№ 3 (2025)
МАТЕМАТИКА
О сходимости метода Галеркина для решения гиперсингулярных интегральных уравнений в специальных классах функций
Аннотация
Актуальность и цели. Рассматривается численный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений на отрезке, которые возникают во многих задачах математической физики. Материалы и методы. Применяется метод Галеркина для решения гиперсингулярных уравнений с базисными функциями – многочленам Чебышева 2-го рода. Проекционный метод рассматривается в специальных классах функций. Результаты и выводы. Доказывается сходимость метода Галеркина для решения гиперсингулярных уравнений в специальных классах функций. Получена оценка скорости сходимости метода Галеркина.
3-12
Численный метод решения скалярной задачи дифракции монохроматической волны на экране с нелинейными условиями сопряжения
Аннотация
Актуальность и цели. Цель исследования – разработка численного метода для решения скалярной задачи дифракции на плоском экране с нелинейными условиями сопряжения. Материалы и методы. Задача сопряжения сводится к слабосингулярному нелинейному интегральному уравнению. Для решения интегрального уравнения используется метод коллокаций. Результаты. Задача дифракции сведена к нелинейному интегральному уравнению по поверхности экрана. Разработан численный метод для приближенного решения интегрального уравнения. Выводы. Разработан и программно реализован эффективный численный метод для решения актуальной задачи дифракции.
13-22
Эквиограниченность по Пуассону в пределе и эквиосциллируемость в пределе множеств всех решений систем дифференциальных уравнений
Аннотация
Актуальность и цели. Исследуются осциллирующие движения динамических систем, а именно движения, которые не являются ограниченными и, кроме того, обладают тем свойством, что не стремятся к бесконечности при стремлении времени к плюс бесконечности. Такие движения играют важную роль в различных задачах математической физики, небесной механики, термодинамики и астрофизики. Материалы и методы. Введены в рассмотрение новые понятия, связанные с осциллируемостью множества всех решений системы дифференциальных уравнений – понятие эквиосциллируемости в пределе множества всех решений и частичные аналоги этого понятия. Результаты. На основе принципа сравнения Матросова с вектор-функциями Ляпунова и найденной автором связи между ограниченностью по Пуассону и осциллируемостью решений получены достаточные условия эквиосциллируемости в пределе множества всех решений, а также частичные аналоги этих условий. Работа продолжает исследования автора по изучению ограниченности и осциллируемости множеств всех решений дифференциальных систем с использованием функций Ляпунова и вектор-функций Ляпунова. Выводы. Полученные теоретические результаты могут быть использованы для анализа сложных динамических систем в различных областях науки.
23-35
Итерационный алгоритм для решения нелинейных интегральных уравнений
Аннотация
Актуальность и цели. Целью данного исследования является разработка эффективного алгоритма для решения нелинейных интегральных уравнений. Материалы и методы. Представлено описание и обоснование метода, основывающегося на применении принципа сжимающих отображений. Результаты. Рассмотрено применение метода к различным задачам, представлены численные результаты решения интегральных уравнений, показывающие сходимость метода. Выводы. Решение тестовых задач приведено для различных параметров нелинейности, что позволяет сделать вывод о качестве предложенного метода.
36-44
ФИЗИКА
Перестраиваемые поляризационные магнитооптические эффекты при рассеянии терагерцового излучения на решетках графеновых нанолент в магнитном поле
Аннотация
Актуальность и цели. Целью работы является численное исследование особенностей резонансных (за счет возбуждения и распространения плазмонных возбуждений) поляризационных магнитооптических (МО) эффектов и способов управления поляризацией терагерцового (ТГц) излучения при рассеянии на решетках графеновых нанолент во внешнем магнитном поле. Материалы и методы. Графен – 2D-материал с уникальными оптическими и электронными свойствами – служит платформой для новых ТГц-приложений и микроминиатюрных систем с новыми возможностями. Возбуждение поверхностных магнитоплазмонов-поляритонов с законом дисперсии, измененным вследствие приложения внешнего магнитного поля, значительно усиливает МО-эффекты в графеновых структурах. Впервые численное исследование поляризационных МО-эффектов проведено методами автоматизированного моделирования с помощью программного комплекса CST MWS на основе решения (методом конечных элементов в частотной области) электродинамической задачи дифракции волны на решетке графеновых нанолент при приложении перпендикулярного внешнего магнитного поля и анализа характеристик дифрагированного поля в ТГц-диапазоне. Результаты. Получены результаты моделирования 3D-e-Field-диаграмм рассеяния нормально падающей TEM-волны p-поляризации на ячейке решетки графеновых нанолент в перпендикулярном внешнем магнитном поле на частотах плазмонного (при B0 = 0) и магнитоплазмонных резонансов для различных значений B0 (2, 4, 7, 10 Тл). На основе анализа результатов расчета отношения горизонтальной и вертикальной компонент Ех/Еу дифрагированного поля и осевого соотношения AR в точках сечения (φ = 0°) главного лепестка 3D-e-Field-диаграмм рассеяния исследован вид поляризации рассеянного ТГц-излучения и рассчитаны угол вращения Фарадея плоскости поляризации прошедшей волны и угол вращения Керра, описывающий поворот оси поляризации отраженной волны. Выводы. Из результатов численного исследования следует, что при дифракции нормально падающей TEM-волны p-поляризации на ячейке решетки графеновых нанолент при приложении перпендикулярного внешнего магнитного поля на частотах магнитоплазмонных резонансов наблюдаются перестраиваемые по частоте МО-эффекты: поворот плоскости поляризации линейно-поляризованной волны при прохождении через намагниченную графеновую решетку, когда волновой вектор падающей волны параллелен вектору напряженности внешнего магнитного поля (эффект Фарадея), при этом угол вращения Фарадея зависит от величины внешнего магнитного поля; изменение ориентации поляризации и эллиптичности отраженной волны (полярный МО-эффект Керра), линейно-поляризованная ТГц-волна, отражаясь от намагниченного графена, становится эллиптически поляризованной. При этом большая ось эллипса поляризации поворачивается на некоторый угол по отношению к плоскости поляризации падающего ТГц-излучения пропорционально величине внешнего магнитного поля.
45-65
Влияние постоянного магнитного поля на усталостную долговечность диамагнетиков: роль эффекта Зеемана в усталостной прочности цветных металлов
Аннотация
Актуальность и цели. Актуальность исследования обусловлена необходимостью изучения влияния постоянных магнитных полей на усталостную долговечность технически чистой меди и свинца, широко применяемых в промышленности и чувствительных к магнитным воздействиям, что позволит повысить надежность изделий и управлять их механическими свойствами. Цель – изучить влияние постоянного магнитного поля с индукцией 0,1–0,5 Тл на усталостную долговечность технически чистых меди и свинца. Материалы и методы. Изготовлены образцы технически чистой меди марки М1 и свинца марки С2 размером 4 × 12 × 130 мм методом электроэрозионной резки на станке с числовым программным управлением. Испытания на усталость проводили на установке с циклическим асимметричным консольным изгибом при температуре (~300 K). Выбран режим с амплитудой нагружения 2,5 мм. Поверхность разрушения изучали методом сканирующей электронной микроскопии (KYKY EM6900) с анализом структуры в ImageJ, а элементный состав – с помощью Ultim Extreme. Результаты. Результаты усталостных испытаний показали, что магнитное поле увеличивает долговечность меди М1 на 9–28 % и свинца С2 на 7 % при 0,3 Тл, но снижает ее при 0,4–0,5 Тл; разрушение меди происходит через три зоны с формированием субзеренной структуры, а у свинца магнитное поле изменяет морфологию излома и механизм разрушения. Эффект Зеемана, вызывая расщепление энергетических уровней электронов, изменяет активационные энергии движения дислокаций в диамагнитных металлах, что влияет на скорость их скольжения и механические свойства. Выводы. Магнитное поле (0,1–0,25 Тл) увеличивает усталостную долговечность меди на 9–28 %, влияя на механизм разрушения через формирование субзеренной структуры. Магнитное поле при 0,3 Тл повышает усталостную долго- вечность свинца на 7 %, а при 0,4–0,5 Тл значительно снижает ее из-за влияния на подвижность дислокаций и морфологию излома. Эффект Зеемана изменяет электронную структуру диамагнитных металлов, меняя активационные энергии движения дислокаций и скорость их скольжения, что влияет на механические свойства.
66-80
Спиральная структура дисковых галактик и эффект скрытой массы
Аннотация
Актуальность и цели. Строится теория дисковых галактик с нарушением цилиндрической симметрии, которая решает проблему спиральной структуры галактик в рамках модели волны плотности общего вида. Материалы и методы. Теория строится на основе классической гидродинамики сплошной самогравитирующей среды с квазиклассическим полем тяготения, содержащим описание эффекта скрытой массы (темной материи). Результаты. Выведены уравнения пространственного распределения параметров среды и поля тяготения, а также уравнения эволюции масштабных факторов в условиях динамического равновесия вращающейся среды с нарушением цилиндрической симметрии. Устанавливается аналогия между эффектом скрытой массы и гравитационной проницаемостью среды. Рассматривается описание взаимодействия дисковой структуры с внешним окружением. Выводы. Теория позволяет строить модели дисковых галактик со спиральной структурой при наличии эффекта скрытой массы. Такие модели включают описание собственной эволюции дисковых галактик при наличии внешнего воздействия.
81-105
Анализ зависимостей времени релаксации от влияющих факторов в проводящих оксидах на основе SnO2:Sb
Аннотация
Актуальность и цели. Прозрачные проводящие оксиды на основе SnO₂:Sb представляют собой перспективный материал для создания прозрачных электродов в оптоэлектронных устройствах. Понимание механизмов проводимости и релаксации носителей заряда в этих материалах имеет большое значение для оптимизации их электрофизических свойств. Целью исследования является анализ зависимостей времени релаксации от концентрации электронов, проводимости и подвижности в SnO₂:Sb на основе использования различных методов интерполяции и аппроксимации, а также сопоставление полученных результатов с теорией Друде. Материалы и методы. Использованы результаты экспериментальных данных об электрофизических параметрах для образцов SnO₂:Sb, в том числе концентрации электронов (n), проводимости (σ), подвижности (μ) и времени релаксации (τ). Для обработки данных применены три метода интерполяции: линейная интерполяция, интерполяция Акимы и кубический сплайн. Аппроксимация осуществлена методом наименьших квадратов с использованием полиномов первой степени. Результаты. Выполнен сравнительный анализ различных методов интерполяции для зависимостей времени релаксации от влияющих факторов. Установлено, что зависимость времени релаксации от подвижности хорошо описывается линейной интерполяцией, что соответствует теории Друде. Для остальных зависимостей времени релаксации наиболее подходящей является интерполяция Акимы, учитывающая нелинейный характер зависимостей. Кубический сплайн демонстрирует осцилляции в областях с резкими изменениями данных. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными на основе теории Друде. Выводы. Результаты экспериментального исследования SnO₂:Sb хорошо согласуются с теорией Друде для описания электрофизических свойств прозрачных проводящих оксидов. Даны рекомендации по выбору метода интерполяции с учетом физической природы анализируемых зависимостей. Полученные результаты целесообразно использовать для оптимизации технологических режимов процесса получения SnO₂:Sb с заданными электрофизическими свойствами.
106-118
Модификация гранулометрического состава ультрадисперсных порошков серебра
Аннотация
Актуальность и цели. В современном производстве приборов силовой электроники для низкотемпературного соединения их конструкционных элементов применяется технология спекания (синтеринга) с использованием специальных паст на основе ультрадисперсных порошков серебра. Ключевой проблемой при изготовлении таких паст является агломерация частиц серебра в порошке. Цель – разработка способов модификации гранулометрического состава порошков серебра, приводящих к увеличению в них доли субмикронных частиц. Материалы и методы. Проведено исследование ультрадисперсного порошка серебра отечественного производства. Гранулометрический состав порошка определялся методом лазерной дифракции с использованием гранулометра SALD-3101. Для измерений изготавливались суспензии исследуемого порошка в изопропиловом спирте с концентрациями 50 мкг/мл и 75 мг/мл. Суспензии подвергались обработке ультразвуком частотой 35 кГц в ультра- звуковой ванне ПСБ-5735-05. Результаты. Установлено, что исходный порошок се- ребра состоял из двух фракций частиц размером от 0,5 до 2,0 мкм и от 10 до 500 мкм. В результате ультразвуковой (УЗ) обработки низкоконцентрированной суспензии порошка (50 мкг/мл) в течение 80 мин объемная доля частиц субмикронной фракции повышается с 18 до 60 %. Длительная (4 ч и более) УЗ-обработка высококонцентрированной суспензии (75 мг/мл) не приводит к появлению в ней частиц серебра размером менее 1 мкм. Такие частицы появляются в суспензии при добавлении в нее миристиновой кислоты в качестве диспергатора с последующей УЗ-обработкой. Разбавление суспензии изопропиловым спиртом до концентрации 50 мкг/мл с последующей УЗ-обработкой позволяет увеличить объемную долю частиц серебра размером менее 1 мкм до 70 %. Выводы. Разработан способ модификации гранулометрического состава ультрадисперсных порошков серебра, позволяющий увеличить объемную долю субмикронных частиц до 70 %.
119-131