An initial boundary value problem for a partial differential equation of higher even order with a Bessel operator

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In present paper, an initial-boundary value problem is formulated in a rectangle for a higher even order partial differential equation with the Bessel operator. Applying the method of separation of variables to the considered problem a spectral problem is obtained for an ordinary differential equation of higher even order. The self-adjointness of the last problem is proved, which implies the existence of the system of its eigenfunctions, as well as the orthonormality and completeness of this system. The uniform convergence of some bilinear series and the order of the Fourier coefficients, depending on the found eigenfunctions, is investigated. The solution of the considered problem is found as the sum of the Fourier series with respect to the system of eigenfunctions of the spectral problem. The absolute and uniform convergence of this series, as well as the series obtained by its differentiating, have been proved. The uniqueness of the solution of the problem is proved by the method of spectral analysis. An estimate is obtained for the solution of the problem which implies the continuous dependence of the solution on the given functions.

About the authors

Akhmadjon K. Urinov

Fergana State University; Institute of Mathematics named after V. I. Romanovsky
of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Email: urinovak@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9586-1799
Scopus Author ID: 19639412400
http://www.mathnet.ru/person30024

Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations, Leading Researcher

Uzbekistan, 19, Murabbiylar st., Fergana, 150100; 46, Universitetskaya st., Tashkent, 100174

Muzaffar S. Azizov

Fergana State University

Author for correspondence.
Email: muzaffar.azizov.1988@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2091-9300

Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations

Uzbekistan, 19, Murabbiylar st., Fergana, 150100

References

  1. Tikhonov A. N., Samarskiy A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1972, 736 pp. (In Russian)
  2. Nakhushev A. M. Uravneniia matematicheskoi biologii [Equations of Mathematical Biology]. Moscow, Vyssh. shk., 1995, 301 pp. (In Russian). EDN: PDBBNB.
  3. Salakhitdinov M. S., Amanov D. Solvability and spectral properties of a selfadjoint problem for a fourth-order equation, Uzbek. Mat. Zh., 2005, no. 3, pp. 72–77 (In Russian).
  4. Amanov D., Yuldasheva A. V. Solvability and spectral properties of a selfadjoint problem for a fourth-order equation, Uzbek. Mat. Zh., 2007, no. 4, pp. 3–8 (In Russian).
  5. Amanov D., Murzambetova M. B. Boundary value problems for a fourth order equation with a spectral parameter, Uzbek. Mat. Zh., 2012, no. 3, pp. 22–30 (In Russian).
  6. Amanov D., Murzambetova M. B. A boundary value problem for a fourth order partial differential equation with the lowest term, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2013, no. 1, pp. 3–10 (In Russian). EDN: PXPCOF.
  7. Otarova Zh. A. The solvability and spectral properties of selfadjoint problems for a fourth-order equation, Uzbek. Mat. Zh., 2008, no. 2, pp. 74–80 (In Russian).
  8. Otarova Zh. A. Solvability and spectral properties of a selfadjoint problem for a fourth-order equation, Dokl. AN RUz., 2008, no. 1, pp. 10–14 (In Russian).
  9. Otarova Zh. A. Volterra boundary value problem for a fourth order equation, Dokl. AN RUz., 2008, no. 6, pp. 18–22 (In Russian).
  10. Sabitov K. B. Cauchy problem for the beam vibration equation, Differ. Equ., 2017, vol. 53, no. 5, pp. 658–664. EDN: XNIRNN. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266117050093.
  11. Sabitov K. B. Fluctuations of a beam with clamped ends, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 2, pp. 311–324 (In Russian). EDN: UGXNZR. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1406.
  12. Sabitov K. B. A remark on the theory of initial-boundary value problems for the equation of rods and beams, Differ. Equ., 2017, vol. 53, no. 1, pp. 86–98. EDN: YVJCOJ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266117010086.
  13. Sabitov K. B., Fadeeva O. V. Initial-boundary value problem for the equation of forced vibrations of a cantilever beam, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 1, pp. 51–66 (In Russian). EDN: SXRWIP. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1845.
  14. Azizov M. S. A boundary problem for the fourth order equation with a singular coefficient in a rectangular region, Lobachevskii J. Math., 2020, vol. 41, no. 6, pp. 1043–1050. EDN: HDCKMU. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220060050.
  15. Azizov M. S. A mixed problem for a fourth-order nonhomogeneous equation with singular coefficients in a rectangular, Bul. Inst. Math., 2020, no. 4, pp. 50–59 (In Russian).
  16. Amanov D., Yuldasheva A. V. Solvability and spectral properties of boundary value problems for equations of even order, Malays. J. Math. Sci., 2009, vol. 3, no. 2, pp. 227–248. https://mjms.upm.edu.my/lihatmakalah.php?kod=2009/July/3/2/227-248.
  17. Amanov D. About correctness of boundary value problems for equation of even order, Uzbek Math. J., 2011, no. 4, pp. 20–35.
  18. Yuldasheva A. V. On one proble for higher-order equation, Bulletin KRASEC. Phys. Math. Sci., 2014, vol. 9, no. 2, pp. 18–22. DOI: https://doi.org/10.18454/2313-0156-2014-9-2-18-22.
  19. Yuldasheva A. V. On a problem for a quasi-linear equation of even order, J. Math. Sci., 2019, vol. 241, no. 4, pp. 423–429. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-019-04434-3.
  20. Amanov D., Ashyralyev A. Well-posedness of boundary value problems for partial differential equations of even order, AIP Conference Proceedings, 2012, vol. 1470, no. 1, 3. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4747625.
  21. Ashurov R. R., Muhiddinova O. T. Initial-boundary value problem for hyperbolic equations with an arbitrary order elliptic operator, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2020, vol. 30, no. 1, pp. 8–19 (In Russian). EDN: UDRGAX. DOI: https://doi.org/10.26117/2079-6641-2020-30-1-8-19.
  22. Ashurov R. R., Muhiddinova O. T. Initial-boundary value problem for a time-fractional subdiffusion equation with an arbitrary elliptic differential operator, Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 2, pp. 517–525. EDN: WSMCML. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030070.
  23. Karimov Sh. T. Method of solving the Cauchy problem for one-dimensional polywave equation with singular Bessel operator, Russian Math. (Iz. VUZ), 2017, vol. 61, no. 8, pp. 22–35. EDN: XNXGZY. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X17080035.
  24. Karimov Sh. T. On some generalizations of properties of the Lowndes operator and their applications to partial differential equations of high order, Filomat, 2018, vol. 32, no. 3, pp. 873–883. EDN: YBVBZJ. DOI: https://doi.org/10.2298/FIL1803873K.
  25. Karimov Sh. T. The Cauchy problem for the degenerated partial differential equation of the high even order, Sib. Elektron. Mat. Izv., 2018, no. 15, pp. 853–862. EDN: VUTMHO. DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2018.15.073.
  26. Karimov Sh. T., Urinov A. K. Solution of the Cauchy problem for the four-dimensional hyperbolic equation with Bessel operator, Vladikavkaz. Mat. Zh., 2018, vol. 20, no. 3, pp. 57–68 (In Russian). EDN: VKJWUR. DOI: https://doi.org/10.23671/VNC.2018.3.17991.
  27. Urinov A. K., Karimov Sh. T. On the Cauchy problem for the iterated generalized two-axially symmetric equation of hyperbolic type, Lobachevskii J. Math., 2020, vol. 41, no. 1, pp. 102–110. EDN: FNVWZQ. DOI: https://doi.org/10.1134/S199508022001014X.
  28. Mikhlin S. G. Linear Integral Equations. Mineola, NY, Dover Publ., 2020, xv+223 pp.
  29. Naimark M. A. Lineinye differentsial’nye operatory [Linear Differential Operators]. Moscow, Fizmatlit, 1969, 528 pp. (In Russian)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».