Investigations of the numerical range of a operator matrix


Cite item

Full Text

Abstract

We consider a $2\times2$ operator matrix $A$ (so-called generalized Friedrichs model) associated with a system of at most two quantum particles on ${\rm d}$-dimensional lattice. This operator matrix acts in the direct sum of zero- and one-particle subspaces of a Fock space. We investigate the structure of the closure of the numerical range $W(A)$ of this operator in detail by terms of its matrix entries for all dimensions of the torus ${\bf T}^{\rm d}$. Moreover, we study the cases when the set $W(A)$ is closed and give necessary and sufficient conditions under which the spectrum of $A$ coincides with its numerical range.

About the authors

Tulkin Kh Rasulov

Bukhara State University

Email: rth@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Assotiate Professor, Dept. of Mathematical Physics & Analysis 11, Muhammad Igbol st, Bukhara, 200100, Uzbekistan

Elyor B Dilmurodov

Bukhara State University

Email: elyor.dilmurodov@mail.ru
Assistant Lecturer, Dept. of Mathematical Physics & Analysis 11, Muhammad Igbol st, Bukhara, 200100, Uzbekistan

References

  1. O. Toeplitz, “Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejér” // Math. Z., 1918. vol. 2, no. 1-2. pp. 187-197. doi: 10.1007/BF01212904.
  2. F. Hausdorff, “Der Wertvorrat einer Bilinearform” // Math. Z., 1919. vol. 3, no. 1. pp. 314-316. doi: 10.1007/BF01292610.
  3. A. Wintner, “Zur Theorie der beschränkten Bilinearformen” // Math. Z., 1929. vol. 30, no. 1. pp. 228-281. doi: 10.1007/BF01187766.
  4. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter, “A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range” // Linear Algebra Appl., 2001. vol. 330, no. 1-3. pp. 89-112. doi: 10.1016/S0024-3795(01)00230-0.
  5. C. Tretter, M. Wagenhofer, “The block numerical range of an n × n block operator matrix” // SIAM. J. Matrix Anal. & Appl., 2003. vol. 24, no. 4. pp. 1003-1017. doi: 10.1137/S0895479801394076.
  6. L. Rodman, I. M. Spitkovsky, “Ratio numerical ranges of operators” // Integr. Equ. Oper. Theory, 2011. vol. 71, no. 2. pp. 245-257. doi: 10.1007/s00020-011-1898-8.
  7. W. S. Cheung, X. Liu, T. Y. Tam, “Multiplicities, boundary points and joint numerical ranges” // Operators and Matrices, 2011. vol. 5, no. 1. pp. 41-52. doi: 10.7153/oam-05-02.
  8. H. L. Gau , C. K. Li, Y. T. Poon, N. S. Sze, “Higher rank numerical ranges of normal matrices” // SIAM. J. Matrix Anal. & Appl., 2011. vol. 32. pp. 23-43, arXiv: 0902.4869 [math.FA]. doi: 10.1137/09076430X.
  9. B. Kuzma, C. K. Li, L. Rodman, “Tracial numerical range and linear dependence of operators” // Electronic J. Linear Algebra, 2011. vol. 22. pp. 22-52. http://eudml.org/doc/223236.
  10. C. K. Li, Y. T. Poon, “Generalized numerical range and quantum error correction” // J. Operator Theory, 2011. vol. 66, no. 2. pp. 335-351. http://www.mathjournals.org/jot/2011-066-002/2011-066-002-004.html.
  11. K. Gustafson, D. K. M. Rao, Numerical range: The field of values of linear operators and matrices, Berlin, Springer, 1997, xiv+190 pp.
  12. D. S. Keeler, L. Rodman, I. M. Spitkovsky, “The numerical range of 3 × 3 matrices” // Linear Algebra and its Appl., 1997. vol. 252, no. 1-3. pp. 115-139. doi: 10.1016/0024-3795(95)00674-5.
  13. H.-L. Gau, “Elliptic numerical range of 4 × 4 matrices” // Taiwanese J. Math., 2006. vol. 10, no. 1. pp. 117-128.
  14. D. Henrion, “Semidefinite geometry of the numerical range” // Electronic J. Linear Algebra, 2010. vol. 20. pp. 322-332. http://eudml.org/doc/229710, arXiv: 0812.1624 [math.OC].
  15. Р. А. Минлос, Я. Г. Синай, “Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа” // ТМФ, 1970. Т. 2, № 2. С. 230-243.
  16. R. A. Minlos, Ya. G. Sinai, “Spectra of stochastic operators arising in lattice models of a gas” // Theoret. and Math. Phys., 1970. vol. 2, no. 2. pp. 167-176. doi: 10.1007/BF01036789.
  17. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.
  18. A. I. Mogilner, “Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schrödinger operators: problems and results” // Adv. Soviet Math., 1991. vol. 5. pp. 139-194.
  19. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics, V. IV, Analysis of operators, New York-London, Academic Press, 1978, 396 pp.
  20. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 430 с.
  21. М. Саломяк, М. Бирман, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: ЛГУ, 1980. 264 с.
  22. Т. Х. Расулов, Х. Х. Турдиев, “Некоторые спектральные свойства обобщённой модели Фридрихса” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 2(23). С. 181-188. doi: 10.14498/vsgtu904.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».