Динамика освоения предприятиями оптимальной предельной мощности

Полный текст

Введение

Разработка моделей освоения производственных мощностей предприятиями является актуальной проблемой современной экономической теории, успешное решение которой способно помочь оптимизировать использование ресурсов и повысить эффективность производства.

К такого рода моделям относятся модели постепенного освоения мощностей, согласно которым производственные мощности вводятся поэтапно, по мере роста спроса или освоения технологий. Такие модели позволяют минимизировать риски перепроизводства и избыточных инвестиций.

Модели полного и мгновенного освоения предполагают одномоментный выход на проектную мощность, но при этом требуют больших начальных инвестиций и уверенности в рыночном спросе.

Модели адаптивного освоения (модели гибких мощностей) позволяют легко масштабировать производство в зависимости от спроса за счет модульных линий. Они , как правило, используются в условиях нестабильного рынка.

Модели освоения производственных мощностей, учитывающие узкие места, соответствуют теории ограничений систем (Theory of constraints, TOC) позволяют найти ключевые ограничения, определяющие успех и эффективность всей системы в целом. При этом усилия менеджмента предприятия фокусируются на выявлении и устранении ключевых ограничений (bottlenecks) в производстве, а мощности наращиваются точечно, в самых критичных участках.

Модели динамического освоения производственных мощностей учитывают жизненный цикл продукта. Мощности корректируются в зависимости от фазы этого цикла (запуск, рост, зрелость, спад). При этом на этапе роста мощности расширяются, на этапе спада мощности консервируются.

Модели аутсорсинга и кооперации требуют передачи части мощностей подрядчикам, чтобы избежать перегрузки собственного производства.

Модели бережливого производства (Lean Manufacturing) предполагают освоение мощностей с минимальными потерями, сниженим простоев, устраненим перепроизводства. Здесь акцент делается на вытягивающем производстве (pull system) и Just-in-Time.

Модели цифрового двойника (Digital Twin) предполагают виртуальное моделирование работы мощностей перед их физическим освоением. Такие модели позволяют оптимизировать загрузку и выявитьь проблемы до реального запуска.

На практике критериями выбора модели являются уровень неопределенности спроса, доступность инвестиций, гибкость технологий, отраслевые особенности. Поскольку каждая модель имеет свои преимущества и ограничения, предприятия часто комбинируют подходы. Например, они могут использовать поэтапное освоение вместе с аутсорсингом и т.д. [1–5].

Разработка моделей освоения предприятием предельных производственных мощностей (максимально возможного объема выпуска при существующих ресурсах) требует особых подходов, так как связано с высокой нагрузкой на оборудование, персонал и логистику.

К таким ключевым моделям относятся модели постоянной перегрузки (Overload Model), в рамках которых предприятия работают на мощности, превышающей номинальную. Здесь происходит максимальная отдача от активов, рост прибыли в краткосрочной перспективе, но при этом имеет место ускоренный износ оборудования, рост брака, повышенная аварийность.

Модели освоения производственных мощностей, учитывающие узкие места (Bottleneck-Centric Model) и соответствующие на теории ограничений систем фокусируют особое внимание на устранении ключевых ограничений, мешающих достичь предела мощности, выявляют самые медленные участки производства и оптимизируют его работы за счет дополнительных смен или модернизации.

Модели динамического масштабирования (Elastic Capacity Model) описывают гибкое изменение мощности за счет временного увеличения сменности, аренды дополнительного оборудования, привлечения временных работников.

Модели бережливого предела (Lean-to-Limit Approach), представляют собой комбинацию моделей Lean Manufacturing и работы на пределе. Для них характерно устранение всех потерь, простоев и избыточных запасов, оптимизация потоков для максимальной загрузки без перегрузки.

Модели цифровых двойников (Digital Twin Optimization) используют искусственный интеллект и цифровые моделий для прогнозирования.

Модели резервных мощностей (Standby Capacity Model) описывают создание скрытых резервов (например, законсервированных линий), которые можно быстро ввести в строй.

Модели кооперации и аутсорсинга (Network-Based Capacity) прогнозируют достижение предела за счет распределения заказов между своими и сторонними мощностями.

Критериями выбора модели являются технологическая гибкость, экономическая целесообразность, риски износа оборудования, качество продукции, безопасность, влияние внешней среды на стабильность спроса и действия конкурентов.

Освоение производственных мощностей требует определенного баланса между выпуском продукции, издержками и прибылью предприятия, поэтому целью данной работы является разработка новых экономико-математических моделей, учитывающих оптимальные предельные мощности позволит более точно анализировать и прогнозировать эффективную динамику выпуска продукции [6–10].

1. Оптимальная предельная производственная мощность однофакторного предприятия

Пусть производственное предприятие выпускает некоторую однородную продукцию общим объемом $V$, ограниченным объемом предельной производственной мощностью предприятия $V_{\infty }$:

$0⩽V⩽V_{\infty }\mathrm{.}$

Объем выпуска продукции $V$ является результатом переработки объемов определенных ресурсов, которые могут включать в себя объемы основного капитала, производственные фонды, трудовые ресурсы, используемые в производстве материалы, применяемые технологиями, инновации и т.д. Эти ресурсы можно условно объединить в один интегральный региональный ресурс в виде некоторого объема производственного фактора $Q$.

Объем выпуска продукции $V$ полностью определяется фактором производства $Q$ с помощью производственной функции, в качестве которой примем функцию Кобба–Дугласа

$V=P\cdot Q^a\mathrm{.}$ (1)

Здесь $P$ — стоимость продукции, произведенной на единичный объем ресурса, показатель степени $a$ — представляет собой эластичность выпуска продукции по ресурсу $Q$, $(0⩽a⩽1)$.

Выражение для объема пропорциональных издержек предприятия $TC$ в общем случае имеет вид

$TC=H\cdot Q+TFC\mathrm{.}$ (2)

Объем прибыли предприятия $PR=V-TC$ записывается с помощью выражения

$PR=P\cdot Q^a-H\cdot Q-TFC\mathrm{.}$ (3)

Очевидно, что для эффективной работы предприятия объем предельной производственной мощности предприятия $V_{\infty }$ и соответствующий ему объем ресурса $Q_{\infty }$ должны соответствовать максимальной прибыли.

Уравнение для вычисления значения ресурса $Q_{\max }$ имеет вид

$\frac{dPR}{dQ}=a\cdot P\cdot Q^{a-1}-H=0$ (4)

Решение уравнения (4) имеет вид

$Q_{\max }={\left(\frac{a\cdot P}{H}\right)}^{\frac{1}{1-a}}\mathrm{.}$ (5)

Максимальная прибыль предприятия вычисляется по формуле

$P{R}_{\max }=P\cdot {\left(\frac{a\cdot P}{H}\right)}^{\frac{a}{1-a}}-H\cdot {\left(\frac{a\cdot P}{H}\right)}^{\frac{1}{1-a}}-TFC\mathrm{.}$ (6)

Таким образом, в качестве предельной производственной мощности предприятия $V_{\infty }$ и соответствующего ему объему ресурса $Q_{\infty }$ следует выбирать выражения

$\left\{\begin{array}{l}{V}_{\infty }=V_{\max }=P\cdot {\left(\frac{a\cdot P}{H}\right)}^{\frac{a}{1-a}}\mathrm{,}\\ P{R}_{\infty }=P{R}_{\max }=P\cdot {\left(\frac{a\cdot P}{H}\right)}^{\frac{a}{1-a}}-H\cdot {\left(\frac{a\cdot P}{H}\right)}^{\frac{1}{1-a}}-TFC,\\ Q_{\infty }=Q_{\max }={\left(\frac{a\cdot P}{H}\right)}^{\frac{1}{1-a}}\end{array}\right.$ (7)

На рис.1  показаны графики кривых производственной функции (1), функции издержек (2) и функции прибыли (3).

 

Рис. 1: Графики кривых производственной функции (1), функции издержек (2) и функции прибыли (3). Точками обозначены значения максимальной прибыли PR_∞ и предельной производственной мощности предприятия V_∞. Расчетные значения: P=10; a=0.49; H=0.9; TFC=15; Q₀=0; Q_∞=27.736; V_∞=50.944; PR_∞=10.981.

 

Объем фактора производства $Q=Q\left(t\right)$ предполагается непрерывно дифференцируемой и ограниченной величиной на числовой полуоси $0⩽t<\infty$ функцией непрерывного аргумента времени $t$.

Единицей измерения времени $t$ служит соответствующий обстоятельствам рыночный период (месяц, квартал, год). Ограниченная функция $Q=Q\left(t\right)$ удовлетворяет неравенству

$Q_0⩽Q\left(t\right)⩽Q_{\infty }$

Здесь $Q_0$ — известное начальное значение фактора производства, $Q_{\infty }$ — его предельное значение, которое подлежит вычислению.

Для наблюдения за динамикой развития предприятия следует составить уравнение баланса для объема фактора производства $Q=Q\left(t\right)$.

За малый промежуток времени $\Delta t$ объем фактора производства предприятия $Q\left(t\right)$ получит приращение

$\Delta Q\left(t\right)=Q(t+\Delta t)-Q\left(t\right)$

Будем предполагать, что прирост ресурса $\Delta Q\left(t\right)$ пропорционален использованному на момент времени $t$ ресурсу $Q\left(t\right)-Q_0$ и недоиспользованной мощности предприятия $V_{\infty }-V\left(t\right)$:

$\Delta Q\left(t\right)=\lambda \cdot \left(Q\left(t\right)-Q_0\right)\cdot \left(1-\frac{V\left(t\right)}{V_{\infty }}\right)\cdot \Delta t\mathrm{,}$

или, после подстановки формулы (1):

$\Delta Q\left(t\right)=\lambda \cdot \left(Q\left(t\right)-Q_0\right)\cdot \left(1-{\left(\frac{Q\left(t\right)}{Q_{\infty }}\right)}^a\right)\cdot \Delta t\mathrm{.}$ (8)

Коэффициент пропорциональности $\lambda$ характеризует скорость освоения предприятием производственных мощностей.

Выполняя в уравнении (8) предельный переход при $\Delta t\to 0$, получаем дифференциальное уравнение первого порядка для освоения предприятием производственной мощности

$\frac{dQ\left(t\right)}{dt}=\lambda \cdot \left(Q\left(t\right)-Q_0\right)\cdot \left(1-{\left(\frac{Q\left(t\right)}{Q_{\infty }}\right)}^a\right)\mathrm{.}$ (9)

Начальное условие для уравнения (9) может быть записано в виде

${\overline{)Q}}_{t=0}=Q\left(0\right)=Q_0\mathrm{.}$ (10)

Нелинейное дифференциальное уравнение (9) не имеет аналитического решения и его можно решить только численно.

На рис. 2 показаны график кривой функции производственного фактора $Q=Q\left(t\right)$, полученный в результате численного решения задачи Коши (9), (10), и графики производственной функции $V\left(t\right)=P\cdot Q^a\left(t\right)$ и функции издержек $TC\left(t\right)=H\cdot Q\left(t\right)+TFC$.

На рис. 3 показан график кривой функции прибыли $PR\left(t\right)=P\cdot Q^a\left(t\right)-H\cdot Q\left(t\right)-TFC$, полученный в результате численного решения задачи Коши (9), (10).

 

Рис.2: График кривой функции производственного фактора Q=Q(t), полученный в результате численного решения задачи Коши (9), (10), и графики производственной функции V(t)=P*Q_a(t) и функции издержек TC(t)=H*Q(t)+TFC. Расчетные значения: P=10; a=0.49; H=0.9; TFC=15; Q₀=0; Q_∞=27.736; V_∞=50.944; PR_∞=10.981, λ=0.667.

 

Рис.3: График кривой функции прибыли PR(t)=P*Q_a(t)-H*Q(t)-TFC, полученный в результате численного решения задачи Коши (9), (10). Расчетные значения: P=10; a=0.49; H=0.9; TFC=15; Q₀=0; Q_∞=27.736; V_∞=50.944; PR_∞=10.981, λ=0.667.

 

Рис.4: График кривой функции прибыли PR(t)=P*Q_a(t)-H*Q(t)-TFC, полученный в результате численного решения задачи Коши (9), (10), для значения V_∞≥V_max. Расчетные значения: P=10; a=0.49; H=0.9; TFC=15; Q₀=0; Q_∞=27.736; V_∞=50.944; PR_∞=10.981, λ=0.667.

 

Если в качестве значений объема предельной производственной мощности предприятия $V_{\infty }$ и соответствующего объема ресурса $Q_{\infty }$ выбрать значения превышающие значения $V_{\max }$ и $Q_{\max }$, то предприятие с определенного момента времени, достигнув максимального значения прибыли $P{R}_{\max }$, начнет работать себе в убыток и достигнет меньшего значения прибыли $P{R}_{\infty }$.

На рис. 4 показан график кривой функции прибыли $PR\left(t\right)=P\cdot Q^a\left(t\right)-H\cdot Q\left(t\right)-TFC$, полученный в результате численного решения задачи Коши (9), (10), для значения $V_{\infty }⩾V_{\max }$.

Оптимальная предельная производственная мощность двухфакторного предприятия

Пусть теперь объем выпуска продукции $V$ является результатом переработки объемов двух ресурсов $K$ и $L$.

Здесь $K$ — объемы основного капитала и объемы производственных фондов, $L$ — трудовые ресурсы.

Объем выпуска продукции $V$ такого предприятия будет обеспечиваться двухфакторной функцией Кобба–Дугласа

$V=P\cdot K^a\cdot L^b\mathrm{.}$ (11)

Здесь $P$ — стоимость продукции, произведенной на единичный объем ресурса, показатель степени $a$ — представляет собой эластичность выпуска продукции по ресурсу $K$, показатель степени $b$ — представляет собой эластичность выпуска продукции по ресурсу $L$, $(0⩽a⩽\mathrm{1,0}⩽b⩽1)$.

Выражение для объема пропорциональных издержек предприятия $TC$ в общем случае имеет вид

$TC=H_K\cdot K+H_L\cdot L+TFC\mathrm{.}$ (12)

Объем прибыли предприятия $PR=V-TC$ записывается с помощью выражения

$PR=P\cdot K^a\cdot L^b-H_K\cdot K-H_L\cdot L-TFC\mathrm{.}$ (13)

Очевидно, что для эффективной работы предприятия объем предельной производственной мощности предприятия $V_{\infty }$ и соответствующие ему объемы ресурсов $K_{\infty }$, $L_{\infty }$ должны соответствовать максимальной прибыли.

Уравнение для вычисления значения ресурса $K_{\max }$, $L_{\max }$ имеет вид

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial PR}{\partial K}=a\cdot P\cdot K^{a-1}\cdot L^b-H_K=0\\ \frac{\partial PR}{\partial L}=b\cdot P\cdot K^a\cdot L^{b-1}-H_L=0\end{array}\right.$ (14)

Решение системы (14) имеет вид

$\left\{\begin{array}{l}{K}_{\max }={\left({\left(\frac{a\cdot P}{H_K}\right)}^{1-b}\cdot {\left(\frac{b\cdot P}{H_L}\right)}^b\right)}^{\frac{1}{1-a-b}}\\ L_{\max }={\left({\left(\frac{b\cdot P}{H_L}\right)}^{1-a}\cdot {\left(\frac{a\cdot P}{H_K}\right)}^a\right)}^{\frac{1}{1-a-b}}\end{array}\right.$ (15)

Максимальная выручка и прибыль предприятия вычисляются по формулам

$\left\{\begin{array}{l}{V}_{\max }=P{\left({\left(\frac{aP}{H_K}\right)}^{1-b}{\left(\frac{bP}{H_L}\right)}^b\right)}^{\frac{a}{1-a-b}}{\left({\left(\frac{bP}{H_L}\right)}^{1-a}{\left(\frac{aP}{H_K}\right)}^a\right)}^{\frac{b}{1-a-b}}\\ P{R}_{\max }=P{\left({\left(\frac{aP}{H_K}\right)}^{1-b}{\left(\frac{bP}{H_L}\right)}^b\right)}^{\frac{a}{1-a-b}}{\left({\left(\frac{bP}{H_L}\right)}^{1-a}{\left(\frac{aP}{H_K}\right)}^a\right)}^{\frac{b}{1-a-b}}-\\ -H_K{\left({\left(\frac{aP}{H_K}\right)}^{1-b}{\left(\frac{bP}{H_L}\right)}^b\right)}^{\frac{1}{1-a-b}}-H_L{\left({\left(\frac{bP}{H_L}\right)}^{1-a}{\left(\frac{aP}{H_K}\right)}^a\right)}^{\frac{1}{1-a-b}}-TFC\end{array}\right.$ (16)

Таким образом, в качестве предельной производственной мощности предприятия $V_{\infty }$ и соответствующего ему объему ресурса $Q_{\infty }$ следует выбирать выражения

$\left\{\begin{array}{l}{V}_{\infty }=V_{\max }\\ P{R}_{\infty }=P{R}_{\max }\\ K_{\infty }=K_{\max }\\ L_{\infty }=L_{\max }\end{array}\right.$ (17)

Для наблюдения за динамикой развития предприятия следует составить систему уравнений баланса для объемов факторов производства $K=K\left(t\right)$ и $L=L\left(t\right)$.

За малый промежуток времени $\Delta t$ объемы факторов производства предприятия $K=K\left(t\right)$ и $L=L\left(t\right)$ получат приращения

$\left\{\begin{array}{l}\Delta K\left(t\right)=K(t+\Delta t)-K\left(t\right)\\ \Delta L\left(t\right)=L(t+\Delta t)-L\left(t\right)\end{array}\right.$

 

Рис.5: Графики кривых функций производственных факторов K=K(t) и L=L(t), полученные в результате численного решения задачи Коши (19), (20). Расчетные значения: P=10; a=0.27; b=0.25; H_K=0.25; H_L=0.23; TFC=15; K₀=0; L₀=0, K_∞=142.698; L_∞=143.617; V_∞=132.128; PR_∞=48.421; λ_k=0.667; λ_k=0.5.

 

Рис.6: Графики кривых функции выпуска продукции V=V(t) и функции издержек TC=TC(t), полученные в результате численного решения задачи Коши (19), (20) и формул (11), (12). Расчетные значения: P=10; a=0.27; b=0.25; H_K=0.25; H_L=0.23; TFC=15; K₀=0; L₀=0, K_∞=142.698; L_∞=143.617; V_∞=132.128; PR_∞=48.421; λ_k=0.667; λ_k=0.5.

 

Рис.7: График кривой функции прибыли PR=PR(t), полученный в результате численного решения задачи Коши (19), (20) и рассчитанный по формуле (13). Расчетные значения: P=10; a=0.27; b=0.25; H_K=0.25; H_L=0.23; TFC=15; K₀=0; L₀=0, K_∞=142.698; L_∞=143.617; V_∞=132.128; PR_∞=48.421; λ_k=0.667; λ_k=0.5.

 

Будем предполагать, что приросты ресурсов $\Delta K\left(t\right)$ и $\Delta L\left(t\right)$ пропорциональны использованным на момент времени $t$ ресурсам $K\left(t\right)-K_0$ и $L\left(t\right)-L_0$, соответственно, и недоиспользованной мощности предприятия $V_{\infty }-V\left(t\right)$

$\left\{\begin{array}{l}\Delta K\left(t\right)={\lambda }_K\cdot \left(K\left(t\right)-K_0\right)\cdot \left(1-\frac{V\left(t\right)}{V_{\infty }}\right)\cdot \Delta t\\ \Delta L\left(t\right)={\lambda }_L\cdot \left(L\left(t\right)-L_0\right)\cdot \left(1-\frac{V\left(t\right)}{V_{\infty }}\right)\cdot \Delta t\end{array}\right.$

или, после подстановки формулы (11)

$\left\{\begin{array}{l}\Delta K\left(t\right)={\lambda }_K\cdot \left(K\left(t\right)-K_0\right)\cdot \left(1-{\left(\frac{K\left(t\right)}{K_{\infty }}\right)}^a\cdot {\left(\frac{L\left(t\right)}{L_{\infty }}\right)}^b\right)\cdot \Delta t\\ \Delta L\left(t\right)={\lambda }_L\cdot \left(L\left(t\right)-L_0\right)\cdot \left(1-{\left(\frac{K\left(t\right)}{K_{\infty }}\right)}^a\cdot {\left(\frac{L\left(t\right)}{L_{\infty }}\right)}^b\right)\cdot \Delta t\end{array}\right.$ (18)

Коэффициенты пропорциональности ${\lambda }_K$ и ${\lambda }_L$ характеризуют скорость освоения предприятием производственных мощностей.

Выполняя в уравнении (18) предельный переход при $\Delta t\to 0$, получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка для освоения предприятием производственной мощности

$\left\{\begin{array}{l}\frac{dK\left(t\right)}{dt}={\lambda }_K\cdot \left(K\left(t\right)-K_0\right)\cdot \left(1-{\left(\frac{K\left(t\right)}{K_{\infty }}\right)}^a\cdot {\left(\frac{L\left(t\right)}{L_{\infty }}\right)}^b\right)\\ \frac{dL\left(t\right)}{dt}={\lambda }_L\cdot \left(L\left(t\right)-L_0\right)\cdot \left(1-{\left(\frac{K\left(t\right)}{K_{\infty }}\right)}^a\cdot {\left(\frac{L\left(t\right)}{L_{\infty }}\right)}^b\right)\end{array}\right.$ (19)

Начальные условия для системы уравнений (19) могут быть записаны в виде

$\left\{\begin{array}{l}{\overline{)K}}_{t=0}=K\left(0\right)=K_0\\ {\overline{)L}}_{t=0}=L\left(0\right)=L_0\end{array}\right.$ (20)

Система нелинейных дифференциальных уравнений (9) не имеет аналитического решения и ее можно решить только численно.

На рис. 5 показаны графики кривых функций производственных факторов $K=K\left(t\right)$ и $L=L\left(t\right)$, полученныt в результате численного решения задачи Коши (19), (20).

На рис. 6 показаны графики кривых функции выпуска продукции $V=V\left(t\right)$ и функции издержек $TC=TC\left(t\right)$, полученные в результате численного решения задачи Коши (19), (20) и формул (11), (12).

На рис. 7 показан график кривой функции прибыли $PR=PR\left(t\right)$, полученный в результате численного решения задачи Коши (19), (20) и рассчитанный по формуле (13).

На рис. 8 показан пространственный вариант графика кривой функции прибыли $PR=PR\left(t\right)$, полученный в результате численного решения задачи Коши (19), (20) и рассчитанный по формуле (13). Здесь кривая $PR=PR\left(t\right)$ расположена на поверхности прибыли, достигая ее максимального значения.

Если в качестве значений объема предельной производственной мощности предприятия $V_{\infty }$ и соответствующих объемов ресурсов $K_{\infty }$ и $L_{\infty }$ выбрать значения превышающие значения $V_{\max }$, $K_{\max }$ и $L_{\max }$, то предприятие с определенного момента времени, достигнув максимального значения прибыли $P{R}_{\max }$, начнет работать себе в убыток и достигнет меньшего значения прибыли $P{R}_{\infty }$.

На рис. 9 показан пространственный вариант графика кривой функции прибыли $PR=PR\left(t\right)$, полученный в результате численного решения задачи Коши (19), (20) и рассчитанный по формуле (13) для значения $V_{\infty }⩾V_{\max }$.

 

Рис. 8: График кривой функции прибыли PR=PR(t), полученный в результате численного решения задачи Коши (19), (20), рассчитанный по формуле (13) и расположенный на поверхности прибыли, достигая ее максимального значения. Расчетные значения: P=10; a=0.27; b=0.25; H_K=0.25; H_L=0.23; TFC=15; K₀=0; L₀=0, K_∞=142.698; L_∞=143.617; V_∞=132.128; PR_∞=48.421; λ_k=0.667; λ_k=0.5.

 

Рис. 9: График кривой функции прибыли PR=PR(t), полученный в результате численного решения задачи Коши (19), (20), рассчитанный по формуле (13) и расположенный на поверхности прибыли, достигая ее максимального значения. Расчетные значения: P=10; a=0.27; b=0.25; H_K=0.25; H_L=0.23; TFC=15; K₀=0; L₀=0, K_∞=142.698; L_∞=143.617; V_∞=132.128; PR_∞=48.421; λ_k=0.667; λ_k=0.5.

 

Заключение

1. В публикуемой статье исследованы особенности динамики освоения предприятиями их оптимальной предельной мощности.
2. Рассмотрен вариант однофакторной модели предприятия, динамика роста ресурса, выручки, издержек и прибыли которого описывается дифференциальным уравнением.
3. Кроме того, предложен вариант двухфакторной модели предприятия, динамика роста ресурса, выручки, издержек и прибыли которого описывается системой дифференциальных уравнений.
4. Показано, что в обоих случаях оптимальные значения предельных мощностей предприятий соответствуют значениям максимальных прибылей.
5. Отклонение от этих значений приводит к снижению эффективной работы предприятий и в конечной счете упущенной выгоде.

 

 Конкурирующие интересы: Конкурирующих интересов нет.

Об авторах

Александр Леонидович Сараев

Самарский государственный экономический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: alex.saraev@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-9223-6330

кандидат экономических наук, доцент; заведующий кафедрой прикладной информатики

Россия, 443090, Самара, ул. Советской Армии, 141

Леонид Александрович Сараев

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

доктор физико-математических наук, профессор; профессор кафедры математики и бизнес-информатики

Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

Дополнительные файлы