Том 25, № 1 (2023)

Настоящая работа посвящена классу самоаффинных множеств на плоскости, заданных шестью гомотетиями, центры которых находятся в вершинах правильного шестиугольника P, а коэффициенты гомотетий принадлежат интервалу (0, 1). Отметим, что равенство коэффициентов гомотетий не предполагается. Самоаффинное множество на плоскости представляет собой непустое компактное подмножество, инвариантное относительно рассматриваемого семейства гомотетий. Существование и единственность самоаффинного множества обеспечивает теорема Хатчинсона. Целью данной работы является исследование влияния коэффициентов гомотетий на свойства самоаффинного множества. Для описания самоаффинного множества введены барицентрические координаты на плоскости. Найдены условия, при которых самоаффинное множество является: a) шестиугольником P; b) канторовым множеством в шестиугольнике P. Вычислены размерности Минковского и Хаусдорфа указанных самоаффинных множеств. Получены условия, при выполнении которых мера Лебега самоаффинного множества равна нулю. Приведены примеры самоаффинных множеств из рассматриваемого класса.

В представленной статье исследуется нелинейная счётномерная система интегро-дифференциальных уравнений, вектором неизвестных у которой является счётное множество функций двух переменных. Эти переменные интерпретируются как пространственная координата и время. Нелинейность рассматриваемой системы сконструирована из двух одновременных свёрток, а именно, из свёртки в смысле функционального анализа и из свёртки в смысле линейного пространства двусторонних последовательностей. Начальное условие для этой системы является двусторонней последовательностью функций одного переменного, определённых на всей действительной оси. Сама система может быть записана в виде одного абстрактного уравнения в линейном пространстве двусторонних последовательностей, разрешённого относительно производной по времени, то есть как динамическая система. Решение этого абстрактного уравнения можно трактовать как аппроксимацию решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения, неизвестная функция которого зависит не только от времени, но и от двух пространственных переменных. В работе найдено общее представление точного решения исследуемой системы. Также даны два типа конкретных примеров точных решений этой системы. Первый из них демонстрирует пространственно-временное поведение колебательного характера, а второй тип решений ведёт себя во времени монотонно. В статье приведены типичные графики первых компонент этих решений. Более того, показано, что из этих точных решений в рамках некоторой процедуры можно сгенерировать счётное множество новых точных решений рассматриваемой системы. С точки зрения радиотехники эта процедура совпадает с процедурой повышения частоты дискретизации в цифровой обработке сигналов.

Работа посвящена построению прямых и итерационных численных методов решения функциональных уравнений с наследственными компонентами. Такие уравнения являются удобным аппаратом моделирования динамических систем. В частности, они используются в моделях популяций, структурированных по возрасту с конечной продолжительностью жизни. В работе используются модели на основе интегро-дифференциальных и интегральных уравнений с различного рода запаздывающими аргументами. Для нелинейных уравнений проводится линеаризация операторов по модифицированной схеме Ньютона-Канторовича. Для дискретизации линейных уравнений применяются методы квадратур и простой итерации. Построены итерационный метод решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения на полуоси (-∞,0), прямой метод решения задачи восстановления сигнала, итерационные методы решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра с константной задержкой. Для аппроксимации несобственных интегралов на полуоси применены специальные квадратурные формулы, построенные на основе ортогональных многочленов Лаггера. Приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующие сходимость предложенных методов.