The second initial-boundary value problem with integral displacement for second-order hyperbolic and parabolic equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we study the solvability of some non-local analogs of the second initial-boundary value problem for multidimensional hyperbolic and parabolic equations of the second order. We prove the existence and uniqueness theorems of regular solutions (which have all Sobolev generalized derivatives that are summable with a square and are included in the equation). Some generalization and amplification of the obtained results are also given.

About the authors

Alexander I. Kozhanov

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Samara State Technical University

Email: kozhanov@math.nsc.ru
ORCID iD: 0000-0003-4376-4003
SPIN-code: 9132-3234
Scopus Author ID: 55892833300
ResearcherId: R-5686-2016
http://www.mathnet.ru/person18220

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Chief Researcher; Lab. of Differential and Difference Equations1; Professor; Dept. of Higher Mathematics2

4, Acad. Koptyug pr., Novosibirsk, 630090, Russian Federation; 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Alexandra V. Dyuzheva

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: duzhevaalexandra@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-3284-5302
Scopus Author ID: 57221800436
http://www.mathnet.ru/person53016

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Higher Mathematics

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

  1. Cannon J. R. The solution of heat equation subject to the specification of energy, Quart. Appl. Math., 1963, vol. 21, no. 2, pp. 155–160. https://doi.org/10.1090/qam/160437
  2. Kamynin L. I. A boundary value problem in the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1964, vol. 4, no. 6, pp. 33–59. https://doi.org/10.1016/0041-5553(64)90080-1
  3. Ionkin N. I. The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition, Differ. Uravn., 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294–304 (In Russian).
  4. Bouziani A., Benouar N.-E. Mixed problem with integral conditions for a third order parabolic equation, Kobe J. Math., 1998, vol. 15, no. 1, pp. 47–58.
  5. Bouziani A. On a class of parabolic equations with a nonlocal boundary condition, Bull. Cl. Sci., Acad. R. Belg., 1999, vol. 10, no. 1, pp. 61–77. https://doi.org/10.3406/barb.1999.27977
  6. Gordeziani D. G., Avalishvili G. A. On the constructing of solutions of the nonlocal initial boundary value problems for one-dimensional medium oscillation equations, Matem. Mod., 2000, vol. 12, no. 1, pp. 94–103 (In Russian).
  7. Ionkin N. I., Morozova V. A. The two-dimensional heat equation with nonlocal boundary conditions, Differ. Equ., 2000, vol. 36, no. 7, pp. 982–987. https://doi.org/10.1007/BF02754498
  8. Pulkina L. S. A nonlocal problem with integral conditions for a hyperbolic equation, Differ. Equ., 2004, vol. 40, no. 7, pp. 947–953. https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000047025.64101.16
  9. Ivanchov N. I. Boundary value problems for a parabolic equation with integral conditions, Differ. Equ., 2004, vol. 40, no. 4, pp. 591–609. https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000035796.56467.44
  10. Kozhanov A. I., Pulkina L. S. On the solvability of boundary value problems with a nonlocal boundary condition of integral form for multidimensional hyperbolic equations, Differ. Equ., 2006, vol. 42, no. 9, pp. 1233–1246. https://doi.org/10.1134/S0012266106090023
  11. Abdrakhmanov A. M., Kozhanov A. I. A problem with a nonlocal boundary condition for one class of odd-order equations, Russian Math. (Iz. VUZ), 2007, vol. 51, no. 5, pp. 1–10. https://doi.org/10.3103/S1066369X07050015
  12. Kozhanov A. I. On the solvability of boundary value problems with nonlocal and integral conditions for parabolic equations, Nonlinear Boundary-Value Problems, 2010, vol. 20, pp. 54–76 (In Russian). http://iamm.su/upload/iblock/e5f/54_76.pdf
  13. Kozhanov A. I., Pulkina L. S. On the solvability of some boundary value problems with a shift for linear hyperbolic equations, Mathematical Journal (Almaty), 2009, vol. 9, no. 2, pp. 78–92 (In Russian).
  14. Kozhanov A. I. On the solvability of spatially nonlocal problems with conditions of integral form for some classes of nonstationary equations, Differ. Equ., 2015, vol. 51, no. 8, pp. 1043–1050. https://doi.org/10.1134/S001226611508008X
  15. Popov N. S. Solvability of a boundary value problem for a pseudoparabolic equation with nonlocal integral conditions, Differ. Equ., 2015, vol. 51, no. 3, pp. 362–375. https://doi.org/10.1134/S0012266115030076
  16. Popov N. S. On the solvability of boundary value problems for multidimensional parabolic equations of fourth order with nonlocal boundary condition of integral form, Mathematical notes of NEFU, 2016, vol. 23, no. 1, pp. 79–86 (In Russian).
  17. Danyliuk I. M., Danyliuk A. O. Neumann problem with the integro-differential operator in the boundary condition, Math. Notes, 2016, vol. 100, no. 5, pp. 687–694. https://doi.org/10.1134/S0001434616110055
  18. Pulkina L. S. Nonlocal problems for hyperbolic equations from the viewpoint of strongly regular boundary conditions, Electron. J. Differential Equations, 2020, vol. 2020, no. 28, pp. 1–20. https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2020/28/abstr.html
  19. Bažant Z. P., Jirásek M. Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: Survey of progress, J. Eng. Mech., 2002, vol. 128, no. 1, pp. 1119–1149. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119)
  20. Sobolev S. L. Nekotorye primeneniia funktsional’nogo analiza v matematicheskoi fizike [Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1988, 334 pp. (In Russian)
  21. Ladyzhenskaya O. A., Ural'tseva N. N. Lineinye i kvazilineinye uravneniia ellipticheskogo tipa [Linear and Quasilinear Equations of Elliptic Type]. Moscow, Nauka, 1973, 736 pp. (In Russian)
  22. Triebel H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, North-Holland Mathematical Library, vol. 18. Amsterdam, North-Holland, 1978, 528 pp. https://doi.org/10.1016/s0924-6509(09)x7004-2
  23. Trinogin V. A. Funktsional'nyi analiz [Functional Analysis]. Moscow, Nauka, 1980, 495 pp. (In Russian)
  24. Liu S., Triggiani R. An inverse problem for a third order PDE arising in high-intensity ultrasound: Global uniqueness and stability by one boundary measurement, J. Inv. Ill-posed Problems, 2013, no. 6, pp. 825–869. https://doi.org/10.1515/jip-2012-0096

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».