Том 25, № 4 (2023)

В данной работе предлагается подход к получению оценки константы Лебега для интерполяционного процесса Лагранжа с узлами в нулях многочленов Чебышева первого рода. Двусторонняя оценка этой константы осуществлена с использованием логарифмической производной от гамма-функции Эйлера и дзета-функции Римана. Выбор узлов интерполирования обусловлен тем, что в этом случае при фиксированном числе узлов Чебышева постоянная Лебега стремится к своему минимальному значению, уменьшая погрешность алгебраического интерполирования и обеспечивая меньшую чувствительность по отношению к ошибкам округления. Выражения для верхней и нижней границ этой постоянной представлены в виде конечных сумм асимптотического знакочередующегося ряда. На основе полученных выражений вычисляются значения этих границ в зависимости от числа узлов интерполяционного процесса и проводится оценка погрешности найденных значений для каждой из границ на основе первого отброшенного слагаемого в конечных суммах асимптотического ряда. Результаты выполненных расчетов представлены в таблицах, в которых приведены отклонения величины константы Лебега от нижней и верхней границ ее оценки, а также погрешности найденных значений в зависимости от числа узлов Чебышева. С использованием численных методов показано, что с увеличением числа этих узлов происходит быстрое сближение значений границ полученной двусторонней оценки для постоянной Лебега. Представленные результаты могут быть использованы в теории интерполяции для оценки нормы оператора, сопоставляющего функции ее интерполяционный полином, и оценки отклонения построенного возмущенного полинома от невозмущенного.

Одной из конструкций получения потоков на многообразии является построение надстройки над каскадом. В этом случае поток является неособым, то есть не имеет неподвижных точек. C. Смейл показал, что надстройки над сопряженными диффеоморфизмами топологически эквивалентны. Обратное утверждение неверно в общем случае, но, при некоторых предположениях сопряженность диффеоморфизмов равносильна эквивалентности надстроек. Так, в работе Дж. Икегами показано, что критерий работает в случае, когда диффеоморфизм задан на многообразии, чья фундаментальная группа не допускает эпиморфизм в группу Z. Там же построены примеры не сопряженных диффеоморфизмов окружности, надстройки над которыми эквивалентны. В работе И. В. Голиковой и О. В. Починки рассмотрены надстройки над диффеоморфизмами окружностей и доказано, что полным инвариантом эквивалентности надстроек над сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами является равенство периодов периодических точек, порождающих их диффеоморфизмов. В то же время из результата А. Г. Майера известно, что для сопряженности сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов необходимым также является совпадение чисел вращения. В тоже время, надстройки над меняющими ориентацию диффеоморфизмами окружностей эквивалентны тогда и только тогда, когда топологически сопряжены соответствующие диффеоморфизмы окружностей. В работе С. Х. Зининой и П. И. Починки доказано, что надстройки над меняющими ориентацию декартовыми произведениями диффеоморфизмов окружностей эквивалентны тогда и только тогда, когда топологически сопряжены соотвествующие диффеоморфизмы торов. В настоящей работе получен классификационный результат для надстроек над декартовыми произведениями сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружностей.

Задача устойчивости скалярного функционально-дифференциального уравнения имеет классический характер. Наиболее полно она изучена для уравнений линейного типа. Современные исследования по моделированию биологических, инфекционных и других процессов приводят к необходимости определения качественных свойств решений более общих уравнений. В данной работе изучается задача об устойчивости и глобальном предельном поведении решений нелинейного одномерного (скалярного) уравнения с переменным запаздыванием, с неограниченной и ограниченной правой частью. К такой задаче, в частности, сводятся исследования: об устойчивости нестационарного решения нелинейного скалярного уравнения типа Лотки-Вольтерра, о стабилизации и управлении нестационарным процессом, описываемым таким уравнением. Поставленная задача рассмотрена в зависимости от случаев: запаздывание является ограниченной дифференцируемой функцией или непрерывным и ограниченным. Исследование основано на применении метода функционалов Ляпунова-Красовского и соответствующих теорем об устойчивости неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием. Выведены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения, в том числе, глобальной при любых начальных непрерывных функциях. По теореме одного из соавторов об исследовании предельного поведения решений неавтономного функционально-дифференциального уравнения на основе функционала Ляпунова со знакопостоянной производной выводятся свойства притяжения решений к множеству состояний равновесия исследуемого уравнения. Приведены иллюстративные примеры.

В настоящей статье рассматриваются такие неголономные механические системы, как конек Чаплыгина, неоднородные сани Чаплыгина и шар Чаплыгина, движущиеся в поле силы тяжести по колеблющейся плоскости с углом наклона, меняющимся по периодическому закону. Явным интегрированием уравнений движения конька Чаплыгина и неоднородных саней Чаплыгина получены аналитические выражения скоростей и траекторий точки контакта. Найдены числовые параметры периодического закона, по которому должен изменяться угол наклона, чтобы скорость конька Чаплыгина была неограничена, то есть имело место ускорение. В случае неоднородных саней, наоборот, найдены числовые параметры периодического закона, при которых скорость ограничена и отсутствует дрейф саней, в то время как при равных прочих параметрах и начальных условиях при движении по горизонтальной или наклонной с постоянным углом наклона плоскости скорость и траектория точки контакта неограничены, то есть имеет место дрейф саней. Аналогичная задача решается для шара Чаплыгина, траектории строятся на основе численного интегрирования. Результаты проиллюстрированы графически. Для обсуждения предлагается управление углом наклона плоскости, зависящее от момента импульса шара. Такое управление независимо от начальных условий почти всегда может предотвратить дрейф шара в одном из направлений.

Использование энергоустановок на основе топливных элементов является перспективным направлением в получении электроэнергии. Однако на пути их широкого внедрения стоит проблема высокой стоимости и доступности используемого топлива. Для решения этой проблемы разрабатываются эффективные системы, работающие на дизельном топливе. Основная задача заключается в создании устройства - топливного процессора, которое бы конвертировало дизельное топливо в водородосодержащий газ. Устройство состоит из нескольких блоков: форсунка для впрыска жидкого топлива в перегретый пар в виде капель, зона смешения и испарения дизельного топлива, область подачи воздуха, реакционная зона, включающая катализатор. Подбор температуры для протекания процесса испарения должен быть произведен таким образом, чтобы, с одной стороны, жидкие капли не попадали на поверхность катализатора, а, с другой стороны, не запускались газофазные реакции в зоне смешения. Для разработки такого устройства требуется не только проведение лабораторных экспериментов и исследование катализатора процесса, но и оптимизация основных физических характеристик устройства, таких как его линейные размеры, рабочая температура, расходы реагентов и многих других. Проведение такого исследования невозможно без использования методов математического моделирования. Это существенно сокращает сроки и стоимость работ. В данной работе представлена цифровая модель устройства для формирования паро-воздушно-углеводородной смеси в осесимметричной постановке. Изучена динамика дозвукового многофазного течения водяного пара, несущего капли жидкого дизельного топлива, процесс испарения и смешивания дизельного топлива с водяным паром и воздухом. Математическая модель была реализована в пакете ANSYS Fluent (академическая лицензия ССКЦ СО РАН).