Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением

Для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с характеристическим вырождением исследована первая граничная задача в прямоугольной области. Установлен критерий единственности решения задачи. Ранее при доказательстве единственности решений краевых задач для уравнений смешанного типа использовали принцип экстремума или метод интегральных тождеств. Единственность решения данной задачи установлена на основании полноты системы собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. Решение задачи построено в виде суммы ряда по системе собственных функций. При обосновании сходимости полученного ряда возникает проблема малых знаменателей более сложной структуры, чем в известных работах, относительно параметра, зависящего от длин сторон прямоугольника из гиперболической части области и показателя степени вырождения уравнения. В связи с этим установлены оценки об отделенности от нуля с соответствующей асимптотикой в случаях, когда данный параметр представляет собой натуральное, рациональное и алгебраическое иррациональное число степени два. Если данный параметр не является алгебраическим иррациональным числом степени два, то решения задачи в виде суммы ряда не существует. С помощью полученных оценок обоснована равномерная сходимость построенного ряда в классе регулярных решений при некоторых достаточных условиях относительно граничных функций. Также доказана устойчивость решения задачи относительно граничных функций в нормах пространства суммируемых с квадратом функций и в пространстве непрерывных функций.

уравнение смешанного типа с характеристическим вырождением, задача Дирихле, критерий единственности, существование, малые знаменатели, оценки