Probabilistic reliability model of electrical motors in submersible well pumping units used in the uranium mining by in-situ leaching

Full Text

Введение

Добыча урана методом скважинного подземного выщелачивания (СПВ) является экономически более эффективной по сравнению с подземным и открытым горными способами [1–3]. Благодаря этому преимуществу методом СПВ в настоящее время добывается более 50 % урана в мире. При этом методе добыча урана осуществляется с помощью системы технологических скважин. Через нагнетательные скважины в зону ураноносных пород подается выщелачивающий раствор, который взаимодействует с ураносодержащими минералами, после чего продуктивный раствор с растворенным ураном поднимается на поверхность через откачные скважины. Таким образом, одним из основных элементов технологической цепочки добычного комплекса предприятий, применяющих метод СПВ, являются откачные скважины. Их количество на добычных полигонах может достигать нескольких сотен.

Наиболее экономичным способом подъема продуктивных растворов является установка в откачных скважинах электроцентробежных насосных агрегатов (ЭЦНА). ЭЦНА состоят из погружных электродвигателей (ПЭД) и центробежных насосов (ЦН). Они работают практически круглосуточно в сложных условиях взаимодействия с агрессивными жидкостями, что влияет на срок службы ЭЦНА. Оперативная замена вышедших из строя ПЭД или ЦН является необходимым условием эффективности добычи урана. Это обеспечивается достаточным количеством насосного оборудования на складах предприятия. Для прогнозирования количества ЭЦНА, которые выйдут из строя в течение планируемого периода, как правило, используются методики, основанные на среднем времени наработки на отказ ПЭД и ЦН. Подобный подход имеет невысокую точность, поэтому предприятия вынуждены планировать закупки с существенным запасом. Это негативно влияет на экономические показатели производства. В связи с этим необходимо добиваться повышения точности предсказания сроков выхода из строя работающего насосного оборудования.

В последнее время предприятиями, добывающими уран методом СПВ, активно проводится цифровая трансформация производства, в рамках которой внедряются информационные системы добычных комплексов (ИСДК) [4–6]. ИСДК делают доступными для анализа данные, определяющие широкий спектр показателей, характеризующих технологический процесс добычи урана методом СПВ. Наличие фактических данных позволяет проанализировать время наработки до отказа оборудования, определить законы распределения отказов и создать на этой основе математическую модель надежности [7–10]. В нашем случае появляется возможность создать вероятностную модель надежности ПЭД как наиболее уязвимого узла ЭЦНА, с помощью которой можно будет предсказать вероятность его выхода из строя на предстоящий период. На основе рассчитанных вероятностей выхода из строя ПЭД, как для отдельного участка, так и в рамках всего предприятия, можно более точно произвести расчет потребности в новых электродвигателях, необходимых для замены отказавших. Это позволяет сократить запасы ПЭД на складах предприятия, что делает производство более рентабельным.

На основе вышесказанного разработка вероятностной модели надежности ПЭД является актуальной задачей. Модель должна обеспечить расчет вероятности выхода из строя каждого ПЭД на предстоящий период времени с учетом его текущей наработки и позволить произвести расчет количества ПЭД, которые выйдут из строя за выбранный период. Для этого необходимо обосновать вид модели, определить её параметры и проверить её адекватность. Именно этим вопросам посвящена настоящая статья.

Подход к выбору вероятностной модели надежности

Теория надежности рассматривает отказы оборудования как случайные события, численным выражением которых является случайная величина X – «наработка до отказа», распределенная в соответствии с неким законом распределения вероятностей F_X, в общем случае неизвестным. Известно, что работоспособность технических систем зависит от большого числа факторов, поэтому истинное распределение случайной величины X может представлять собой сложную комбинацию различных более простых распределений и, как следствие, может иметь большой набор параметров, что приводит к увеличению сложности анализа надежности таких систем, даже если функциональная форма закона распределения определена.

Очевидным выходом из этой ситуации является использование вероятностных моделей надежности (ВМН) [11], обычно представляющих собой хорошо известные законы распределения случайных величин или их простые комбинации с небольшим количеством параметров, достаточно точно описывающие поведение случайной величины X и согласующиеся с результатами наблюдений.

Процедуры выбора и верификации адекватной ВМН используют методы математической статистики, результаты применения которых зависят от качества используемых данных, а именно от их объема, точности и полноты. Основными проблемами при решении задачи определения ВМН являются:

• малый объем выборок данных об отказах оборудования;
• низкая точность этих данных, во многом обусловленная человеческим фактором;
• высокая степень цензурирования данных.

Использование крупными предприятиями больших партий однотипного оборудования в течение длительных промежутков времени, а также широкое внедрение информационных систем, способных в числе прочего с высокой точностью фиксировать значения наработок до отказа конкретных экземпляров оборудования, позволяет во многом устранить указанные выше проблемы.

Данные о наработках до отказа и текущих наработках экземпляров оборудования могут быть представлены в виде множества упорядоченных пар (выборки) V={(t_i,σ_i)}, i=1,2,…,N, где t_i – значения наблюдаемых наработок; σ_i=1, если t_i представляет собой время до отказа, и σ_i=0, если t_i есть наработка i-го объекта, не отказавшего к текущему моменту времени; N – количество объектов.

Текущие наработки не отказавших объектов рассматриваются как моменты правого цензурирования [12]. Поскольку экземпляры оборудования могут вводиться в эксплуатацию в разное время, значения t_i наработок объектов, сохранивших работоспособность к текущему моменту, будут разными. Следовательно, анализируемые данные в общем случае являются многократно цензурированными справа.

Поскольку случайная величина X – «наработка до отказа» может принимать лишь неотрицательные значения, представляется целесообразным выбирать в качестве возможных ВМН (моделей-кандидатов) абсолютно непрерывные распределения, функции распределения которых отличны от нуля только для положительных значений аргумента.

Будем полагать, что выбор ВМН производится из некоторого множества M={M₁,M₂,…,M_m}, состоящего из m моделей-кандидатов. Каждой модели‑кандидату M_j, j=1,2,…,m, соответствует функция распределения F_j(x,Θ_j) и функция плотности распределения f_j(x,Θ_j), где Θ_j=(θ₁^j,θ₂^j,…,θ ^j_pj)^T – вектор оцениваемых параметров j-й модели-кандидата, p_j – число параметров j-й модели‑кандидата.

Для получения значений точечных оценок параметров модели могут использоваться различные методы, однако наибольшей популярностью пользуется метод максимального правдоподобия (ММП). В частности, для решаемой в данной работе задачи ММП позволяет без особых затруднений учитывать наличие цензурирования в анализируемой выборке [13]. Так, для модели‑кандидата M_j с функцией распределения F_j(x,Θ_j) и функцией плотности распределения f_j(x,Θ_j) логарифмическая функция правдоподобия, рассчитанная по выборке V={(t_i,σ_i)}, i=1,2,…,N и модифицированная для случая правого цензурирования, будет иметь вид:

${\Lambda }_j\left(\left.V\right|{\Theta }_j\right)=\sum _{i=1}^N\left[\begin{array}{l}{\sigma }_i\ln \left(f_j\left(t_i,{\Theta }_j\right)\right)+\\ +\left(1-{\sigma }_i\right)\ln \left(1-F_j\left(t_i,{\Theta }_j\right)\right)\end{array}\right]$. (1)

Вектор значений оценок параметров модели M_j тогда будет равен

${\widehat{\Theta }}_j=argmax{\Lambda }_j\left(\left.V\right|{\Theta }_j\right)$.

Для выбора наиболее адекватной ВМН из списка моделей-кандидатов может применяться подход, основанный на использовании информационных критериев, таких как информационный критерий Акаике (AIC) [14], байесовский информационный критерий (BIC) [15] и критерий Ханнана–Куинна (HQ) [16], позволяющих оценить относительное качество рассматриваемых моделей. Информационные критерии предоставляют возможность соблюсти баланс между точностью и сложностью модели, используя корректировку максимальных значений правдоподобия, зависящую от числа параметров и, в некоторых случаях, от объема выборки.

Значения перечисленных выше критериев для модели M_j определяются как

$AI{C}_j=2p_j-2{\Lambda }_j\left(\left.V\right|{\widehat{\Theta }}_j\right)$; (2)

$BI{C}_j=p_j\ln \left(N\right)-2{\Lambda }_j\left(\left.V\right|{\widehat{\Theta }}_j\right)$; (3)

$H{Q}_j=2p_j\ln \left(\ln \left(N\right)\right)-2{\Lambda }_j\left(\left.V\right|{\widehat{\Theta }}_j\right)$, (4)

где p_j – число параметров j-й модели; N – объем выборки; ${\Lambda }_j\left(\left.V\right|{\widehat{\Theta }}_j\right)$ – максимальное значение логарифмической функции правдоподобия j-й модели в соответствии с (1).

Модель-кандидат с наименьшим значением критерия считается наиболее пригодной. Однако, поскольку информационные критерии позволяют оценить лишь относительное качество моделей, необходима дополнительная проверка адекватности выбранной ВМН на основе критериев согласия. В данной работе такая проверка будет проводиться с использованием широко применяющихся в подобных задачах критериев согласия: Пирсона (хи-квадрат), Колмогорова, ω² Крамера–Мизеса–Смирнова и Ω² Андерсона–Дарлинга [17].

Проверяемая гипотеза $H_0:F\left(x\right)=F_0(x,\widehat{\Theta })$, где $F_0(x,\widehat{\Theta })$ есть функция распределения вероятностей, с которой проверяется согласие выборки, а $\widehat{\Theta }$ – вектор известных параметров распределения, является простой, если выборки, используемые для оценки параметров и для проверки согласия, различны.

Для вычисления значения критерия согласия Пирсона по выборке V область определения случайной величины X делят на k непересекающихся интервалов (0;x₁],(x₁;x₂],…,(x_k–1;x_k] и определяют количество элементов выборки, попавших в каждый интервал [18].

Статистика c_N² Пирсона определяется как

${\chi }_N^2=N\sum _{i=1}^k\frac{{\left(n_i/N-p_i\left(\widehat{\Theta }\right)\right)}^2}{p_i\left(\widehat{\Theta }\right)}$, (5)

где N – объем выборки; n_i – количество элементов выборки, попавших в i-й интервал; $p_i\left(\widehat{\Theta }\right)=\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}{f}_0(x,\widehat{\Theta })dx, f_0(x,\widehat{\Theta })$ – функция плотности распределения вероятностей.

Нулевая гипотеза отклоняется при заданном уровне значимости α, если полученное значение статистики больше, чем критическое значение χ²_N–1,a, являющееся квантилем уровня 1–a распределения хи-квадрат с k–1 степенями свободы. В противном случае у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Вычисление значений статистики χ_N² по формуле (5) предполагает, что выборка V является полной, то есть анализируемые данные не цензурированы. Для случая цензурированных данных в работе [19] предлагается получить «псевдополную» выборку, то есть заменить элементы (t_i,0)∈V на элементы вида (x_i,1), где x_i – случайное число, распределенное равномерно на интервале $\left(F_0^{-1}\right(t_i,\widehat{\Theta }); 1)$; $F_0^{-1}(x,\widehat{\Theta })$ – функция, обратная к $F_0(x,\widehat{\Theta })$. Там же утверждается, что погрешность, связанная с подобной модификацией выборки, незначительна уже для выборки объема N>20.

Использование критерия Колмогорова для проверки гипотез подразумевает расчет значения статистики [20]

$S_K=\frac{6N{D}_N+1}{6\sqrt{N}}$, (6)

где

$\begin{array}{c}{D}_N=\max \left(D_N^{+},D_N^{-}\right), D_N^{+}=\underset{1\le i\le N}{\max }\left\{\frac{i}{N}-F_0\left(x_i,\widehat{\Theta }\right)\right\},\\ D_N^{-}=\underset{1\le i\le N}{\max }\left\{F_0\left(x_i,\widehat{\Theta }\right)-\frac{i-1}{N}\right\}, F_0\left(x,\widehat{\Theta }\right)\end{array}$

– теоретическая функция распределения.

Статистику критерия ω² Крамера–Мизеса–Смирнова [20] можно найти по формуле

$S_{\omega }=\frac{1}{12N}+\sum _{i=1}^N{\left\{F_0\left(x_i,\widehat{\Theta }\right)-\frac{2i-1}{2N}\right\}}^2$, (7)

а критерия Ω² Андерсона–Дарлинга [20] как

$S_{\Omega }=-N-2\sum _{i=1}^N\left\{\begin{array}{l}\frac{2i-1}{2N}\ln F_0\left(x_i,\widehat{\Theta }\right)+\\ +\left(1-\frac{2i-1}{2N}\right)\ln \left(1-F_0\left(x_i,\widehat{\Theta }\right)\right)\end{array}\right\}$. (8)

Рассчитанные по формулам (6)–(8) значения статистик сравниваются с критическими значениями соответствующих критериев для заданного уровня значимости a [21]. При этом нулевая гипотеза $H_0:F\left(x\right)=F_0\left(x,\widehat{\Theta }\right)$ отвергается, если полученное значение статистики больше критического.

Модели-кандидаты

Помимо адекватности и высокой предсказательной способности дополнительными требованиями, выдвигаемыми к ВМН, являются простота модели и удобство работы с ней. Этим требованиям удовлетворяет, например, двухпараметрическое распределение Вейбулла [22], функцию распределения и функцию плотности распределения которого можно записать в следующем виде:

$F_W\left(x,\eta ,\beta \right)=1-\exp \left(-{\left(\frac{x}{\eta }\right)}^{\beta }\right)$; (9)

$f_W\left(x,\eta ,\beta \right)=\frac{\beta }{\eta }{\left(\frac{x}{\eta }\right)}^{\beta -1}\exp \left(-{\left(\frac{x}{\eta }\right)}^{\beta }\right)$, (10)

где x³0; η>0 – параметр масштаба; β>0 – параметр формы.

Распределение Вейбулла нашло широкое применение в задачах надежности и при анализе выживаемости, во многом благодаря малому количеству параметров и возможности получать различные формы кривых интенсивности отказов в зависимости от значения параметра β. Также несомненным достоинством этого распределения является наличие прозрачной интерпретации для параметра η: выражаемый в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина (наработка до отказа), параметр η определяет наработку, в течение которой откажут приблизительно 63 % объектов из исследуемой популяции.

При этом использование распределения Вейбулла в качестве закона распределения наработки на отказ не лишено недостатков: единственный параметр формы не позволяет получить большое разнообразие форм кривых интенсивностей отказов; являясь унимодальным, распределение Вейбулла не может служить адекватной ВМН в случаях, когда, например, отказы оборудования возникают по разным причинам.

Тем не менее мы не можем исключить модель надежности, основанную на распределении Вейбулла (МНВ), из списка рассматриваемых моделей-кандидатов.

При анализе выживаемости и в задачах эконометрики часто используются так называемые модели конкурирующих рисков (МКР) (competing risk model – CRM) [23], предназначенные для описания наработок оборудования в случаях, когда отказы могут являться результатами воздействия разных факторов.

Пусть существует k³2 различных причин возникновения отказов, и времена отказов, возникших по i-й причине (i=1,2,…,k), являются случайными величинами, распределенными в соответствии с законом, имеющим функцию распределения F_i(x). Тогда функция распределения наработки до отказа оборудования задается как

$F_{CRM}\left(x\right)=1-\prod _{i=1}^k\left(1-F_i\left(x\right)\right), x\ge 0$. (11)

В данной работе в качестве одной из моделей-кандидатов будет использоваться модель конкурирующих рисков с k=2 при допущении о том, что F_i(x)=F_W(x,η_i,β_i), то есть что существуют две основных причины выхода ПЭД из строя и что времена отказов ПЭД по i-й причине являются случайными величинами, имеющими распределение Вейбулла, задаваемое выражениями (9), (10), с параметрами η_i и β_i. С учетом этого выражение (11) примет вид

$F_{CRM}\left(x,{\rm H},{\rm B}\right)=1-\prod _{i=1}^2\exp \left[-{\left(\frac{x}{{\eta }_i}\right)}^{{\beta }_i}\right]$, (12)

а функция плотности распределения будет определяться как

$\begin{array}{c}{f}_{CRM}\left(x,{\rm H},{\rm B}\right)=\\ =\sum _{i=1}^2\left[\frac{{\beta }_i}{{\eta }_i}{\left(\frac{x}{{\eta }_i}\right)}^{{\beta }_i-1}\right]\prod _{i=1}^2\exp \left[-{\left(\frac{x}{{\eta }_i}\right)}^{{\beta }_i}\right],\end{array}$ (13)

где ${\rm H}=\left(\begin{array}{c}{\eta }_1\\ {\eta }_2\end{array}\right)$ – вектор параметров масштаба, а ${\rm B}=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)$ – вектор параметров формы распределений Вейбулла.

Используемая в данной работе МКР имеет четыре параметра, что, с одной стороны, позволяет надеяться на большую гибкость модели по сравнению с МНВ, но, с другой, данную модель, строго говоря, нельзя назвать простой. Однако современное математическое программное обеспечение позволяет без особых проблем использовать ее для практических расчетов.

Еще одним видом сложных распределений, нашедшим свое применение в задачах анализа эксплуатационной надежности, является конечная смесь распределений. Смеси распределений демонстрируют высокую адекватность при описании неоднородных данных [22, 24] и позволяют, например, учитывать наличие в общей популяции объектов нескольких субпопуляций, различающихся по каким-то признакам. Будем считать, что значения некоторой случайной величины X распределены в соответствии с k‑компонентной смесью распределений, если функция распределения этой величины определяется выражением

$F_X\left(x\right)=\sum _{i=1}^k{w}_i{F}_i\left(x\right)$, (14)

где F_i(x) – функция распределения i-й субпопуляции объектов; 0<w_i<1 – весовые коэффициенты, такие, что $\sum _{i=1}^k{w}_i=1$. В общем весовой коэффициент w_i выражает долю объектов i-й субпопуляции в генеральной совокупности. Для уменьшения сложности вероятностной модели можно сократить количество весовых коэффициентов, выразив, например, весовой коэффициент последнего компонента смеси в виде $w_k=1-\sum _{i=1}^{k-1}{w}_i$.

Подставляя в выражение (14) различные функции распределения, можно получить разнообразные законы распределения случайных величин. В данной работе в качестве одной из моделей-кандидатов будет использоваться двухкомпонентная смесь распределений Вейбулла (2СРВ), имеющая функцию распределения вида

$\begin{array}{c}{F}_{2CPB}\left(x,{\rm H},{\rm B},w\right)=1-w\exp \left[-{\left(\frac{x}{{\eta }_1}\right)}^{{\beta }_1}\right]-\\ -\left(1-w\right)\exp \left[-{\left(\frac{x}{{\eta }_2}\right)}^{{\beta }_2}\right]\end{array}$ (15)

и функцию плотности распределения

$\begin{array}{c}{f}_{2CPB}\left(x,{\rm H},{\rm B},w\right)=\\ =w\left[\frac{{\beta }_1}{{\eta }_1}{\left(\frac{x}{{\eta }_1}\right)}^{{\beta }_1-1}\exp \left[-{\left(\frac{x}{{\eta }_1}\right)}^{{\beta }_1}\right]\right]+\\ +\left(1-w\right)\left[\frac{{\beta }_2}{{\eta }_2}{\left(\frac{x}{{\eta }_2}\right)}^{{\beta }_2-1}\exp \left[-{\left(\frac{x}{{\eta }_2}\right)}^{{\beta }_2}\right]\right],\end{array}$ (16)

где ${\rm H}=\left(\begin{array}{c}{\eta }_1\\ {\eta }_2\end{array}\right)$ – вектор параметров масштаба; ${\rm B}=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)$ – вектор параметров формы распределений Вейбулла, а w – весовой коэффициент.

Используемая в данной работе модель 2СРВ имеет пять параметров и, таким образом, является самой сложной моделью из рассматриваемых.

Описание используемых данных

В работе используется выборка V данных о наработках ПЭД, мощностью 5,5 кВт, введенных в эксплуатацию с 2010 по 2015 гг., объемом N=688, содержащая N_F=588 значений наработок до отказа (в сутках) и N_R=100 значений наработок двигателей, не отказавших к началу 2024 г. Все ПЭД изготовлены одним производителем, имеют одинаковую мощность и одинаковое исполнение, что позволяет считать их статистически идентичными объектами. Выбор ПЭД с мощностью 5,5 кВт для анализа в данной статье обусловлен тем, что для них имеется наиболее представительная выборка, поскольку предприятием в основном используются именно такие двигатели.

Поскольку анализируемые данные не содержат информацию о наработках до отказа для всех ПЭД, выборка V не является полной. Будем рассматривать значения наработок не отказавших двигателей как значения моментов правого цензурирования. Таким образом, выборка V является многократно цензурированной справа со степенью цензурирования a=0,145.

В данной работе для выбора ВМН решаются задачи определения оценок параметров распределений вероятностей, используемых в качестве моделей‑кандидатов, и проверки гипотезы об адекватности выбранной ВМН с использованием непараметрических критериев согласия. Как утверждается в работе [25], использование одной и той же выборки для оценки параметров и для проверки приведет к тому, что проверяемая гипотеза будет сложной, а критерии согласия в этом случае лишатся свойства свободы от распределения. В связи с этим было принято решение о разделении выборки V на две части, V⁽¹⁾ и V⁽²⁾, с объемами N₁=347 и N₂=341, соответственно. Разделение проводилось случайным образом так, чтобы примерно половина значений наработок ПЭД, введенных в эксплуатацию в каждом году из рассматриваемого промежутка, попало в выборку V⁽¹⁾, которая будет использоваться для оценки параметров распределений. Оставшаяся часть значений составит выборку V⁽²⁾ и будет использоваться для верификации результатов. Также при разделении данных значения наработок до отказа и моментов цензурирования для двигателей, введенных в эксплуатацию в каждом году, делились в той же пропорции, для сохранения степени цензурирования каждой выборки приблизительно на одном уровне. В итоге выборка V⁽¹⁾ содержит N_F1=296 значений наработок до отказа и N_R1=51 значений времен цензурирования (степень цензурирования a₁=0,147); выборка V⁽²⁾ содержит N_F2=292 значения наработок до отказа и N_R2=49 значений времен цензурирования (степень цензурирования a₂=0,144).

Результаты исследования

Оценки максимального правдоподобия параметров рассматриваемых моделей‑кандидатов, рассчитанные по выборке V⁽¹⁾, приведены в табл. 1.

 

Таблица 1. Оценки максимального правдоподобия параметров исследуемых вероятностных моделей надежности

Table 1. Maximum likelihood estimates of the parameters of the probabilistic reliability models under consideration

ВМН	η1	β1	η2	β2	w
W	1605	1,16	–	–	–
МКР	1609	1,15	9954	4,61	–
2СРВ	205	4,46	1753	1,29	0,08

 

Подставив полученные оценки в формулы (9), (12) и (15), получим выражения функций вероятности отказа для моделей надежности Вейбулла, МКР и 2СРВ, соответственно. Значения информационных критериев, рассчитанные по формулам (2)–(4) для каждой из моделей‑кандидатов, приведены в табл. 2.

 

Таблица 2. Значения информационных критериев

Table 2. Values of the information criteria

ВМН	–2Λmax	AIC	HQ	BIC
W	4942,6	4946,6	4949,7	4954,3
МКР	4942,7	4950,7	4956,8	4966,1
2СРВ	4929,1	4939,1	4946,7	4958,3

 

Видно, что модель, основанная на двухкомпонентной смеси распределений Вейбулла, имеет наименьшие значения критериев AIC и HQ, и лишь немного уступает модели Вейбулла в соответствии с байесовским информационным критерием. При этом значения трех информационных критериев для всех рассматриваемых моделей‑кандидатов различаются незначительно. Однако наивысшим значением правдоподобия, т. е. наименьшим значением –2Λ_max без учета поправок, определяющих сложность ВМН, обладает модель 2СРВ.

При наличии настолько близких значений информационных критериев проведем процедуру верификации на основе критериев согласия для всех трех моделей‑кандидатов.

Для верификации используется цензурированная выборка V⁽²⁾ объемом N₂=341 со степенью цензурирования a₂=0,144. В соответствии с процедурой, описанной в [19], для каждой модели M_j с функцией распределения $F_j\left(x,{\widehat{\Theta }}_j\right)$ получим «псевдополные» выборки и разобьем область определения случайной величины X – «наработка до отказа» – на k=6 равновероятных непересекающихся интервалов. Задав значение уровня значимости a=0,05, определим значения статистики χ_N² Пирсона по формуле (5). Также рассчитаем по формулам (6)–(8) значения статистик критериев Колмогорова (S_K), Крамера–Мизеса–Смирнова (S_ω) и Андерсона–Дарлинга (S_Ω). Полученные значения статистик для рассматриваемых моделей приведены в табл. 3.

 

Таблица 3. Значения статистик критериев согласия

Table 3. Values of the goodness-of-fit criteria

ВМН	χN2	SK	Sω	SΩ
W	9,656	0,769	0,113	0,896
МКР	9,512	0,765	0,112	0,894
2СРВ	7,039	0,707	0,093	0,609

 

Критическое значение статистики Пирсона для уровня значимости a=0,05 и k–1=5  степеней свободы равно ${\chi }_{\mathrm{5,} 0.95}^2=\mathrm{11,07}$. Приведенные в [21] табличные критические значения для критериев Колмогорова, Крамера–Мизеса–Смирнова и Андерсона–Дарлинга для того же уровня значимости равны, соответственно,

$S_K^{\alpha }=\mathrm{1,3581,} S_{\omega }^{\alpha }=\mathrm{0,4614}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}и\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{S}_{\Omega }^{\alpha }=\mathrm{2,4924}$.

Из табл. 3 видно, что рассчитанные значения статистик используемых критериев согласия для всех рассматриваемых моделей меньше критических, следовательно, мы не можем отвергнуть ни одну из них. Однако вероятностная модель надежности, основанная на двухкомпонентной смеси распределений Вейбулла, обладает наименьшими значениями статистик, что дает нам, вместе с результатами анализа значений информационных критериев, дополнительное основание отдать предпочтение именно этой ВМН.

Сопоставление гистограммы распределения наблюдаемых наработок до отказа из проанализированной выборки V и функции плотности распределения (16) с параметрами из табл. 1 говорит о высокой степени соответствия полученной модели 2СРВ и имеющихся данных об отказах ПЭД (рис. 1).

 

Рис. 1. Гистограмма распределения наработок до отказа и функция плотности модели надежности, основанной на двухкомпонентной смеси распределений Вейбулла

Fig. 1. Histogram of times-to-failure and the failure density function for the reliability model based on two-component mixture of Weibull distributions

 

Более того, функция плотности распределения на рис. 1 хорошо отражает наличие в имеющейся совокупности ПЭД значительного числа экземпляров с низкой наработкой до отказа, что подтверждается совпадением моды функции плотности модели 2СРВ и наблюдаемого всплеска количества отказов двигателей. Вероятностные модели Вейбулла и МКР такой возможности не предоставляют (рис. 2, 3), поскольку их функции плотности, определяемые соответственно выражениями (10) и (13), игнорируют наличие такого всплеска.

 

Рис. 2. Гистограмма распределения наработок до отказа и функция плотности модели надежности Вейбулла

Fig. 2. Histogram of times-to-failure and the failure density function for the Weibull reliability model

 

Рис. 3. Гистограмма распределения наработок до отказа и функция плотности модели надежности конкурирующих рисков

Fig. 3. Histogram of times-to-failure and the failure density function for the competing risks reliability model

 

Коэффициенты модели 2СРВ из табл. 1 позволяют утверждать, что наработка до отказа около 8 % всех ПЭД является случайной величиной, распределенной по закону Вейбулла с параметрами η₁=205 и β₁=4,46 (средняя наработка до отказа равна 187 суток). Отказы основной части оборудования распределены по закону Вейбулла с параметрами η₂=1753 и β₂=1,29 (средняя наработка до отказа равна 1622 суток).

На рис. 4 приведены графики функций плотности компонентов смеси распределений, масштабированные с учетом весового коэффициента: wf₁(x,η₁,β₁) (красная кривая) и (1–w)f₂(x,η₂,β₂) (синяя кривая), где f₁ и f₂ – функции, определяемые выражением (10).

 

Рис. 4. Функции плотности компонентов двухкомпонентной смеси распределений Вейбулла

Fig. 4. Probability density functions of components in the two-component mixture of Weibull distributions

 

Таким образом, в соответствии с моделью 2СРВ в общей совокупности ПЭД можно выделить две группы двигателей с существенно различающимися показателями надежности. Данная модель принята за базовую модель надежности ПЭД, используемых для добычи урана методом СПВ. В ходе дальнейших исследований, на основе вновь полученных данных, эту модель планируется усовершенствовать путем уточнения её параметров с учетом различных типов ПЭД и условий их эксплуатации. Кроме того, на основе полученных в результате данного исследования закономерностей выхода из строя ПЭД планируется провести анализ причин отказов и подготовить предложения по увеличению их времени наработки до отказа.

Заключение

Было проведено исследование трех ВМН для электродвигателей погружных насосов, используемых при добыче урана методом скважинного подземного выщелачивания:

• модели надежности Вейбулла;
• МКР, предполагающей, что отказы ПЭД происходят по одной из двух несовместных причин;
• модели, основанной на предположении о том, что распределение наработки до отказа описывается двухкомпонентной смесью распределений Вейбулла (2СРВ).

Используя метод максимального правдоподобия, были определены точечные оценки параметров ВМН. Для всех ВМН были рассчитаны значения информационных критериев, а также значения статистик критериев согласия.

 По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Значения информационных критериев не позволили однозначно выявить наилучшую ВМН. Однако модель 2СРВ является наиболее точной и определена как наиболее предпочтительная в соответствии с двумя критериями из трех используемых.
2. Проверка адекватности моделей на основе критериев согласия не позволила отвергнуть ни одну из рассматриваемых ВМН. При этом модель 2СРВ продемонстрировала более высокую согласованность с реальными данными, чем другие модели.
3. Использование модели 2СРВ позволило обнаружить наличие группы двигателей с низкими значениями средней наработки до отказа в совокупности рассматриваемых ПЭД.
4. Поскольку для анализа были предоставлены данные статистически идентичных объектов, мы не можем объяснить имеющуюся неоднородность данных наличием ПЭД с различающимися техническими характеристиками
5. Наличие существенного количества электродвигателей с низкими значениями наработок до отказа может быть связано либо с невыявленными дефектами ПЭД, либо с более тяжелыми условиями эксплуатации, в которых функционируют некоторые экземпляры оборудования. Окончательный вывод по этому поводу может быть сделан на основании дополнительных исследований.
6. Результаты данного исследования могут быть использованы для уточнения потребности в закупках ПЭД при разработке новых или в ходе эксплуатации существующих месторождений урана, разрабатываемых методом скважинного подземного выщелачивания.

About the authors

Alexander A. Efremov

National Research Tomsk Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: alexyefremov@tpu.ru
ORCID iD: 0000-0001-8149-3641

Senior Lecturer

Russian Federation, Tomsk

Kamol K. Kadyrov

DALUR JSC

Email: kakkadyrov@rosatom.ru

First Deputy Director, Production Director

Russian Federation, Uksyanskoe

Mikhail D. Noskov

Seversk Technological Institute – branch of the MEPhI National Research Nuclear University

Email: MDNoskov@mephi.ru

Dr. Sc., Professor

Russian Federation, Seversk

Alexander A. Filipas

National Research Tomsk Polytechnic University

Email: filipas@tpu.ru
ORCID iD: 0000-0002-5376-5416

Cand. Sc., Associate Professor, Head of Division for Automation and Robotics

Russian Federation, Tomsk

Alexander A. Shchipkov

Seversk Technological Institute – branch of the MEPhI National Research Nuclear University

Email: AAShchipkov@mephi.ru
ORCID iD: 0009-0006-4633-9175

Cand. Sc., Associate Professor

Russian Federation, Seversk

References

Supplementary files