Энергетическая функция для диффеоморфизмов с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В настоящей статье рассматриваются Ω-устойчивые диффеоморфизмы, заданные на гладких замкнутых ориентируемых многообразиях размерности n≥3, все нетривиальные базисные множества которых являются либо растягивающимися аттракторами, либо сжимающимися репеллерами коразмерности 1. Благодаря простой топологической структуре бассейнов аттракторов и репеллеров такого типа можно осуществить переход от данной динамической системы с нетривиальными базисными множествами к регулярной системе, представляющей собой гомеоморфизм с конечным гиперболическим цепно-рекуррентным множеством. Как известно, не все дискретные динамические системы обладают энергетической функцией — глобальной функцией Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с цепно-рекуррентным множеством системы. Контрпримеры были найдены как среди регулярных диффеоморфизмов, так и среди диффеоморфизмов с хаотической динамикой. Основным результатом данной работы является доказательство того, что топологические энергетические функции для исходного диффеоморфизма и соответствующего ему регулярного гомеоморфизма существуют или отсутствуют одновременно. Таким образом, многочисленные результаты, полученные в области существования энергетических функций для систем с регулярной динамикой, например, для диффеоморфизмов Морса-Смейла, можно применить к исследованию диффеоморфизмов с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами коразмерности 1.

Об авторах

Ольга Александровна Кольчурина

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Автор, ответственный за переписку.
Email: oakolchurina@edu.hse.ru
ORCID iD: 0000-0002-4998-2186

студент факультета информатики, математики и компьютерных наук

Россия, Нижний Новгород

Список литературы

  1. Conley C. Isolated invariant sets and the Morse index. Providence: American Mathematical Society, 1978. Vol. 38, No. 1. 100 p.
  2. Smale. S. On gradient dynamical systems // Ann. of Math. 1961. Vol. 74, No. 1. pp. 199–206.
  3. Meyer K. R. Energy functions for Morse Smale systems // American Journal of Mathematics. 1968. Vol. 90, No. 4. pp. 1031–1040. DOI: https://doi.org/10.2307/2373287
  4. Franks J. Nonsingular smale flows on S3 // Topology. 1985. Vol. 24. pp. 265–282. DOI: https://doi.org/10.1016/0040-9383(85)90002-3
  5. Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Починка О. В. Энергетическая функция градиентноподобных потоков и проблема топологической классификации // Математические заметки. 2014. Т. 96, № 6. С. 856–863. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm1056
  6. Босова А.А., Круглов В.Е., Починка О.В. Энергетическая функция для Ω-устойчивого потока с седловой связкой на сфере // Таврический вестник информатики и математики. 2017. № 4. С. 51–58.
  7. Колобянина А. Е., Круглов В. Е. Энергетическая функция Морса-Ботта для поверхностных Ω-устойчивых потоков // Журнал СВМО. 2020. Т. 22, № 4. С. 434– 441. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.22.202004.434-441
  8. Починка О. В., Зинина С. Х. Динамика регулярных топологических потоков // Таврический вестник информатики и математики. 2020. № 3. С. 77–91.
  9. Pochinka O., Zinina S. Construction of the Morse – Bott energy function for regular topological flows // Regular and Chaotic Dynamics. 2021. Vol. 26, No. 4. P. 350–369. DOI: https://doi.org/10.1134/S1560354721040031
  10. Гринес В. З., Починка О. В. Построение энергетических функций для Ω-устойчивых диффеоморфизмов на 2- и 3-многообразиях // Современная математика. Фундаментальные направления. 2017. Т. 63, № 2. С. 191–222. DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2017-63-2-191-222
  11. Pixton D. Wild unstable manifolds// Topology. 1977. Vol. 16, Issue 2. pp. 167–172. DOI: https://doi.org/10.1016/0040-9383(77)90014-3
  12. Гринес В. З., Лауденбах Ф., Починка О. В. Квази-энергетическая функция для диффеоморфизмов с дикими сепаратрисами // Матем. заметки. 2009. Т. 86, № 2. С. 175–183. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm8474
  13. Митрякова Т. М., Починка О. В., Шишенкова А. Е. Энергетическая функция для диффеоморфизмов поверхностей с конечным гиперболическим цепно-рекуррентным множеством // Журнал Средневолжского математического общества. 2012. Т. 14, № 1. С. 98–106.
  14. Починка О. В., Лауденбах Ф., Гринес В. З. Динамически упорядоченная энергетическая функция для диффеоморфизмов Морса–Смейла на 3-многообразиях // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2012. Т. 278. № 0,5. С. 34–48.
  15. Баринова М. К., Гринес В. З., Починка О. В. Критерий существования энергетической функции у регулярного гомеоморфизма 3-сферы // Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН. 2023. Т. 321, № 1. С. 45–61. DOI: https://doi.org/10.4213/tm4323
  16. Barinova M. On Existence of an energy function for \Omega-stable surface diffeomorphisms // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42. No. 14. P. 3317–3323. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080222020020
  17. Гринес В. З., Носкова М. К., Починка О. В. Энергетическая функция для А-диффеоморфизмов поверхностей с одномерными нетривиальными базисными множествами // Динамические системы. 2015. Т. 5, № 1-2. С. 31–37.
  18. Починка О. В., Гринес В. З., Носкова М. К. Построение энергетической функции для трёхмерных каскадов с двумерным растягивающимся аттрактором // Труды Московского математического общества. 2015. Т. 76, № 2. С. 271–286.
  19. Barinova M., Grines V., Pochinka O., Yu B. Existence of an energy function for threedimensional chaotic “sink-source” cascades // Chaos. 2021. Vol. 31. No. 6. Article number: 063112. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0026293
  20. Баринова М. К., Шустова Е. К. Об энергетической функции для прямого произведения дискретных динамических систем // Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25, № 2. С. 11–21. DOI: https://doi.org/10.15507/2079- 6900.25.202302.11-21
  21. Баринова М. К., Шустова Е. К. Динамические свойства прямых произведений дискретных динамических систем // Журнал Средневолжского математического общества. 2022. Т. 24. № 1. С. 21–30. DOI: https://doi.org/10.15507/2079- 6900.24.202201.21-30
  22. Palis J., Melo W. Geometric theory of dynamical systems: an introduction. NY: Springer New York, 2012. 198 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5703-5
  23. Shub M. Stabilité globale des systèmes dynamiques // Astérisque. 1978. Vol. 56. 224 p.
  24. Smale S. The Ω-stability theorem // Same Proceedings. 1970. Vol. 14. pp. 289–297.
  25. Franke J. E., Selgrade J. F. Hyperbolicity and chain recurrence // Journal of Differential Equations. 1977. Vol. 26. No. 1. pp. 27–36. DOI: https://doi.org/10.1016/0022-0396(77)90096-1
  26. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bulletin of the American Mathematical Society. 1967. Vol. 73. №. 6. pp. 747–817.
  27. Milnor J. On manifolds homeomorphic to the 7-Sphere // Annals of Mathematics. 1956. Vol. 64, No. 2. pp. 399–405. DOI: https://doi.org/10.2307/1969983
  28. Donaldson S. K. An application of gauge theory to four-dimensional topology // Journal of Differential Geometry 1983. Vol. 18. No. 2. pp. 279–315.
  29. Barinova M. On isolated periodic points of diffeomorphisms with expanding attractors of codimension 1 // Cornell University. Series Math Arxiv.org. 2024. DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2404.15699
  30. Grines V. Z., Medvedev V. S., Zhuzhoma E. V. On the topological structure of manifolds supporting axiom A Systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2022. Vol. 27, No. 6. pp. 613-628. DOI: https://doi.org/10.1134/S1560354722060028

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Кольчурина О.А., 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».