On the theory of innovation diffusion that takes into account variations in imitation coefficients and the nonlinear nature of saturation of the total market volume

全文:

Введение

Совершенствование методов прогнозирования освоения рыночного пространства инновационными товарами, обладающими принципиально новыми свойствами, представляет собой одну из наиболее актуальных проблем современной экономической теории.

В условиях динамично изменяющихся рынков и усиления конкуренции разработка точных и надежных инструментов для анализа и прогнозирования процессов диффузии инноваций становится ключевым фактором успешного управления инновационной деятельностью.

Создание новых экономико-математических моделей, способных адекватно отражать реальные процессы распространения инноваций, позволяет решать широкий спектр задач, связанных с оценкой скорости роста продаж инновационных товаров, анализом изменения потребительских предпочтений, учетом влияния расширения или сужения рыночного пространства, а также расчетом параметров захвата рынков новыми продуктами [1–6].

Такие модели являются важным инструментом для принятия стратегических решений в области маркетинга, управления производством и разработки инновационной политики.

В настоящее время широко используются классические модели диффузии инноваций, такие как модель Басса, которые предполагают, что коэффициенты имитации, описывающие рост числа потребителей-имитаторов, являются постоянными величинами.

Кроме того, в этих моделях процесс насыщения рынка часто рассматривается как линейный. Однако такие допущения не всегда соответствуют реальным условиям, особенно в случае товаров с принципиально новыми свойствами, где динамика потребительского поведения может быть нелинейной и зависеть от множества факторов, включая изменение числа потенциальных покупателей, влияние маркетинговых стратегий и внешних экономических условий [7–12].

Разработка новых математических моделей, в которых коэффициенты имитации зависят от числа потребителей-имитаторов, а процесс насыщения рынка описывается нелинейными функциями, позволяет более точно оценивать скорость роста продаж инновационных товаров, прогнозировать показатели захвата рынков, а также рассчитывать временные интервалы стагнации или снижения продаж.

Особенность предлагаемой модели заключается в учете изменения во времени следующих параметров:

• общего числа потенциальных покупателей —в отличие от классических моделей, где этот показатель считается фиксированным, в новой модели он может варьироваться в зависимости от внешних и внутренних факторов;
• числа покупателей-новаторов —потребителей, которые первыми приобретают инновационный товар;
• числа покупателей-имитаторов —потребителей, которые принимают решение о покупке под влиянием других покупателей.

Кроме того, модель способна описывать различные сценарии заполнения рынка инновационным товаром, включая случаи, когда рынок достигает насыщения, а также ситуации, когда наблюдается снижение спроса или стагнация продаж.

Целью данной работы является разработка новой экономико-математической модели диффузии инноваций, которая учитывает нестабильное поведение потребителей и позволяет более точно прогнозировать динамику продаж инновационных товаров.

Модель представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, что позволяет учитывать сложные взаимосвязи между параметрами рынка и поведением потребителей.

Основные преимущества модели:

1. Гибкость —модель позволяет учитывать изменение числа потенциальных покупателей, что делает ее применимой для анализа рынков с нестабильной динамикой.
2. Нелинейность —учет нелинейных процессов насыщения рынка позволяет более точно прогнозировать динамику продаж.
3. Адаптивность —модель может быть адаптирована для анализа различных типов инновационных товаров и рыночных условий.

Разработанная модель может быть использована для:

• прогнозирования динамики продаж инновационных товаров;
• оценки влияния маркетинговых стратегий на процесс диффузии инноваций;
• анализа факторов, влияющих на скорость захвата рынка новыми продуктами;
• принятия решений в области управления инновационной деятельностью и разработки стратегий вывода новых товаров на рынок.

Совершенствование методов прогнозирования освоения рыночного пространства инновационными товарами с принципиально новыми свойствами является важным направлением развития экономической теории.

Разработка новых экономико-математических моделей, учитывающих нелинейные процессы и нестабильное поведение потребителей, позволяет более точно анализировать и прогнозировать динамику продаж, что способствует повышению эффективности управления инновационной деятельностью и укреплению конкурентных позиций компаний на рынке.

Уравнения динамики диффузии инноваций с переменными коэффициентами имитации и нелинейным насыщением общего объема рынка

Пусть на некотором рынке товаров и услуг появляется и распространяется принципиально новый продукт, товар или услуга.

Обозначим общий объем рынка $U_{\infty }$ — общее число потенциальных покупателей рассматриваемого товара, $U\left(t\right)$ — число покупателей этого товара в текущий момент времени $t$.

Ограниченная функция $U\left(t\right)$

$\begin{array}{c}0⩽U\left(t\right)⩽U_{\infty }\end{array}$

непрерывного аргумента $t$ принимается непрерывной и непрерывно дифференцируемой на временном интервале $(0⩽t<\infty )$.

Для составления уравнения динамики диффузии инноваций рассмотрим приращение числа покупателей инновационного товара $\Delta U\left(t\right)=U(t+\Delta )-U\left(t\right)$ за некоторый промежуток времени $\Delta t$, которое можно представить в виде двух слагаемых

$\begin{array}{c}\Delta U\left(t\right)=\Delta U^N\left(t\right)+\Delta U^I\left(t\right) \end{array}$(1)

Здесь $\Delta U^N\left(t\right)$ — частичное приращение числа покупателей-новаторов, ориентирующихся на рекламу и средства массовой информации, за промежуток времени $\Delta t$; $\Delta U^I\left(t\right)$ — частичное приращение числа покупателей-имитаторов, полагающихся на отзывы уже совершивших приобретение людей, за промежуток времени $\Delta t$.

Величины $\Delta U^N\left(t\right)$, $\Delta U^I\left(t\right)$ можно представить в виде

$\left\{\begin{array}{l}\Delta U^N\left(t\right)=A\cdot F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)\cdot \Delta t\mathrm{,}\\ \Delta U^I\left(t\right)=B\left(U\left(t\right)\right)\cdot F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)\cdot \Delta t\mathrm{.}\end{array}\right.$ (2)

Здесь

$A=a\cdot U_{\infty }$ — фиксированная доля покупателей-новаторов общего числа потенциальных покупателей $U_{\infty }, a$ —постоянный коэффициент инновации;

$B=B\left(U\left(t\right)\right)$ — доля покупателей-имитаторов от числа покупателей уже совершивших покупку $U\left(t\right)$;

$F=F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)$ — безразмерная функция, описывающая нелинейный процесс насыщения рынка инновационным товаром.

Подставляя формулы (2) в соотношение (1), находим

$\begin{array}{c}\Delta U\left(t\right)=\left(A+B\left(U\left(t\right)\right)\right)\cdot F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)\cdot \Delta t\mathrm{.}\end{array}$ (3)

Переходя в соотношении (3) к пределу при $\Delta t\to 0$, находим нелинейное дифференциальное уравнение

$\begin{array}{c}\frac{dU\left(t\right)}{dt}=\left(A+B\left(U\left(t\right)\right)\right)\cdot F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)\mathrm{.}\end{array}$ (4)

Если доля покупателей-имитаторов возрастает пропорционально числу покупателей уже совершивших покупку, то функция $B=b\cdot U$ является линейной относительно переменной $U$, с постоянным коэффициентом имитации $b=const$.

Если процесс роста доли покупателей-имитаторов не является пропорциональным, то функция $B=B\left(U\right)$ будет отклоняться от линейной функции $B=b\cdot U$ либо в сторону увеличения, либо в сторону уменьшения.

Такие отклонения функции доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ можно описать с помощью величины её эластичности.

Безразмерная величина эластичности доля покупателей-имитаторов $E_B=E_B\left(U\right)$ показывают, на сколько процентов изменится функция $B=B\left(U\right)$, если число покупателей этого товара в текущий момент времени $U$ изменятся на один процент.

Таким образом, функция доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению [5]

$\begin{array}{c}\frac{dB}{dU}\cdot \frac{U}{B}=E_B\left(U\right)\end{array}$ (5)

Начальным условием для уравнения (5) является условие пропорциональности функции $B=B\left(U\right)$ в бесконечно малой окрестности точки $U=0$

${\overline{)\frac{dB}{dU}}}_{U=0}=b$ (6)

Следует отметить, что линейная функция доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ является решением задачи Коши (5), (6) при единичной эластичности $E_B\left(U\right)\equiv 1$.

Отклонения функции доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ от линейной зависимости будет только в том случае, когда эластичность $E_B=E_B\left(U\right)$ при увеличении величины $U$ будет изменяться от единичного значения до некоторого постоянного значения $h/$

При значениях $h>1$ функция доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ будет отклоняться от линейной функции $B=b\cdot U$ в сторону увеличения, при значениях $1<h$ функция доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ будет отклоняться от линейной функции $B=b\cdot U$ в сторону уменьшения.

В качестве функции эластичности $E_B=E_B\left(U\right)$ примем дробно-линейную функцию

$\begin{array}{c}{E}_B=\frac{h\cdot U+U_H}{U+U_H}\mathrm{.}\end{array}$ (7)

Здесь $U_H$ — значение ресурса $U$, при котором эластичность $E_B=E_B\left(U\right)$ принимает среднее значение $E_B\left(U_H\right)=\frac{1+h}{2}$.

Решениями задач Коши (5), (6) с формулами для эластичности (7) будет функция

$\begin{array}{c}B\left(U\right)=b\cdot U\cdot {\left(\frac{1+U_H}{U+U_H}\right)}^{1-h}\mathrm{.}\end{array}$ (8)

На рис. 1 показаны варианты кривых функции доли покупателей-имитаторов (8) для различных значений параметра $h$.

 

Рис.1: Варианты кривых кривых функции доли покупателей-имитаторов (8) для различных значений параметра h. Штриховая линия соответствует значению параметра h=0.95; сплошная линия соответствует значению параметра h=1.0; штрихпунктирная линия соответствует значению параметра h=1.05.

 

Для пропорционального линейного процесса насыщения рынка инновационным товаром безразмерная функция $F=F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)$ имеет вид [5]

$\begin{array}{c}F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)=1-\frac{U}{U_{\infty }}\mathrm{.}\end{array}$

Следует отметить, что в этом случае при захвате половины рынка $\left(U=\frac{U_{\infty }}{2}\right)$ функция насыщения принимает значение $\left(F=\frac{1}{2}\right)$.

Для непропорционального нелинейного процесса насыщения рынка инновационным товаром безразмерная функция $F=F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)$ в точке $\left(U=\frac{U_{\infty }}{2}\right)$ будет отклоняться от значения $\left(F=\frac{1}{2}\right)$ на некоторую величину $\xi$.

В этом случае функцию $F=F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)$ целесообразно задавать в виде

$\begin{array}{c}F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)=p\cdot {\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)}^2+q\cdot \left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)+1.\end{array}$

Неопределенные коэффициенты $p$ и $q$ являются решениями системы уравнений

$\left\{\begin{array}{l}p+q+1=0,\\ \frac{p}{4}+\frac{q}{2}+1=\frac{1}{2}+\xi \mathrm{,}\end{array}\right.$

и имеют вид

$\left\{\begin{array}{l}p=-4·\xi ,\\ q=4\cdot \xi -1.\end{array}\right.$

Таким образом, безразмерная функция насыщения $F=F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)$ принимает вид

$\begin{array}{c}F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)=1+\left(4\cdot \xi -1\right)\cdot \left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)-4\cdot \xi \cdot {\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)}^2\mathrm{.}\end{array}$ (9)

На рис.2 показаны варианты кривых безразмерной функции насыщения (9) для различных значений параметра $\xi$.

 

Рис.2: Варианты кривых безразмерной функции насыщения (9) для различных значений параметра ξ. Штриховая линия соответствует значению параметра ξ=-0.1; сплошная линия соответствует значению параметра ξ=1; штрихпунктирная линия соответствует значению параметра ξ=0.15.

 

Подставляя формулы (8) и (9) в уравнение (4), находим

$\begin{array}{c}\frac{dU\left(t\right)}{dt}=\left(a\cdot U_{\infty }+b\cdot U\left(t\right)\cdot {\left(\frac{1+U_H}{U\left(t\right)+U_H}\right)}^{1-h}\right)\times \left(1+\left(4\cdot \xi -1\right)\cdot \left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)-4\cdot \xi \cdot {\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)}^2\right)\end{array}$ (10)

Начальное условие для уравнения (10) имеет вид

${\overline{)U}}_{t=0}=U\left(0\right)=U_0$ (11)

Очевидно, что если процесс диффузии инноваций наблюдается с самого начала, то $U_0=0$. В противном случае значение $U_0$ может отличаться от нуля.

В общем случае нелинейная задача Коши (10), (11) может быть решена только численно.

Следует отметить, что при $h=1$ и $\xi =0$ уравнение диффузии инноваций (10) совпадает с известным уравнением Ф. Басса [6].

На рис. 3 показаны варианты кривых функции $U=U\left(t\right)$, полученные в результате решения задачи Коши (10) с начальным условием (11) для различных значений параметров $\xi$ и $h$.

 

Рис.3: Варианты кривых кривых функции U=U(t), полученные в результате решения задачи Коши (10) с начальным условием (11) для различных значений параметров ξ и h. Штриховые линии соответствуют значениям параметров h=1, ξ=±0.07; штрихпунктирные линии соответствуют значениям параметров h=1±0.07, ξ=0; тонкие сплошные линии соответствует значениям параметров h=1±0.07, ξ=±0.07; жирная сплошная линия соответствует значениям параметров h=1, ξ=0.

 

Заключение

1. В публикуемой статье предложено обобщение математических моделей диффузии потребительских инноваций на случай переменных коэффициентов имитации и нелинейных вариантов насыщения общего объема рынка.
2. Построено дифференциальное уравнение диффузии потребительских инноваций, учитывающее вариации коэффициента имитации и нелинейность процесса насыщения общего объема рынка.
3. Рассмотрены возможные сценарии развития процесса диффузии инноваций, соответствующие различным комбинациям вариантов изменений переменных коэффициентов имитации с вариантами нелинейных способов насыщения общего объема рынка.
4. Численный анализ разработанной модели показал хорошее соответствие известным статистическим данным роста числа пользователей глобальной сети интернет в России.

 

 Конкурирующие интересы: Конкурирующих интересов нет.

作者简介

Alena Egorova

Samara National Research University

编辑信件的主要联系方式.
Email: egorovaalena@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0001-7374-3663

Senior Lecturer of the Mathematics and Business Informatics Department

俄罗斯联邦, 34, Moskovskoe shosse, Samara, 443086

Leonid Saraev

Samara National Research University

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

Doctor of Physical and Mathematical Sciences; Professor; Professor of the Mathematics and Business Informatics Department

俄罗斯联邦, 34, Moskovskoe shosse, Samara, 443086

参考

补充文件