Численный метод решения краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка


Цитировать

Полный текст

Аннотация

Получено решение краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка по времени и по пространственным переменным методом сеток. Разработаны явные и неявные разностные схемы. Доказаны критерии устойчивости этих разностных схем. Показано, что порядок аппроксимации по времени равен единице, а по пространственным переменным равен двум. Предложен метод решения с помощью дробных шагов. Доказано, что модуль перехода, соответствующий двум полушагам, аппроксимирует модуль перехода для данного уравнения.

Об авторах

Ветлугин Джабраилович Бейбалаев

Дагестанский государственный университет

Email: kaspij_03@mail.ru
(к.ф.-м.н.), ст. преподаватель, каф. прикладной математики; Дагестанский государственный университет

Myмина Руслановна Шабанова

Институт проблем геотермии Дагестанского НЦ РАН

Email: meil-sha@yandex.ru
научный сотрудник, лаб. математического моделирования и мониторинга геотермальных объектов; Институт проблем геотермии Дагестанского НЦ РАН

Список литературы

  1. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ, 1992. - Т. 90, №3. - С. 354-368; англ. пер.: Nigmatullin R. R. Fractional integral and its physical interpretation// Theoret. and Math. Phys., 1992. - Vol.90, No. 3. - P. 242-251.
  2. Головизнин В. M., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрко Ю. И. Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях// Изв. РАН. Энергетика, 2004. - №4. - С. 121-130.
  3. Самко С.Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 498 с.
  4. Кольцова Э. М., Василенко В. А., Тарасов В. В. Численные методы решения уравнений переноса во фрактальных средах// Журн. физ. химии, 2000. - Т. 74, №5. - С. 954-956.
  5. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрко Ю. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнения дробной диффузии: Препринт № IBRAE-2002-01. - М.: ИБРАЭ РАН, 2002. - 57 с.
  6. Головизнин В.М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае: Препринт № IBRAE-2002-10. - М.: ИБРАЭ РАН, 2002. - 35 с.
  7. Головизнин В.М., Короткий И. А. Методы численных решений некоторых одномерных уравнений с дробными производными// Дифференц. уравнения, 2006. - Т. 42, №7. - С. 907-913; англ. пер.: Goloviznin V.M., Korotkin LA. Numerical methods for some one-dimensional equations with fractional derivatives// Differ. Equ., 2006. - Vol. 42, No. 7. - P. 967-973.
  8. Meerschaert M. M., Tadjeran С Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations// Appl. Numer. Math., 2006. - Vol.56, No. 1. - P. 80-90.
  9. Meerschaert M. M., Tadjeran С Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations// J. Comput. Appl. Math., 2004. - Vol. 172, No. 1. - P. 65-77.
  10. Tadjeran C, Meerschaert M. M., Scheffler H.-P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation// J. Comput. Phys., 2006. - Vol.213, No. 1. - P. 205-213.
  11. Lynch V.E., Carreras B.A., del-Castill-Negrete D., Ferreira-Mejias K.M., Hicks H. R. Numerical methods for the solution of partial differential equations of fractional order // J. Comput. Phys., 2003. - Vol. 192, No. 2. - P. 406-421.
  12. Liu Q., Liu F., Turner L, Anh V. Approximation of the Levy-Feller advection-dispersion process by random walk and finite difference method // J. Comput. Phys., 2007. - Vol. 222, No. 1. - P. 57-70.
  13. Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев M. X. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 2006. - Т. 46, № 10. - С. 1871-1881; англ. пер.: Taukenova F. I., Shkhanukov-Lafishev М. Kh. Difference methods for solving boundary value problems for fractional-order differential equations// Comput. Math. Math. Phys., 2006. - Vol.46, No. 10. - P. 1785-1795.
  14. Лафишева M.M., Шхануков-Лафишев M.X. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008. - Т. 48, № 10. - С. 1878-1887; англ. пер.: Lafisheva М.М., Shkhanukov-Lafishev M.Kh. A locally one-dimensional difference scheme for a fractional-order diffusion equation// Comput. Math. Math. Phys., 2008. - Vol.48, No. 10. - P. 1875-1884.
  15. Алиханов А. А. Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. - №2(17). - С. 13-20.
  16. Бейбалаев В. Д. Математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Матем. моделирование, 2009. - Т. 21, №5. - С. 55-62.
  17. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. - Т. 1(18). - С. 267-270.
  18. Назаралиев М.А., Бейбалаев В. Д. Численные методы решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производной дробного порядка// Вестн. ДГУ, 2008. - №6. - С. 46-53..
  19. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса
  20. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.
  21. Самарский А. А. Теория разностных схем: 2-е изд. - М.: Наука, 1983. - 616 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Самарский государственный технический университет, 1970

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».