The estimates of the solution of the dirichlet problem with boundary function from Lp for a second-order elliptic equation


Cite item

Full Text

Abstract

We study the solvability of the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation with measurable and bounded coefficients. Assuming that coefficients of equation are Dini-continued on the boundary, it is established that there is the unique solution of the Dirichlet problem with boundary function from $L_p$, $p > 1$. We prove the estimate of the analogue of area integral.

About the authors

Anatolii K Gushchin

Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences

Email: akg@mi.ras.ru
(д.ф.-м.н.), профессор, ведущий научный сотрудник,отд. математической физики; Математический институт им. В. А. Стеклова РАН; Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences

References

  1. Михайлов В. П. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 10. С. 1877-1891.
  2. Гущин А. К. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сб., 1988. Т. 137(179), № 1(9). С. 19-64
  3. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сб., 1994. Т. 185, № 1. С. 121-160
  4. Гущин А. К. Некоторые свойства решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сб., 1998. Т. 189, № 7. С. 53-90
  5. Гущин А. К. О внутренней гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка // Сиб. матем. журн., 2005. Т. 46, № 5. С. 1036-1052
  6. Гущин А. К. Некоторое усиление свойства внутренней непрерывности по Гёльдеру решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // ТМФ, 2008. Т. 157, № 3. С. 345-363
  7. Гущин А. К., Михайлов В. П. Внутренние оценки обобщенных решений эллиптического уравнения второго порядка // Вестн. Сам. гос. ун-та. Естественнонаучн. сер., 2008. № 8/1(67). С. 76-94.
  8. Carleson L. An interpolation problem for bounded analytic functions // Amer. J. Math., 1958. Vol. 80, no. 4. Pp. 921-930.
  9. Carleson L. Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. of Math., 1962. Vol. 76, no. 3. Pp. 547-559.
  10. Hörmander L. Lp-estimates for (pluri-) subharmonic functions // Math. Scand., 1967. Vol. 20. Pp. 65-78.
  11. Гущин А. К., Михайлов В. П. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения // Матем. сб., 1995. Т. 186, № 2. С. 37-58
  12. Гущин А. К. Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений // Матем. сб., 2002. Т. 193, № 5. С. 17-36
  13. Гущин А. К., Михайлов В. П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Матем. сб., 1991. Т. 182, № 6. С. 787-810
  14. Гущин А. К., Михайлов В. П. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений // Матем. сб., 1979. Т. 108(150), № 1. С. 3-21ath. USSR-Sb., 1980. Vol. 36, no. 1. Pp. 1-19.
  15. Петрушко И. М. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей // Матем. сб., 1983. Т. 120(162), № 4. С. 569- 588
  16. Михайлов Ю. А. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, № 2. С. 318-337.
  17. Алхутов Ю. А., Кондратьев В. А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области // Дифференц. уравнения, 28. Т. 1992, № 5. С. 806-817
  18. De Giorgi E. Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari // Mem. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 1957. Vol. 3, no. 3. Pp. 25-43.
  19. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math., 1958. Vol. 80, no. 4. Pp. 931-954.
  20. Moser J. A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math., 1960. Vol. 13, no. 3. Pp. 457-468.
  21. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
  22. Gilbarg D., Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations of second order / Fundamental Principles of Mathematical Sciences. Vol. 224. Berlin: Springer-Verlag, 1983. 66 513 pp.
  23. Михайлов В. П., Гущин А. К. Дополнительные главы курса "Уравнения математической физики" / Лекц. курсы НОЦ, Т. 7. М.: МИАН, 2007. С. 3-144.
  24. Мазья В. Г. О вырождающейся задаче с косой производной // Матем. сб., 1972. Т. 87(129), № 3. С. 417-454

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2011 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».