Analytical formula and numerical calculation of the second harmonic of dynamic susceptibility in concentrated ferrofluids

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this work, the second component of dynamic susceptibility of an ensemble of interacting magnetic particles is studied by using analytical and numerical methods. The configuration of superimposed magnetic fields is considered: alternating and parallel constant fields. Dipole-dipole interactions are taken into account within two-particle correlations using a modified first-order mean-field theory approach.
From the analytical solution of the Fokker–Planck equation, an expression for the second harmonic is obtained as a function of two parameters: the Langevin susceptibility $\chi_L$, which characterizes dipole-dipole interactions, and the Langevin parameter $\xi_0$, representing the ratio of magnetic energy to thermal energy.
The obtained expression for the second harmonic agrees with previously known results where interparticle interactions were neglected. This research has significant theoretical interest and can be used for more precise characterization of magnetic particle properties.

About the authors

Mikhail S. Rusanov

Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin

Author for correspondence.
Email: mikhail.rusanov@urfu.ru
ORCID iD: 0000-0001-7439-8179
SPIN-code: 9081-7507
Scopus Author ID: 57306389700
ResearcherId: JNS-8758-2023
https://www.mathnet.ru/rus/person229346

Research Engineer; Lab. of Mathematical Modeling of Physicochemical Processes in Multiphase Media; Dept. of Mathematics, Mechanics and Computer Science; Institute of Natural Sciences and Mathematics

Russian Federation, 620002, Ekaterinburg, Mira st., 19

References

  1. Rosensweig R. E. Ferrohydrodynamics. New York, Cambridge, 1998, 344 pp.
  2. Al-Areqi A. R., Xiaogang Y., Renpeng Y., et al. Synthesis of zinc ferrite particles with high saturation magnetization for magnetic induction hyperthermia, J. Magn. Magnet. Mater., 2023, vol. 579, 170839. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmmm.2023.170839.
  3. Kritika, Indrajit R. Therapeutic applications of magnetic nanoparticles: recent advances, Material. Advances, 2022, vol. 3, no. 20, pp. 7425–7444. DOI: https://doi.org/10.1039/D2MA00444E.
  4. Stueber D. D., Villanova J., Aponte I., et al. Magnetic nanoparticles in biology and medicine: Past, present, and future trends, Pharmaceutics, 2021, vol. 13, no. 7, 943. DOI: https://doi.org/10.3390/pharmaceutics13070943.
  5. Lucaciu C. M., Nitica S., Fizesan I., et al. Enhanced magnetic hyperthermia performance of zinc ferrite nanoparticles under a parallel and a transverse bias DC magnetic field, Nano-materials, 2022, vol. 12, pp. 419–588. DOI: https://doi.org/10.3390/nano12203578.
  6. Rusanov M. S., Kuznetsov M. A., Zverev V. S., Elfimova E. A. Influence of a bias dc field and an ac field amplitude on the dynamic susceptibility of a moderately concentrated ferrofluid, Phys. Rev. E, 2023, vol. 108, no. 2, 024607. EDN: LVREAX. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.108.024607.
  7. Ivanov A. O., Camp P. J. How particle interactions and clustering affect the dynamic magnetic susceptibility of ferrofluids, J. Magn. Magnet. Mater., 2023, vol. 586, 171216. EDN: LXFRGI. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmmm.2023.171216.
  8. Lebedev A. V., Stepanov V. I., Kuznetsov A. A., et al. Dynamic susceptibility of a concentrated ferrofluid: The role of interparticle interactions, Phys. Rev. E, 2019, vol. 100, no. 3. EDN: JOCHQF. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.100.032605.
  9. Debye P. Polar Molecules. New York, Chemical Catalog, 1929, 174 pp.
  10. Raikher Y. L., Stepanov V. I. Nonlinear dynamic susceptibilities and field-induced birefringence in magnetic particle assemblies, In: Advances in Chemical Physics, vol. 129, 2004, pp. 419–588. EDN: OGWEAD. DOI: https://doi.org/10.1002/047168077x.ch4.
  11. Ivanov A. O., Zverev V. S. Kantorovich S. S. Revealing the signature of dipolar interactions in dynamic spectra of polydisperse magnetic nanoparticles, Soft Matter, 2016, vol. 12, no. 15, pp. 3507–3513. EDN: XMDERI. DOI: https://doi.org/10.1039/c5sm02679b.
  12. Rusanov M. S., Zverev V. S., Elfimova E. A. Third harmonic of the dynamic magnetic susceptibility of a concentrated ferrofluid: Numerical calculation and simple approximation formula, Phys. Rev. E, 2024, vol. 110, no. 3, pp. 034605. EDN: UYCLLS. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.110.034605.
  13. Rusanov M. S., Zverev V. S., Elfimova E. A. Influence of a bias dc field and an ac field amplitude on the dynamic susceptibility of a moderately concentrated ferrofluid, Phys. Rev. E, 2023, vol. 108, no. 2, 024607. EDN: LVREAX. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.108.024607.
  14. Yoshida T., Enpuku K. Simulation and quantitative clarification of AC susceptibility of magnetic fluid in nonlinear Brownian relaxation region, Japan. J. Appl. Phys., 2009, vol. 48, no. 12R, 127002. DOI: https://doi.org/10.1143/JJAP.48.127002.
  15. Batrudinov T. M., Ambarov A. V., Elfimova E. A., et al. Theoretical study of the dynamic magnetic response of ferrofluid to static and alternating magnetic fields, J. Magn. Magnet. Mater., 2017, vol. 431, pp. 180–183. EDN: YUTRGN. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmmm.2016.09.094.
  16. Coffey W. T., Kalmyko Y. P., Nijun W. Nonlinear normal and anomalous response of non-interacting electric and magnetic dipoles subjected to strong AC and DC bias fields, Nonlinear Dyn., 2015, vol. 80, pp. 1861–1867. EDN: UOECOZ. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-014-1488-9.
  17. Déjardin J.-L., Debiais G., Ouadjou A. On the nonlinear behavior ofdielectric relaxation in alternating fields. II. Analytic expressions of the nonlinearsusceptibilities, J. Chem. Phys., 1993, vol. 98, no. 10, pp. 8149–8153. DOI: https://doi.org/10.1063/1.464570.
  18. Ivanov A. O., Kuznetsova O. B. Magnetic properties of denseferrofluids: An influence of interparticlecorrelations, Phys. Rev. E, 2001, vol. 64, no. 4, 041405. EDN: WJQLGO. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.64.041405.
  19. Afanaseva N. M., Vabishchevich P. N., Vasileva M. V. Unconditionally stable schemes for convection-diffusion problems, Russian Math. (Iz. VUZ), 2013, vol. 57, no. 3, pp. 1–11. EDN: RFDQXP. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X13030018.
  20. Ambarov A. V., Zverev V. S., Elfimova E. A. Numerical modeling of the magnetic response of interacting superparamagnetic particles to an ac field with arbitrary amplitude, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 2020, vol. 28, no. 8, 085009. EDN: PCMKHA. DOI: https://doi.org/10.1088/1361-651X/abbfbb.
  21. Ambarov A. V., Zverev V. S., Elfimova E. A. Influence of field amplitude and dipolar interactions on the dynamic response of immobilized magnetic nanoparticles: Perpendicular mutual alignment of an alternating magnetic field and the easy axes, Phys. Rev. E, 2023, vol. 107, no. 2, 024601. EDN: ZNXBCM. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.107.024601.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Figure 1. Real (a) and imaginary (b) parts of the dynamic susceptibility (21) for DC field strengths $\xi_0 = 0.1$, $0.5$, and $1$ and AC field amplitude $\xi = 0.1$: lines — analytical solution by (21); symbols — numerical data; crosses — results from [16]

Download (281KB)
Indexing metadata
3. Figure 2. Real (a) and imaginary (b) parts of the susceptibility (25) for $\chi_L = 0.5$, $2$ and $3$: solid lines — analytical solution by (25); symbols — numerical data; dashed lines — analytical solution by (21). The AC field amplitude and DC field strength are equal: $\xi = \xi_0 = 0.1$

Download (268KB)
Indexing metadata
4. Figure 3. Dependence of static susceptibility (a) and position of the imaginary part maximum (b) on DC field strength $\xi_0$. The Langevin susceptibility takes values $\chi_L = 1$ and $2$. Solid lines show maxima calculated by (25) accounting for interparticle interactions. Dashed lines — maxima from (21) for non-interacting systems. Symbols — numerical solution of equation (5)

Download (271KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2025 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».