гигантского параметрического усиления вынужденных колебаний [10–12]. Во-вторых, в связи с малой изгибной жесткостью тонких наноструктур подобные системы являются существенно нелинейными с точки зрения их динамического отклика, что позволяет экспериментально исследовать и использовать в приложениях такие динамические эффекты, как сильное межмодальное взаимодействие в условиях внутренних резонансов [13, 14], направленный перенос и локализация механической энергии на отдельных формах колебаний резонатора [15, 16], нелинейная диссипация [17, 18] и др.

Перспективным направлением разработки наносистем из двумерных материалов является использование уникальных особенностей динамических режимов, задействующих нелинейное резонансное взаимодействие различных мод собственных колебаний резонатора. Известны работы, в которых рассматриваются случаи нелинейного модального взаимодействия между несколькими поперечными формами круглых наномембран [4, 6]. Нелинейная динамика нанополос изучена в значительно меньшей степени. В то же время свойства спектра свободных колебаний прямоугольных натянутых мембран могут приводить к существенно новым эффектам в динамическом поведении таких систем. К примеру, в близкой с механической точки зрения задаче о связанных плоско-изгибных колебаниях микромеханической прямоугольной пластинки был обнаружен режим пульсаций, частотный спектр которого представляет собой т.н. частотную гребенку – серию эквидистантно расположенных спектральных линий [19]. Так был экспериментально продемонстрирован акустомеханический аналог оптических частотных гребенок, формируемых фемтосекундными лазерами с синхронизированными модами [20].

Оптические гребенки как источники стабильного электромагнитного излучения оптического диапазона находят многообразные применения в сложных метрологических и спектроскопических задачах, таких как создание сверхточных часов и спутниковых систем позиционирования, лазерная спектроскопия высокого разрешения, анализ состояния холодных атомов и др. [21, 22] После появления первых экспериментальных реализаций акустомеханических частотных гребенок, называемых также фононными, эта область исследований начала активно развиваться [23]. Ключевым потенциальным преимуществом фононных частотных гребенок на базе наносистем перед их оптическими аналогами является уникальный диапазон возможностей по управлению параметрами генерируемого высокочастотного сигнала за счет существенной нелинейности возбуждаемых режимов колебаний и контролируемой изменяемости в широких пределах динамических характеристик нанорезонаторов, изготовленных из двумерных материалов [24]. Кроме того, принцип генерации фононных частотных гребенок находит оригинальные применения в задачах повышения точности и стабильности работы резонансных нано- и микроэлектромеханических сенсоров [25], а также разработки автономных микромасштабных систем аккумулирования энергии окружающей среды [26]. Несомненный научный и практический интерес представляют и специальные вопросы математического моделирования нелинейной динамики наносистем в режимах генерации частотных гребенок [27].

В настоящей работе исследуется нелинейная динамика прямоугольной атомарно-тонкой нанополосы в условиях внутреннего комбинационного резонанса между двумя поперечными и одной продольной формами колебаний. Рассматривается механизм генерации частотных гребенок на основе предложенной конструкции нанорезонатора в контексте развития неразрушающих методов лазерного термо-оптического возбуждения колебаний упруго-деформируемых наноструктур.

Математическая модель

Рассмотрим задачу о связанных продольно-поперечных колебаниях предварительно натянутой наномасштабной прямоугольной полосы (слоя), изготовленной из двумерного материала. В силу атомарной тонкости слоя, изгибной жесткостью системы можно пренебречь, поэтому в качестве механической модели будем использовать модель мембраны, поле перемещений в которой зависит лишь от одной (продольной) координаты. Графическая схема задачи показана на рис. 1.

Рис. 1. Модель предварительно натянутого нанослоя.

На рис. 1 введены следующие обозначения: S = bh – площадь поперечного сечения слоя; b, h – ширина и высота сечения; ρ, E – объемная плотность и модуль Юнга материала; L₀ и ∆L – длина слоя в ненатянутом начальном состоянии и заданное удлинение соответственно; x – продольная координата, определяемая по отношению к натянутому состоянию слоя; u (x, t ), w(x, t ) – продольная и поперечная компоненты вектора перемещений сечения слоя с координатой x в момент времени t.

Для выведения геометрически нелинейных связанных уравнений продольно-поперечных колебаний нанополосы применим вариационный принцип Гамильтона–Остроградского:

$\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{}}\left(T-V\right)dt=\mathrm{0,}$ (1)

где T и V – кинетическая и потенциальная энергии системы, [t₁, t₂] – произвольный отрезок времени, δ – оператор варьирования.

Кинетическая энергия системы имеет вид

$T=\frac{1}{2}\rho S \underset{0}{\overset{L}{}}\left({\dot{u}}^2+{\dot{w}}^2\right)dx,$ (2)

где интегрирование выполняется по длине слоя L = L₀ + ∆L в его натянутом состоянии.

В предположении малости продольных смещений слоя по отношению к поперечным u = O(w²) продольная компонента тензора упругих деформаций может быть представлена следующим образом:

${\epsilon }_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2.$

Упругая энергия предварительно натянутой полосы с начальной деформацией ε₀ = ∆L / L₀ имеет вид

$V=\frac{1}{2}ES{\epsilon }_0\underset{0}{\overset{L}{}}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^{2}dx+\frac{1}{2}ES\underset{0}{\overset{L}{}}{\left[\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2\right]}^{2}dx.$ (3)

Подстановка (2), (3) в (1) и последующее интегрирование полученных выражений по частям позволяет, с учетом произвольности вариаций δu и δw, вывести следующие дифференциальные уравнения движения упругой полосы, приведенные к безразмерному виду:

$\ddot{\tilde{u}}={\tilde{u}}^{\text{'}\text{'}}+\beta {\tilde{w}}^{\text{'}}{\tilde{w}}^{\text{'}\text{'}},$

$\ddot{\tilde{w}}=\left[{\epsilon }_0+\beta {\tilde{u}}^{\text{'}}+\frac{{\beta }^2}{2}{\left({\tilde{w}}^{\text{'}}\right)}^2\right]{\tilde{w}}^{\text{'}\text{'}}+\beta \ddot{\tilde{u}}{\tilde{w}}^{\text{'}},$ (4)

где

$\tilde{u}=\frac{u}{h}, \tilde{w}=\frac{w}{h}, \tilde{x}=\frac{x}{L},\tau =\frac{t}{t_0}, t_0=\frac{L}{c}, c=\sqrt{\frac{E}{\rho }},$

а также введен безразмерный геометрический параметр $\beta =\frac{h}{L}$.

Здесь и далее за символами (˙) и $\left(\right)\text{'}$ сохранены обозначения производных по безразмерному времени τ и безразмерной продольной координате $\tilde{x}$. В дальнейшем знак $\stackrel{~}{}$ над безразмерными величинами будем опускать.

В случае шарнирного опирания слоя граничные условия имеют вид

$u\left(\mathrm{0,}\tau \right)=u\left(\mathrm{1,}\tau \right)=\mathrm{0,} w\left(\mathrm{0,}\tau \right)=w\left(\mathrm{1,}\tau \right)=0.$  (5)

Анализ возможных резонансных соотношений

Исследуем вопрос о характере свободных колебаний нанополосы при нелинейном модальном взаимодействии между продольными и поперечными формами колебаний. Следуя методу Галёркина, представим решение задачи (4)–(5) в виде

$$\begin{gathered} u\left(x,\tau \right)={\varphi }_n\left(x\right)U_n\left(\tau \right), w\left(x,\tau \right)={\psi }_l\left(x\right)W_l\left(\tau \right)+{\psi }_m\left(x\right)W_m\left(\tau \right), \\ u\left(x,\tau \right)={\varphi }_n\left(x\right)U_n\left(\tau \right), w\left(x,\tau \right)={\psi }_l\left(x\right)W_l\left(\tau \right)+{\psi }_m\left(x\right)W_m\left(\tau \right), \end{gathered}$$  (6)

где ϕ_n (x), ψ_l (x), ψ_m (x) – формы свободных продольных и поперечных колебаний слоя соответственно; U_n(τ), W_l(τ), W_m(τ) – отвечающие им модальные координаты. Отметим, что для принятых граничных условий спектр частот свободных продольных колебаний $\left\{\right.{\widehat{\omega }}_n\left.\right\}$ равен ${\widehat{\omega }}_n=\pi n$; спектр поперечных колебаний ${\omega }_l=\sqrt{{\epsilon }_0}\pi l$.

Предположим, что для некоторого набора индексов (l, m, n) выполняется условие внутреннего комбинационного резонанса: ${\omega }_l+{\omega }_m\approx {\widehat{\omega }}_n$, или, с учетом явных выражений для спектров собственных частот полосы, $\sqrt{{\epsilon }_0}\left(l+m\right)\approx n$. Подчеркнем, что это условие может быть выполнено путем задания соответствующей величины деформации предварительного натяжения слоя ε₀.

Следует отметить, что учет двух мод колебаний в представлении поля поперечных перемещений слоя (6) вызван тем обстоятельством, что, как будет показано далее, нелинейное модальное взаимодействие какой-либо одной формы поперечных колебаний с какой-либо продольной формой для выбранного вида граничных условий не реализуется: соответствующие коэффициенты уравнений в модальных координатах тождественно обнуляются.

Подстановка (6) в (4) и запись проекционных условий позволяет прийти к следующей системе дифференциальных уравнений в модальных координатах:

${\ddot{U}}_n+{\widehat{\omega }}_n^2{U}_n=\beta G_1{W}_l{W}_m,$

${\ddot{W}}_l+{\omega }_l^2{W}_l=\beta G_2{U}_n{W}_m+{\beta }^2\left(G_3{W}_l^3+G_4{W}_l{W}_m^2\right)+\beta G_5{\ddot{U}}_n{W}_m,$

${\ddot{W}}_l+{\omega }_l^2{W}_l=\beta G_2{U}_n{W}_m+{\beta }^2\left(G_3{W}_l^3+G_4{W}_l{W}_m^2\right)+\beta G_5{\ddot{U}}_n{W}_m,$  (7)

${\ddot{W}}_m+{\omega }_m^2{W}_m=\beta G_6{U}_n{W}_l+{\beta }^2\left(G_7{W}_m^3+G_8{W}_m{W}_l^2\right)+\beta G_9{\ddot{U}}_n{W}_l,$

${\ddot{W}}_m+{\omega }_m^2{W}_m=\beta G_6{U}_n{W}_l+{\beta }^2\left(G_7{W}_m^3+G_8{W}_m{W}_l^2\right)+\beta G_9{\ddot{U}}_n{W}_l,$

где G_i – проекционные коэффициенты, общий вид которых для краткости не приводится.

Отметим, что связь между продольной и поперечными формами колебаний определяется числовыми значениями коэффициентов G_i для i = 1, 2, 5, 6, 9. Вычисление этих коэффициентов в зависимости от значений индексов (l, m, n) для случая шарнирного опирания полосы показывает, что они принимают ненулевые значения лишь для некоторых комбинаций номеров вовлекаемых во взаимодействие форм колебаний, а именно при выполнении равенства

$m=l+n.$(8)

Иными словами, для любого наперед заданного номера продольной формы колебаний n нелинейное взаимодействие данной формы будет наблюдаться с любыми двумя формами поперечных колебаний, номера которых l и m связаны указанным соотношением.

Условие (8) позволяет определить величину деформации предварительного натяжения слоя ε₀, которую необходимо обеспечить для реализации внутреннего резонансного взаимодействия рассматриваемой тройки собственных форм с заданными индексами (l, n) (индекс второй поперечной формы m при этом однозначно определяется согласно упомянутому условию). А именно точной настройке на внутренний резонанс соответствует равенство

${\epsilon }_0=\frac{n^2}{{\left(2l+n\right)}^2}.$

График функции ε₀(n, l) показан на рис. 2. Из рисунка видно, что требуемая деформация преднатяжения уменьшается с ростом индекса первой рабочей формы поперечных колебаний и увеличивается с увеличением индекса рабочей формы продольных колебаний. Порядок величины ε₀ находится в области достижимых значений для большинства двумерных материалов, используемых при изготовлении наномеханических систем.

Рис. 2. Натяжение слоя, необходимое для реализации внутреннего комбинационного резонанса.

Исследование нелинейной динамики системы

Для качественного анализа свойств нелинейных колебаний системы (7) выполняется построение асимптотического разложения с помощью метода многих масштабов.

Условие нахождения в области комбинационного резонанса представляется в виде

${\omega }_l+{\omega }_m={\tilde{\omega }}_n+\sigma ,$

где σ(ε₀) – параметр внутренней частотной расстройки.

Применение метода многих масштабов позволяет прийти к системе автономных эволюционных уравнений в медленных (амплитудных) переменных, явный вид которой в сообщении не приводится. С учетом наличия в динамике системы процессов с существенно различными характерными временами, анализ эволюционных уравнений является значительно более эффективным с вычислительной точки зрения.

Выполним численное интегрирование начальных задач Коши для исходной системы и системы в медленных амплитудных переменных при задании различных начальных условий. Везде далее будем рассматривать комбинацию индексов рабочих форм колебаний n = 1, l = 3, m = 4. Представленные в настоящем разделе результаты в размерных переменных получены для прямоугольной полосы, изготовленной из однослойного графена. Геометрические и физико-механические характеристики наносистемы приняты следующими:

$L=3 мкм, h=5 нм, \rho =720\frac{кг}{{м}^3}, E=1000 \sqrt{sa}.$

На рис. 3 показаны осциллограммы колебаний по трем взаимодействующим собственным формам при сообщении системе начального отклонения (деформации) в продольном направлении: U_n(0) = 0.6, W_l(0) = W_m(0) = 10⁻⁵. Рассматривается случай точной настройки на резонанс (σ = 0).

Рис. 3. Режим пульсаций при начальном возбуждении по продольной форме колебаний.

Колебания на рис. 3 имеют вид пульсаций – глубоко модулированных биений релаксационного типа, вызванных периодическим обменом энергией между продольными и поперечными формами движений. Наблюдается замечательное совпадение результатов интегрирования систем в “быстрых” и “медленных” переменных. Как показывает более подробный анализ, режим пульсаций возникает лишь при величинах начального возмущения, превышающих некоторое пороговое значение. Период пульсаций при этом уменьшается с ростом амплитуды начального возмущения, что объясняется механической нелинейностью резонатора – эффектом увеличения поперечной жесткости слоя с ростом амплитуды его поперечных смещений.

Исследуем спектральный состав наблюдаемых динамических режимов. Анализ выполняется с применением дискретного преобразования Фурье к осциллограммам колебаний, вычисленным на базе нелинейных эволюционных уравнений. На рис. 4 показаны спектрограммы колебаний нанослоя при варьировании параметра внутренней частотной расстройки σ(ε₀). Как видно из рис. 4, спектр Фурье исследуемого процесса имеет вид т.н. частотной гребенки – набора эквидистантно расположенных спектральных линий с шагом, равным частоте наблюдаемых во временной области пульсаций. Наблюдается явно выраженный диапазон значений параметра частотной расстройки, внутри которого реализуется вибрационный режим со спектром типа частотной гребенки. Вне этого диапазона колебания по продольной форме колебаний являются одночастотными, а по двум поперечным формам колебаний – двухчастотными с двумя доминирующими гармониками, близкими к соответствующим частотам свободных малых колебаний по данным формам. Ширина указанного диапазона значений параметра σ зависит от амплитуды начального продольного возмущения.

Рис. 4. Спектрограмма колебаний при изменении натяжения слоя.

Следует подчеркнуть, что исследуемые динамические режимы являются существенно нелинейными и поэтому чувствительными к изменению ключевых параметров системы. При этом механическая природа колебаний, приводящих в рассмотренной постановке к генерации частотных гребенок, обеспечивает широкие возможности по управлению этими параметрами и, как следствие, управлению спектральным составом возбуждаемого режима движения. Как показано выше, индексы вовлекаемых в нелинейное взаимодействие форм колебаний системы (l, m, n), а также значение параметра частотной расстройки σ определяется начальным натяжением нанослоя ε₀, величина которого для двумерных материалов может контролируемым образом варьироваться в очень широких пределах. Столь же широки и возможности управления параметрами возбуждения колебаний: наряду с распространенным электростатическим принципом возбуждения, в рассматриваемом случае перспективным является механизм лазерного термо-оптического воздействия на нанополосу [27]. Простота изменения пространственной конфигурации светового пятна лазера и закона излучения во временной области (импульсный, периодический) позволяет эффективно возбуждать как продольные, так и поперечные формы колебаний слоя с различной изменяемостью по его длине.

Заключение

В настоящей работе была предложена и исследована математическая модель связанных нелинейных продольно-поперечных колебаний прямоугольной нанополосы, изготовленной из двумерного материала, в условиях внутреннего комбинационного резонанса между двумя поперечными и одной продольной формами колебаний. Аналитически найдены условия на величину деформации начального натяжения слоя, требуемую для реализации резонанса между формами с заданными индексами изменяемости по длине. Показано, что в условиях внутреннего резонанса в системе возбуждается нелинейный режим свободных колебаний, спектр которого имеет вид частотной гребенки. Исследована зависимость спектрального состава генерируемых частотных гребенок от соотношений между амплитудами начального возмущения по трем взаимодействующим модальным координатам и от величины параметра внутренней частотной расстройки системы. Обнаружено существование определенного диапазона значений преднатяжения слоя в области настройки на комбинационный резонанс, которому соответствует режим частотной гребенки при продольном механизме возбуждения колебаний. Отмечены широкие возможности по управлению характеристиками генерируемой частотной гребенки на основе механических колебаний нанослоя путем изменения величины его начального натяжения и пространственной конфигурации светового пятна лазерного термо-оптического источника возбуждения.

Источник финансирования

Исследование частично финансируется Министерством науки и высшего образования Российской Федерации в рамках программы Исследовательского центра мирового уровня: “Передовые цифровые технологии” (соглашение №075-15-2020-311 от 20.04.2022).

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

About the authors

А. V. Lukin

Author for correspondence.
Email: lukin_av@spbstu.ru
Russian Federation, Saint-Petersburg

I. A. Popov

Email: lukin_av@spbstu.ru
Russian Federation, Saint-Petersburg

O. V. Privalova

Email: lukin_av@spbstu.ru
Russian Federation, Saint-Petersburg

L. V. Shtukin

Email: lukin_av@spbstu.ru
Russian Federation, Saint-Petersburg

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Model of a pre-stretched nanolayer.

Download (68KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Layer tension required to implement internal combination resonance.

Download (278KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Pulsation mode at initial excitation according to the longitudinal oscillation mode.

Download (339KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. Spectrogram of oscillations with changes in layer tension.

Download (713KB)

Indexing metadata

Presented by Academician of the RAS N.F. Morozov