Hydromechanical analogy for calculating kinematic parameters of liquid moles

Толық мәтін

Введение

Расчет кинематических характеристик волновых процессов, возникающих от действия ветровой нагрузки на поверхности водохранилищ [8], связан с определением величин перемещений, скоростей и ускорений частиц жидкости, которые в гидромеханике именуются жидкими молями. Для упрощения расчета кинематических характеристик жидких частиц в качестве начального приближения может быть использована гидромеханическая аналогия [7]. В связи с тем что в линейной модели волн Эри [2] под возмущенной волновой свободной поверхностью воды жидкие частицы описывают эллиптические траектории, движение отдельных точек кривошипно-шатунного механизма может служить основой отмеченной гидромеханической аналогии [1].

В процессе расчета для определения кинематических параметров предложена аналогия между движением жидкого моля непосредственно под свободной поверхностью волны Эри [4] и движением кривошипа кривошипно-шатунного механизма [9]. Аналогия обоснована тем, что под поверхностью волны концевая точка кривошипа совершает движения по окружности. По мере погружения жидкого моля окружность преобразуется в эллипс и в пределе при больших глубинах жидкий моль начинает совершать только горизонтальные колебания.

Далее в автоматизированном режиме в результате символьных преобразований [10] определяются траектория, скорость и ускорение конца кривошипа и середины М шатуна, скорость и ускорение поршня кривошипно-шатунного механизма.

Цель работы состоит в разработке автоматизированной модели расчета кинематических характеристик жидких частиц при волновых процессах на поверхности водоема на основе гидромеханической аналогии с кривошипно-шатунным механизмом.

Математическое моделирование

В процессе математического моделирования составляются уравнения движения конца кривошипа в системе декартовых координат. Траекторией точки конца кривошипа является окружность, центр которой совпадает с началом координат.

В начальный момент задается положение точки конца кривошипа, а затем устанавливается, что абсцисса положения этой точки убывает со временем, а ордината, напротив, возрастает, будучи положительной [9]. Следовательно, движение рассматриваемой точки происходит по окружности против часовой стрелки.

Затем определяются проекции вектора скорости конца кривошипа на координатные оси путем дифференцирования ее координат по времени. Отсюда находится модуль вектора скорости этой точки, который не зависит от времени. Направление вектора скорости вычисляется как отношение найденных компонентов скоростей к модулю вектора скорости.

Вектор скорости в точке конца кривошипа перпендикулярен к радиусу-вектору указанной точки. Проекции вектора ускорения этой точки на координатные оси получены дифференцированием по времени. Модуль вектора ускорения не меняется с течением времени. Таким образом, несмотря на постоянство модуля вектора скорости точки, вектор ускорения этой точки не обращается в нуль. Это объясняется тем, что движение точки происходит по криволинейной траектории и вектор скорости все время изменяет свое направление.

Затем найдено направление вектора ускорения, которое показывает, что при равномерном движении точки конца кривошипа по окружности вектор ее ускорения направлен вдоль кривошипа к центру окружности.

На следующем этапе расчета определяются траектория, скорость и ускорение точки центра шатуна. После определения уравнений движения точки центра шатуна, возведения их в квадрат и сложения выводится уравнение траектории этой точки. Из формы уравнения следует, что траектория представляет собой эллипс.

Дифференцирование уравнения движения точки центра шатуна по времени дает проекции вектора скорости этой точки на координатные оси. Отсюда находится модуль вектора скорости, который меняется с течением времени.

В результате дифференцирования декартовых компонент скорости центра шатуна по времени определяются проекции вектора ускорения на координатные оси.

Из анализа следует, что модуль вектора ускорения точки меняется пропорционально ее расстоянию от начала координат, т.е. от центра эллипса.

Затем устанавливается, что направление вектора ускорения части шатуна от его центра до ползуна совпадает с направлением от центра шатуна к оси вращения кривошипа.

Далее составляется уравнение движения поршня и на его основе в результате дифференцирования по времени находятся скорость и ускорение движения поршня в проекциях на оси исходной декартовой системы координат.

Поршень из исходного положения движется ускоренно. Найденные кинематические уравнения движения шатуна служат основой для расчета кинематики и динамики движения жидких частиц в соответствии с линейной теорией волн Эри.

Ниже приведен листинг автоматизированного вывода уравнений в соответствии с изложенным алгоритмом в символьном режиме среды Mathcad [5].

Определим траекторию, скорость и ускорение конца A кривошипа OA и середины М шатуна АВ, а также скорость и ускорение поршня В кривошипно-шатунного механизма (см. рисунок), если $OA=AB=2a$, а угол $\phi$ при вращении кривошипа растет пропорционально времени: $\phi =\omega t$, где $\omega =const$ и $\omega >0$.

 

Кинематика кривошипно-шатунного механизма

Kinematics of the crank mechanism

 

Угловая частота вращения кривошипа ${\omega }_{Т},\text{ рад}/\text{c}$.

Угол положения кривошипа относительно оси абсцисс, рад, $\phi \left(t\right):={\omega }_T\cdot t$, $\phi \left(t\right)\to t\cdot {\omega }_T.$

Длина кривошипа, м, $OA:=2\cdot a.$

Длина шатуна, м, $AB:=2\cdot a.$

Сначала составляются уравнения движения конца А кривошипа ОА в системе декартовых координат x и y с началом в точке О.

Обозначая координаты точки А через $x_A$ и $y_A$, находим

$x_A\left(t\right):OA\cdot \cos \left(\phi \left(t\right)\right),$

$x_A\left(t\right)\to 2\cdot a\cdot \cos \left(t\cdot {\omega }_T\right);$

$y_A\left(t\right):OA\cdot \sin \left(\phi \left(t\right)\right),$

$y_A\left(t\right)\to 2\cdot a\cdot \sin \left(t\cdot {\omega }_T\right).$

Для определения траектории точки А возведем эти уравнения в квадрат и сложим. Тогда получим

$x_A{\left(t\right)}^2+y_A{\left(t\right)}^2\text{simplify}\to 4\cdot a^2.$

Следовательно, траекторией точки А является окружность радиуса а, центр которой совпадает с началом координат.

В начальный момент при $t=0$ запишем $x_A=a$, $y_A=0$. Движущаяся точка A находится в положении точки С.

При возрастании времени t от 0 до $\frac{\pi }{2\omega }$ функция $x_A=2a\cos \omega t$ убывает, а $y_A$ возрастает, будучи положительной. Следовательно, движение точки А по окружности происходит против часовой стрелки.

Проекции вектора скорости ${\overline{v}}_A$ точки А на координатные оси получим, дифференцируя $x_A$ и $y_A$ по времени t:

$v_{Ax}\left(t\right)\cdot \left(\frac{d}{dt}{x}_A\left(t\right)\right)v_{Ax}\left(t\right)\to -2\cdot a\cdot {\omega }_T\cdot \sin \left(t\cdot {\omega }_T\right),$

$v_{Ay}\left(t\right)\cdot \left(\frac{d}{d}{y}_A\left(t\right)\right) v_{Ay}\left(t\right)\to 2\cdot a\cdot {\omega }_T\cdot \cos \left(t\cdot {\omega }_T\right).$

Отсюда находим модуль вектора скорости

$v_A\left(t\right)\cdot \sqrt{v_{Ax}{\left(t\right)}^2+v_{Ay}{\left(t\right)}^2}{v}_A\left(t\right)\text{simplify}\to 2\cdot \sqrt{a^2\cdot {\omega }_T^2},$

т.е. модуль вектора скорости $v_A$ не меняется с течением времени. Направление вектора скорости ${\overline{v}}_A$

$\frac{v_{Ax}\left(t\right)}{v_A\left(t\right)}\left|\begin{array}{c}simplify\\ substitute, a\cdot \omega =\sqrt{a^2\cdot {\omega }^2}\end{array}\to -\frac{a\cdot {\omega }_T\cdot \sin \left(t\cdot {\omega }_T\right)}{\sqrt{a^2\cdot {\omega }_T^2}}\right.,$

$\frac{v_{Ay}\left(t\right)}{v_A\left(t\right)}\left|\begin{array}{c}simplify\\ substitute, a\cdot \omega =\sqrt{a^2\cdot {\omega }^2}\end{array}\to \frac{a\cdot {\omega }_T\cdot \cos \left(t\cdot {\omega }_T\right)}{\sqrt{a^2\cdot {\omega }_T^2}}\right..$

Вектор скорости ${\overline{v}}_A$ перпендикулярен радиусу-вектору $\overline{OA}$ точки A.

Проекции вектора ускорения ${\overline{w}}_A$ точки A на координатные оси получим, дифференцируя $v_{Ax}$ и $v_{Ay}$ времени t:

$w_{Ax}\left(t\right)\cdot \frac{d}{dt}{v}_{Ax}\left(t\right),$

$w_{Ax}\left(t\right)\to -2\cdot a\cdot {\omega }_T^2\cdot \cos \left(t\cdot {\omega }_T\right);$

$w_{Ay}\left(t\right)\cdot \frac{d}{dt}{v}_{Ay}\left(t\right),$

$w_{Ay}\left(t\right)\to -2\cdot a\cdot {\omega }_T^2\cdot \sin \left(t\cdot {\omega }_T\right).$

Отсюда находим модуль вектора ускорения ${\overline{w}}_A$:

$w_A\cdot \sqrt{w_{Ax}{\left(t\right)}^2+w_{Ay}{\left(t\right)}^2}{w}_A\text{simplify}\to 2\cdot \sqrt{a^2\cdot {\omega }_T^4}.$

Модуль вектора ускорения ${\overline{w}}_A$ также не меняется с течением времени. Таким образом, несмотря на постоянство модуля вектора скорости ${\overline{v}}_A$ точки A, вектор ускорения ${\overline{w}}_A$ этой точки не обращается в нуль. Это объясняется тем, что движение точки A происходит по криволинейной траектории и вектор скорости ${\overline{v}}_A$ все время изменяет свое направление.

Направление вектора ускорения ${\overline{w}}_A$

$\frac{w_{Ax}\left(t\right)}{w_A\left(t\right)}\left|\begin{array}{c}substitute\mathrm{,1}=\sin {\left(\omega \cdot t\right)}^2+\cos {\left(\omega \cdot t\right)}^2\\ substitute, a\cdot {\omega }^2=\sqrt{a^2\cdot {\omega }^4}\end{array}\to -\frac{a\cdot {\omega }_T^2\cdot \cos \left(t\cdot {\omega }_T\right)}{\sqrt{a^2\cdot {\omega }_T^4}}\right.,$

$\frac{w_{Ay}\left(t\right)}{w_A\left(t\right)}\left|\begin{array}{c}substitute\mathrm{,1}=\sin {\left(\omega \cdot t\right)}^2+\cos {\left(\omega \cdot t\right)}^2\\ substitute, a\cdot {\omega }^2=\sqrt{a^2\cdot {\omega }^4}\end{array}\to -\frac{a\cdot {\omega }_T^2\cdot \sin \left(t\cdot {\omega }_T\right)}{\sqrt{a^2\cdot {\omega }_T^4}}\right..$

Отсюда нетрудно установить, что при рассматриваемом равномерном движении точки A по окружности ее вектор ускорения ${\overline{w}}_A$ направлен вдоль AO к центру окружности.

Теперь определим траекторию, скорость и ускорения точки M шатуна АВ. Начинаем с определения уравнений движения точки М. Обозначая координаты точки М через $x_A$ и $y_A$, находим

$x_M\left(t\right)\cdot 2\cdot a\cdot \cos \left(\phi \left(t\right)\right)+a\cdot \cos \left(\phi \left(t\right)\right)x_M\left(t\right)\text{ simplify}\to 3\cdot a\cdot \cos \left(t\cdot {\omega }_T\right),$

$y_M\left(t\right)\cdot a\cdot \sin \left(\phi \left(t\right)\right)y_M\left(t\right)\to a\cdot \sin \left(t\cdot {\omega }_T\right).$

Возводя обе части этих уравнений в квадрат и сложив их, получим уравнение траектории точки M:

$\left[{\left(\frac{x_M\left(t\right)}{3\cdot a}\right)}^2+{\left(\frac{y_M\left(t\right)}{a}\right)}^2\right]\text{simplify}\to 1.$

Следовательно, траектория точки М – эллипс с полуосями 3a и а.

Дифференцируя уравнения движения точки М по времени t, получим проекции вектора скорости ${\overline{v}}_M$ этой точки на координатные оси:

$v_{Mx}\left(t\right)\cdot \frac{d}{dt}{x}_M\left(t\right),$

$v_{Mx}\left(t\right)\to -3\cdot a\cdot {\omega }_T\cdot \sin \left(t\cdot {\omega }_T\right);$

$v_{My}\left(t\right)\cdot \frac{d}{dt}{y}_M\left(t\right),$

$v_{My}\left(t\right)\to a\cdot {\omega }_T\cdot \cos \left(t\cdot {\omega }_T\right).$

Отсюда находим модуль вектора ускорения ${\overline{v}}_M$

$v_M\left(t\right)\cdot \sqrt{v_{Mx}{\left(t\right)}^2+v_{My}{\left(t\right)}^2}{v}_M\left(t\right)\to \sqrt{a^2\cdot {\omega }_T^2\cdot \cos {\left(t\cdot {\omega }_T\right)}^2+9\cdot a^2\cdot {\omega }_T^2\cdot \sin {\left(t\cdot {\omega }_T\right)}^2},$

т.е. модуль вектора скорости меняется с течением времени от $v_{\text{min}}=a\omega$ до $v_{\text{max}}=3a\omega$.

Дифференцируя значения $v_{Mx}$ и $v_{My}$ по времени t, определим проекции вектора ускорения ${\overline{w}}_M$ на координатные оси:

$w_{Mx}\left(t\right)\cdot \frac{d^2}{d{t}^2}{x}_M\left(t\right),$

$w_{Mx}\left(t\right)\text{simplify}\to -3\cdot a\cdot {\omega }_T^2\cdot \cos \left(t\cdot {\omega }_T\right);$

$w_{My}\left(t\right)\cdot \frac{d^2}{d{t}^2}{y}_M\left(t\right),$

$w_{My}\left(t\right)\to -a\cdot {\omega }_T^2\cdot \sin \left(t\cdot {\omega }_T\right).$

Введем новые обозначения для компонент ускорений:

$x\left(\text{t}\right):=\text{–3}\cdot \text{a}\cdot {\text{ω}}^{\text{2}}\cdot \text{cos}\left(\text{ω}\cdot \text{t}\right)\text{y}\left(t\right):=-a\cdot {\omega }^2\cdot \sin \left(\omega \cdot t\right).$

Тогда после подстановки определенных выше значений координат точки M

$x_M\left(t\right)\to 3\cdot a\cdot \cos \left(t\cdot {\omega }_T\right)y_M\left(t\right)\to a\cdot \sin \left(t\cdot {\omega }_T\right)$

запишем

$x{"}_M\left(t\right)c-{\omega }^2\cdot x_M\left(t\right)y{"}_M\left(t\right):=-{\omega }^2\cdot y_M\left(t\right).$

Отсюда находим модуль вектора ускорения ${\overline{w}}_M:$

${\omega }_M\left(t\right):=\sqrt{v_{Mx}{\left(t\right)}^2+{\omega }_{My}{\left(t\right)}^2}{\omega }_M\left(t\right)\to \sqrt{9\cdot a^2\cdot {\omega }_T^4\cdot \cos {\left(t\cdot {\omega }_T\right)}^2+a^2\cdot {\omega }_T^4\cdot \sin {\left(t\cdot {\omega }_T\right)}^2},$

или

${\omega }_{M.}\left(t\right):=\sqrt{{\left(-{\omega }^2\cdot x_{M.}\left(t\right)\right)}^2+{\left(-{\omega }^2\cdot y_{M.}\left(t\right)\right)}^2}\text{ simplify}\to \sqrt{{\omega }^4\cdot \left(x_{M.}{\left(t\right)}^2+y_{M.}{\left(t\right)}^2\right)},$

где r – модуль радиуса-вектора r точки М, проведенного из начала координат О до точки М. Модуль вектора ускорения точки М меняется пропорционально ее расстоянию от начала координат О, т.е. от центра эллипса.

Направление вектора ускорения W_M определим, используя равенства

$r\left(t\right):=\sqrt{x_M{\left(t\right)}^2+y_M{\left(t\right)}^2}{w}_{Mx.}:=x_{M.}\cdot {\omega }^2{w}_{My.}:=y_{M.}\cdot {\omega }^2{w}_{M.}:=r\cdot {\omega }^2.$

$\cos \left(w_{M\_i}\right):=\frac{w_{Mx.}\left(t\right)}{w_{M.}\left(t\right)}\cos \left(w_{M_i}\right)\to \frac{x_{M.}\left(t\right)}{r\left(t\right)},$

$\cos \left(w_{M\_j}\right):=\frac{w_{My.}\left(t\right)}{w_{M.}\left(t\right)}\cos \left(w_{M_j}\right)\to \frac{y_{M.}\left(t\right)}{r\left(t\right)}.$

Отсюда находим, что вектор ускорения ${\overline{w}}_M$ движущейся точки М направлен вдоль МО к центру эллипса.

Составим теперь уравнение движения поршня B. Обозначая абсциссу точки В через $x_B$, находим $x_B=4a cos\phi$, или, подставляя $\phi =\omega t$,

$x_B\left(t\right):=4\cdot a\cdot \cos \left(\omega \cdot t\right).$

Это уравнение и определяет уравнение движения поршня В.

В следующих модулях расчета круговая частота переобозначается в виде

${\omega }_T:=\omega .$

Найдем теперь скорость и ускорение поршня В. Дифференцируя уравнение движения поршня по времени, получаем проекцию вектора скорости ${\overline{v}}_B$ поршня на ось Ox:

$v_{Bx}\left(t\right):=\frac{d}{dt}{x}_B\left(t\right),$

$v_{Bx}\left(t\right)\to -4\cdot a\cdot \omega \cdot \sin \left(\omega \cdot t\right).$

Знак «минус» показывает, что вектор скорости ${\overline{v}}_B$ в данный момент направлен в сторону, обратную положительному направления оси Ох.

Проекцию вектора ускорения ${\overline{w}}_B$ поршня на ось Ох получим, дифференцируя $v_{Bx}$ по времени t:

$w_{Bx}\left(t\right):=\frac{d^2}{d{t}^2}{x}_B\left(t\right),$

$w_{Bx}\left(t\right)\to -4\cdot a\cdot {\omega }^2\cdot \cos \left(\omega \cdot t\right).$

Знаки $v_{Bx}$ и $w_{Bx}$ указывают направление векторов скорости ${\overline{v}}_B$ и ускорения ${\overline{w}}_B$.

Поршень из рассматриваемого положения движется ускоренно.

Выводы

Для анализа волновых процессов на свободной поверхности акваторий при условии возникновения ветровых волн малой амплитуды предложена гидромеханическая аналогия. В качестве механизма-аналога выбран кривошипно-шатунный механизм, отдельные точки которого описывают эллиптические траектории подобно частицам жидкости в процессе формирования волн Эри [6]. Для выделенных точек, включающих конец кривошипа, центры шатуна и поршня, определены траектории движения при условии равномерного вращения кривошипа. Установлено, что траекторией движения конца кривошипа является окружность, траекторией центра шатуна – эллипс, а центра поршня – прямая линия. В процессе расчетов в символьном режиме вычисляются координаты перечисленных трех точек в функции от времени, в результате дифференцирования позволяющие определить проекции скоростей на оси координат, найти величину модуля вектора скорости и его направление. Повторное дифференцирование скорости по времени определяет компоненты проекций ускорения, его модуль и направление. Для оценки геометрических, кинематических и динамических характеристик наиболее важны параметры движения центра шатуна, которые аналогичны движению жидких частиц под возмущенной свободной поверхностью воды [3].

Авторлар туралы

Anatolii Pozdeev

Volga State University of Technology

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: PozdeevAG@volgatech.net

Doctor of Engineering Sciences, Professor of Civil Engineering and Water Supply Department, Advisor of the Russian Academy of Architecture and Construction Sciences. Research interests – modelling channel processes in hydrosystem tailraces, mathematical modeling in hydrodynamics and ecology, automation of calculation of water, gas and heat supply systems in construction. Author of more than 130 publications including 10 monographs, 13 student manuals, 11 patents and certificates for inventions.

Ресей, Yoshkar-Ola

Iuliia Kuznetsova

Volga State University of Technology

Email: KuznecovaYA@volgatech.net

Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor of Civil Engineering and Water Supply Department. Research interests – research and modeling of channel processes in hydrosystem tailraces, mathematical modeling in hydrodynamics and ecology. Author of 87 publications including 5 monographs, 12 student manuals and patent of the Russian Federation.

Ресей, Yoshkar-Ola

Vitalii Kotlov

Volga State University of Technology

Email: KotlovVG@volgatech.net

Advisor of the Russian Academy of Architecture and Construction Sciences, Doctor of Engineering Sciences, Associate Professor of Civil Engineering and Water Supply Department, Vice Rector for Education. Research interests – connections of elements in wooden structures; heat and mass transfer. Author of 130 publications including monograph, 6 student manuals, 8 certificates and patents of the Russian Federation, and 13 utility model patents.

Ресей, Yoshkar-Ola

Iuliia Kuznetsova

Volga State University of Technology

Email: GadzhievGM@volgatech.net

Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor of the Department of Machinery and Equipment Operation. Research interests – research and modeling of oil and gas supply of enterprises and civil buildings, mathematical modeling in the field of machinery and technology of the forest industry. Author of 37 publications, including monograph, 13 student manuals and 4 patents of the Russian Federation.

Ресей, Yoshkar-Ola

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар