Отправить статью по E-mail Исследование вынужденных колебаний в неоднородной цепочке линейных осцилляторов методом Ляпунова-Шмидта
- Авторы: Шаманаев П.А.1, Катин Д.А.2, Ошина Н.В.2
-
Учреждения:
- Научно-технологический университет «Сириус»
- Национальный исследовательский Мордовский государственный университет
- Выпуск: Том 27, № 4 (2025)
- Страницы: 471-487
- Раздел: Прикладная математика и механика
- Статья опубликована: 26.11.2025
- URL: https://bakhtiniada.ru/2079-6900/article/view/365482
- DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.27.202504.471-487
- ID: 365482
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Исследуются продольные колебания неоднородной цепочки линейных осцилляторов, соединённых пружинами. Крайние пружины цепочки жёстко закреплены на неподвижных опорах. Система находится под действием внешних периодических сил.
Неоднородность цепочки (возмущенная система) обусловлена тем, что коэффициенты жёсткости пружин различны. Коэффициенты жёсткости мало отклоняются от некоторого номинального значения и зависят от безразмерных параметров отклонения. Нулевое значение безразмерных параметров отклонения соответствует однородной (невозмущённой) системе.
Рассматривается резонансный случай, когда частота внешней периодической силы совпадает с одной из собственных частот невозмущенной системы.
Для построения точного периодического решения возмущенной системы применяется метод Ляпунова-Шмидта. Благодаря линейности задачи, этот метод позволяет свести её к конечномерной алгебраической задаче построения обобщённой жордановой цепочки для вырожденного линейного оператора.
Получены необходимые и достаточные условия на безразмерные параметры отклонения, при которых длина такой цепочки равна $1$ или $2$. Для каждого случая выведены точные явные формулы для элементов цепочки, дающие полное описание периодического решения.
Показано, что при длине обобщенной жордановой цепочки, равной $1$, и стремлении малого параметра $\varepsilon$ к нулю периодическое решение возмущенной системы непрерывно переходит в некоторое периодическое решение невозмущенной системы.
Если же длина обобщенной жордановой цепочки равна $2$, то периодическое решение возмущенной системы имеет полюс первого порядка в точке $\varepsilon=0$, а при $\varepsilon=0$ переходит в однопараметрическое семейство периодических решений невозмущенной системы.
Численное моделирование проводилось на примере цепочки из восьми осцилляторов. Построены графики периодических решений и фазовых траекторий возмущенной системы при различных значениях малого параметра.
Об авторах
Павел Анатольевич Шаманаев
Научно-технологический университет «Сириус»
Email: korspa@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-0135-317X
к.ф.-м.н., ведущий инженер-исследователь направления «Математическая робототехника»
Россия, 354340, Россия, Федеральная территория «Сириус», Олимпийский проспект, д. 1Дмитрий Александрович Катин
Национальный исследовательский Мордовский государственный университет
Email: dmitriykatinn@gmail.com
ORCID iD: 0009-0009-6335-6016
магистрант факультета математики и информационных технологий
Россия, 430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68Наталья Владиславовна Ошина
Национальный исследовательский Мордовский государственный университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: natali.oshina@mail.ru
ORCID iD: 0009-0004-9193-3590
магистрант факультета математики и информационных технологий
Россия, 430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68Список литературы
- Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. 2-е изд. М.: Гостехиздат, 1950. 200 с.
- Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. 300 с.
- Вибрации в технике: Справочник в 6-ти т. Том 1. Колебания линейных систем / под ред. В. В. Болотина; ред. совет: В. Н. Челомей (пред.). Москва : Машиностроение, 1978. 352 с.
- Трубецков Д. И., Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 416 с.
- Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. Санкт-Петербург : Лань, 2005. 3-е изд., испр. 440 с.
- Коткин Г. Л., Сербо В. Г., Черных А. И. Лекции по аналитической механике : учебное пособие. Изд. 2-е, испр. М.–Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2017. 236 с.
- Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны Москва: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1997. 495 с.
- Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.
- Sidorov N.A., Loginov B.V., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapounov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications. Kluwer Academic Publishers, 2002, 548 p.
- Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. О ветвлении периодических решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений c вырожденным или тождественным оператором при производной и возмущением в виде малого линейного слагаемого // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18, № 1. С. 45–53.
- Шаманаев П. А. О биортогонализации полных обобщенных жордановых наборов линейного оператора и ему сопряженного в банаховом пространстве [Электронный ресурс] // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: X Международная научная молодежная школа-семинар имени
- Е.В. Воскресенского (Саранск, 14-18 июля 2022 г.). - С. 221-224. Режим доступа: https ://conf.svmo.ru/files/2022/papers/paper35.pdf. - Дата обращения: 11.12.2025.
- Шаманаев П. А., Прохоров С. А. Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений с малым параметром методом Ляпунова-Шмидта в регулярном случае [Электронный ресурс] // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ имени Е.В. Воскресенского: IX Международная научная молодежная школа-семинар (Саранск, 8-11 октября 2020 г.). - С. 129-131.Режим доступа: https://conf.svmo.ru/files/2020/papers/paper40.pdf. - Дата обращения: 11.12.2025.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 2-е изд. М.: Наука, 1966. 576 с.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 488 с.
Дополнительные файлы
