Отправить статью по E-mail Об алгебраических свойствах разностных приближений гамильтоновых систем
- Авторы: Лапшенкова Л.О.1, Малых М.Д.1,2, Матюхина Е.Н.1
-
Учреждения:
- Российский университет дружбы народов
- Объединённый институт ядерных исследований
- Выпуск: Том 33, № 3 (2025)
- Страницы: 260-271
- Раздел: Математическое моделирование
- URL: https://bakhtiniada.ru/2658-4670/article/view/348821
- DOI: https://doi.org/10.22363/2658-4670-2025-33-3-260-271
- EDN: https://elibrary.ru/HGYTWX
- ID: 348821
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В этой работе мы рассмотрим разностные аппроксимации динамических систем с полиномиальными гамильтонианами, в частности, сосредоточив внимание на случаях, когда эти аппроксимации устанавливают бирациональные соответствия между начальным и конечным состояниями системы. Разностные аппроксимации обычно используются численными методами для моделирования эволюции сложных систем, и при применении к гамильтоновой динамике они обладают уникальными алгебраическими свойствами, обсулолвленными полиномиальной структуры гамильтона. Наш подход включает анализ условий, при которых эти аппроксимации сохраняют ключевые черты гамильтоновой системы, такие как сохранение энергии и сохранение фазово-пространственного объёма. Исследуя алгебраическую структуру бирациональных отображений, вызванных этими приближениями, мы стремимся дать представление об устойчивости и точности численного моделирования в сравнении с поведением исходных гамильтоновых систем. Представленные результаты направлены на разработку эффективных и точных числовых схем, которые сохраняют существенные свойства полиномиальных гамильтоновых систем с течением времени.
Ключевые слова
Об авторах
Л. О. Лапшенкова
Российский университет дружбы народов
Email: lapshenkova_lo@pfur.ru
ORCID iD: 0000-0002-1053-4925
PhD student of the chair of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence
ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская ФедерацияМ. Д. Малых
Российский университет дружбы народов; Объединённый институт ядерных исследований
Автор, ответственный за переписку.
Email: malykh_md@pfur.ru
ORCID iD: 0000-0001-6541-6603
Scopus Author ID: 6602318510
ResearcherId: P-8123-2016
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the department of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence of RUDN University and research fellow of LIT JINR
ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, 141980, Российская ФедерацияЕ. Н. Матюхина
Российский университет дружбы народов
Email: matykhina_en@pfur.ru
Senior lecturer of the chair of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация
Список литературы
- Butcher, J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations (Wiley, 2008).
- Sanz-Serna, J. & Abia, L. Order conditions for canonical Runge-Kutta schemes. SIAM Journal on Numerical Analysis 28, 1081-1096 (1991).
- Wisdom, J. & Holman, M. Symplectic maps for the N-body problem. The Astronomical Journal 102, 152-164. doi: 10.1086/117903 (1996).
- Leimkuhler, B. & Reich, S. Simulating Hamiltonian dynamics 14th ed. (Cambridge University Press, 2004).
- Hairer, E., Lubich, C. & Wanner, G. Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (Springer, 2006).
- Berzins, M. Symplectic Time Integration Methods for the Material Point Method, Experiments, Analysis and Order Reduction. 14th WCCM-ECCOMAS Congress (2021).
- Hairer, E., Lubich, C. & Wanner, G. Symplectic Runge-Kutta methods. Acta Numerica, 211-266. doi: 10.1017/S096249290500008X (2006).
- Neishtadt, A. I. On the behavior of Hamiltonian systems under small perturbations. English. Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics 40, 547-556. doi: 10.1070/IM1991v040n03ABEH002018 (1991).
- Candy, J. & Cary, J. R. Symplectic Particle-in-Cell Algorithms. Journal of Computational Physics 174, 118-143. doi: 10.1006/jcph.2001.6771 (2001).
- Severi, F. Lezioni di geometria algebrica (Angelo Graghi, Padova, 1908).
- Dattani, N. Quadratization in discrete optimization and quantum mechanics 2019. ArXiv: 1901.04405.
- Malykh, M., Gambaryan, M., Kroytor, O. & Zorin, A. Finite Difference Models of Dynamical Systems with Quadratic Right-Hand Side. Mathematics 12, 167 (2024).
- Feynman, R. P. Feynman lectures on computation Expanded edition (ed Hey, A. J.) trans. by Hey, T. (CRC Press, Boca Raton, FL, 2018).
- Quispel, G. R. W., McLaren, D. & Evripidou, C. Deducing properties of ODEs from their discretization 2021. ArXiv: 2104.05951.
- Petrera, M. & Suris, Y. New results on integrability of the Kahan-Hirota-Kimura discretizations 2018.
- Bogfjellmo, G., Celledoni, E., Robert, I. M., O., B. & Reinout, Q. Using aromas to search for preserved measures and integrals in Kahan’s method. Math. Comput. 93, 1633-1653 (2022).
- Petrera, M., Smirin, J. & Suris, Y. Geometry of the Kahan discretizations of planar quadratic Hamiltonian systems. Proceedings of the Royal Society A 475 (2018).
- Kahan, W. Pracniques: further remarks on reducing truncation errors. Communications of the ACM 8, 40 (1965).
- Bychkov, A. & Pogudin, G. Optimal Monomial Quadratization for ODE Systems in Combinatorial Algorithms (eds Flocchini, P. & Moura, L.) 122-136 (Springer International Publishing, Cham, 2021). doi: 10.1007/978-3-030-85550-5_8.
- Bychkov, A. Qbee https://github.com/AndreyBychkov/QBee. 2021.
- Celledoni, E., D I McLaren, D., Owren, B. & Quispel, G. R. W. Integrability properties of Kahans method. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 47 (2014).
- Malykh, M., Ayryan, E., Lapshenkova, L. & Sevastianov, L. Difference Schemes for Differential Equations with a Polynomial Right-Hand Side, Defining Birational Correspondences. Mathematics 12, 2725. doi: 10.3390/math12172725 (2024).
- McLachlan, R. & Quispel, G. R. W. A Survey of Symplectic Integrators. Acta Numerica 11, 341- 387. doi: 10.1017/S0962492902000075 (2002).
- Iserles, A. & Nørsett, S. P. Symplectic Integrators for Hamiltonian Systems. SIAM Journal on Numerical Analysis 39, 1-20. doi: 10.1137/S0036142900366583 (2001).
- Leimkuhler, D. & Reich, S. Numerical Methods for Hamiltonian Systems. Acta Numerica 13, 1- 50. doi: 10.1017/S0962492904000010 (2004).
- Rerikh, K. V. General Approach to Integrating Invertible Dynamical Systems Defined by Transformations from the Cremona group Cr (P kn) of Birational Transformations. Mathematical Notes 68, 594-601 (2000).
Дополнительные файлы
