The Dirichlet problem for a mixed-type equation with strong characteristic degeneracy and a singular coefficient


Cite item

Full Text

Abstract

In this paper we consider the first boundary value problem in a rectangular area for a mixed-type equation of the second kind with a singular coefficient. The criterion of the uniqueness of the problem solution is determined. The uniqueness of the problem solution is proved on the basis of completeness of the system of eigenfunctions of the corresponding onedimensional spectral problem. The solution of the problem is built explicitly as a sum of Fourier-Bessel. There is the problem of the small denominators that appears when justifying the uniform convergence of the constructed series. In this regard, an evaluation of separateness from zero with a corresponding small denominator asymptotic behavior is found. This estimate has allowed to prove the convergence of the series and its derivatives up to the second order, and the existence theorem for the class of regular solutions of this equation.

About the authors

Rimma M Safina

Volga Region State Academy of Physical Culture, Sport and Tourism

Email: rimma77705@mail.ru
Senior Lecturer; Dept. of Physical and Mathematical Disciplines and Information Technologies 35, Universiade Village, Kazan, 420010, Russian Federation

References

  1. Франкль Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1945. Т. 9, № 2. С. 121-143.
  2. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1953. Т. 122, № 2. С. 167-170.
  3. Шабат Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН СССР, 1957. Т. 112, № 3. С. 386-389.
  4. Вахания Н. Н. Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа // Тр. АН Груз. ССР, 1963. Т. 3. С. 69-80.
  5. Cannon J. R. A Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient // Annali di Matematica, 1963. vol. 61, no. 1. pp. 371-377. doi: 10.1007/BF02410656.
  6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференц. уравнения, 1970. Т. 6, № 1. С. 190-191.
  7. Хачев М. М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике // Дифференц. уравнения, 1975. Т. 11, № 1. С. 151-160.
  8. Хачев М. М. paper О задаче Дирихле для одного уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 1. С. 137-143.
  9. Солдатов А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности // Докл. РАН, 1993. Т. 332, № 6. С. 696-698.
  10. Солдатов А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. II. Теоремы существования // Докл. РАН, 1993. Т. 333, № 1. С. 16-18.
  11. Хачев М. М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 168 с.
  12. Сохадзе Р. С. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения // Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, № 1. С. 150-156.
  13. Сохадзе Р. С. О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, № 1. С. 127-134.
  14. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23-26.
  15. Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2007. № 4. С. 45-53.
  16. Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2009. № 11. С. 43-52.
  17. Сабитов К. Б., Вагапова Э. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 1. С. 68-78.
  18. Хайруллин Р. С. К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вырождением // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 4. С. 528-534. doi: 10.1134/S0374064113040122.
  19. Сафина Р. М. Задача Дирихле для уравнения Пулькина в прямоугольной области // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2014. № 10(121). С. 91-101.
  20. Сафина Р. М. Задача Келдыша для уравнения смешанного типа второго рода с оператором Бесселя // Дифференц. уравнения, 2015. Т. 51, № 10. С. 1354-1366. doi: 10.1134/S0374064115100106.
  21. Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1944. viii+804 pp.
  22. Olver F. W. J. Differential equations with irregular singularities; Bessel and confluent hypergeometric functions (Chapter 7) / Asymptotics and Special Functions. Boston: Academic Press, Inc., 1974. pp. 229-278. doi: 10.1016/B978-0-12-525850-0.50012-2.
  23. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. vol. II / Bateman Manuscript Project. New York, Toronto, London: McGraw-Hill Book Co., Inc., 1953. xvii+396 pp.
  24. Сафина Р. М. Задача Келдыша для уравнения Пулькина в прямоугольной области // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2015. № 3(125). С. 53-63.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).