Numerical investigation of the problem of thermal conductivity in a porous material formed by Neovius elementary cells

全文:

Введение

В настоящее время актуальной задачей теоретической и практической теплофизики является изучение материалов, основанных на трижды периодических минимальных поверхностях (ТПМП). Данный интерес обусловлен особенностью таких структур – возможностью варьирования теплофизических свойств в зависимости от геометрических характеристик элементарной ячейки. Так, пористые структуры, основанные на ТПМП, обладают большей площадью поверхности теплообмена, а также полностью взаимосвязанными сетями пор, по сравнению с материалами со стохастическим распределением пор [1, 2].

Благодаря развитию аддитивных технологий пористые материалы с упорядоченной структурой получили широкое применение в различных отраслях промышленности, в частности энергетической [3‒6], химической промышленности [7, 8]. Материалы, основанные на ТПМП, обладают рядом преимуществ, таких как малый вес, высокая конструктивная прочность, возможность прогнозирования величины термического сопротивления. Например, в работе [9] авторами предлагается использование ТПМП материалов в системах терморегулирования в качестве радиаторов электронных устройств. Кроме того, авторами работы [10] было обнаружено, что изменение пористости оказывает существенное влияние на улучшение кондуктивной и конвективной составляющей теплопереноса. Так, использование в радиаторах и теплообменниках конструкций, сформированных из трижды периодических минимальных поверхностей, позволит повысить показатели теплопередачи при меньшем использовании объема материала [11]. В связи с этим возникает необходимость в расчете температурных профилей таких пористых материалов при заданных геометрических размерах ячейки.

В настоящей работе приводится численное решение задачи теплопереноса в пористой пластине, структура которой основана на трижды периодических минимальных поверхностях типа Neovius (рис. 1).

 

Рис. 1. Модель пористой пластины, образованной ячейками Neovius

Fig. 1. Neovius porous plate model

 

При решении поставленной задачи методом минимального репрезентативного объема [12] выполнено осреднение теплофизических свойств материала исследуемой пористой пластины. Согласно принятому методу, эффективная теплопроводность пористого материала имеет вид

${\lambda }_e={\lambda }_k\left[k_1\left(1-\phi \right)\right],$ (1)

где λ_e – эффективный коэффициент теплопроводности пластины; λ_k – коэффициент теплопроводности каркаса пластины (материала); k₁ – коэффициент, зависящий только от материала пластины для материала PETG k₁ = 0,73[12]; $\phi$ – пористость.

Пористость материала определяется зависимостью

$\phi =1-k_2\frac{\delta }{b},$(2)

где k₂ – коэффициент, зависящий только от типа ТПМП, для элементарной ячейки Neovius k₂ = 3,4081[12]; δ – толщина стенки элементарной ячейки; b – длина ребра куба, в который вписана элементарная ячейка.

Плотность пористого материала ρ_e зависит от величины пористости и определяется следующим видом:

$p_e=p\left(1-\phi \right).$ (3)

где ρ – истинное значение плотности материала, для PETG ρ = 1300 кг/м³.

Уравнение теплового баланса для «гомогенизированной» среды имеет вид

$\frac{\partial T\text{(}x,\text{τ)}}{\partial \text{τ}}=\frac{{\text{λ}}_{\text{е}}}{с{\text{ρ}}_{\text{е}}}\frac{{\partial }^{2}T\text{(}x,\text{τ)}}{\partial x^{\text{2}}}\text{, }$ (4)

С учетом (1), (3) выражение (4) принимает вид

$\frac{\partial T\text{(}x,\text{τ)}}{\partial \text{τ}}=\frac{{\text{λ}}_{\text{к}}\left[k_1\left(1-\text{φ}\right)\right]}{с\text{ρ}(1-\text{φ})}\frac{{\partial }^{2}T\text{(}x,\text{τ)}}{\partial x^{\text{2}}}\text{, }$ (5)

Краевые условия:

$T\left(x\mathrm{,0}\right)=T_{\text{0}}$; (6)

$\frac{\partial T\left(\mathrm{0,}\text{τ}\right)}{\partial x}=0$; (7)

$-{\text{λ}}_e^{}\frac{\partial T(L,\text{τ})}{\partial x}=\text{α}\left(T_{\text{ср}}-T(L,\text{τ})\right)$; (8)

где T₀ – начальная температура; L – абсцисса поверхности пластины; α – коэффициент теплоотдачи окружающей среды (воздуха); T_ср – температура среды.

Схема теплообмена представлена на рис. 2.

 

Рис. 2. Схема теплообмена

Fig. 2. Heat exchange diagram

 

Численное решение задачи

Решение поставленной задачи осуществлялось методом конечных разностей [13‒15] в программном комплексе Mathcad. Суть метода заключается в наложении пространственно-временной сетки с шагами по времени Δτ и по координате Δx. При этом сетка имеет вид

$x_i=i\text{Δ}x,i=\overline{\mathrm{0,}I};{\text{ τ}}_k=k\text{\hspace{0.17em}Δτ},k=\overline{\mathrm{0,}K},$(9)

где I, K – число шагов по пространственной и временной координатам соответственно.

Согласно принятому методу, на пространственно-временной сетке вводятся сеточные функции $T_i^k-T\left(x_i,{\tau }_k\right)$. С учетом явной схемы аппроксимации математическая постановка задачи примет вид

$\frac{T_i^{k+1}-T_i^k}{\text{Δτ}}=\frac{{\text{λ}}_{\text{к}}\left[k_1\left(1-\text{φ}\right)\right]}{с\text{ρ}(1-\text{φ})}\cdot \frac{T_{i-1}^k-2T_i^k+T_{i+1}^k}{\text{Δ}{x}^{\text{2}}}\text{, }$(10)

$T_i^o=T_o;$ (11)

$\frac{T_i^o=T_o^k}{∆x}=0;$ (12)

$\frac{T_{I-1}^k-T_I^k}{∆x}=\alpha \left(T_{ср}-T_I^k\right).$ (13)

Результаты

На рис. 3 и 4 представлено численное решение задачи (10)–(13) в пористой пластине, образованной элементарными ячейками Neovius. Решение осуществлялось при следующих исходных данных: L = 0,015 м; температура в начальный момент времени – T₀ = 5 °C; температура среды – T_ср = 40 °C; толщина стенки элементарной ячейки – δ = 0,0002 м; длина ребра куба – b = 0,003 м; коэффициент теплоотдачи – α =10 Вт/(м²К). Материал пластины – пластик PETG, используемый при струйной печати на 3D принтере (технология FDM – печати). Принимаются следующие свойства пластика [16]: теплоемкость – 1050 Дж/(кгК); плотность – 1300 кг/м³; теплопроводность – 0,2 Вт/(мК).

 

Рис. 3. Распределение температуры по пространственной координате при пористости $\phi =0,77$

Fig. 3. Temperature distribution by spatial coordinate at porosity $\phi =0,77$

 

Рис. 4. Распределении температуры во времени при пористости $\phi =0,77$

Fig. 4. Temperature distribution over time at porosity $\phi =0,77$

 

На рис. 3 представлен график распределения температуры в пористой пластине по координате при пористости φ = 0,77. Из анализа распределения полученных кривых следует, что период времени 0 ≤ τ < 200 с соответствует начальному этапу нагрева пластины. На данном этапе происходит нагрев пластины с поверхности (под действием граничных условий третьего рода), температура в центре при этом не изменяется и равна T₀. При τ > 200 с наблюдается увеличение температуры по всей толщине пористой пластины.

На рис. 4 приведен график распределения температурных кривых во времени в пористой пластине. Характер нагрева существенно отличается. Так, максимальная интенсивность нагрева (dT(x,τ) / dτ) наблюдается на поверхности и уменьшается в направлении к центру пластины.

На рис. 5 представлена зависимость времени установления температуры среды на поверхности пластины при x = 0,015 м для различных значений коэффициента теплоотдачи среды. Из анализа графика следует, что чем выше интенсивность теплообмена с окружающей средой на границе пористой пластины, тем меньше времени требуется для установления заданной температуры.

 

Рис. 5. Зависимость времени выхода на стационарное значение от коэффициента теплоотдачи окружающей среды

Fig. 5. Dependence of time to steady-state value from the heat transfer coefficient of the environment

 

На рис. 6 приведены графики распределения температуры в момент времени τ = 1000 с в пористой пластине, изготовленной из трех различных материалов. Так, линия 1 соответствует материалу – пенополистирол фирмы «Пеноплекс»: теплоемкость – 1600 Дж/(кгК), плотность – 43 кг/м³, теплопроводность – 0,03 Вт/(мК); линия 2 – фотополимерная смола фирмы «Phrozen»: теплоемкость – 800 Дж/(кгК), плотность – 1412 кг/м³, теплопроводность – 0,375 Вт/(мК), линия 3 – пластик PETG (теплофизические свойства представлены выше). Из анализа данного графика следует, что температура пластины, соответствующая пластику PETG, оказывается ниже во всем диапазоне x, чем для пенополистирола и фотополимерной смолы в аналогичный момент времени.

 

Рис. 6. Распределение температуры в пористой пластине: 1 – пенополистирол фирмы «Пеноплекс»; 2 – фотополимерная смола фирмы «Phrozen»; 3 – пластик PETG

Fig. 6. Temperature distribution in porous plate: 1 ‒ expanded polystyrene of «Penoplex» company; 2 ‒ Phrozen photopolymer resin; 3 ‒ PETG plastic

 

Заключение

В рамках данного исследования получены графики распределения температуры в пористом материале, состоящем из элементарных ячеек Neovis, по пространственной координате и во времени. Проведен сравнительный анализ распределения температурного профиля в пористой пластине, изготовленной из следующих материалов: пенополистирол фирмы «Пеноплекс», фотополимерная смола фирмы «Phrozen» и пластик PETG. На основании полученных результатов следует, что в качестве тепловой изоляции необходимо использовать материал с наименьшим коэффициентом теплопроводности, в рассматриваемом случае – пластик PETG.

Использование трижды периодических минимальных поверхностей при создании тепловой изоляции позволит получать материалы с заданными теплофизическими и механическими свойствами. Варьируя геометрические характеристики элементарных ячеек, возможно получение необходимых значений эффективной теплопроводности (а значит, и величины термического сопротивления материала) при сохранении малой массы и высокой прочности пористого материала.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-79-10044, https://rscf.ru/project/23-79-10044/.

The study was carried out at the expense of a grant from the Russian Science Foundation No. 23-79-10044, https://rscf.ru/project/23-79-10044/.

作者简介

Sofya Zinina

Samara State Technical University

编辑信件的主要联系方式.
Email: sofazinina4@gmail.com

Assistant of the Industrial Heat Power Engineering Chair

俄罗斯联邦, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

Ravil Mustafin

Samara State Technical University

Email: ravil-bk211@mail.ru

Senior Lecturer of the Industrial Heat Power Engineering Chair

俄罗斯联邦, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

Anton Eremin

Samara State Technical University

Email: a.v.eremin@list.ru

Doctor of Engineering Science, Associate Professor, Head of the Industrial Thermal Power Engineering Chair

俄罗斯联邦, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

参考

补充文件