Том 23, № 2 (2023)
Статьи
Об оценках порядка наилучших M–членных приближений функций многих переменных в анизотропном пространстве Лоренца – Зигмунда
Аннотация
В статье рассматриваются анизотропное пространство Лоренца – Караматы периодических функций многих переменных и класс Никольского – Бесова в этом пространстве. Установлены точные по порядку оценки наилучших $M$-членных тригонометрических приближений функций из класса Никольского – Бесова по норме другого пространства Лоренца – Зигмунда.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):142-156
142-156
О скорости интерполяции наипростейшими дробями аналитических функций с регулярно убывающими коэффициентами
Аннотация
Рассматриваются задачи кратной интерполяции по узлу $z=0$ аналитических в единичном круге функций $f(z)=f_0+f_1z+\dots$ посредством наипростейших рациональных дробей (логарифмических производных алгебраических многочленов) со свободными полюсами и с полюсами, лежащими на окружности $|z|=1$. Получены оценки остатков интерполяции при условии вида $|f_{m-1}| < C/\sqrt{m}$, $m=1,2,\dots$. Точнее, мы предполагаем, что модули коэффициентов Маклорена $f_m$ функции $f$ не превосходят соответствующих коэффициентов $\alpha_m$ в разложении $a/\sqrt{1-x}$ ($-1< x <1$, $0 < a\le a^*\approx 0.34$) по степеням $x$. Для доказательства оценок используются конструкции наипростейших дробей Паде со свободными полюсами, разработанные В. И. и Д. Я. Данченко (2001), О. Н. Косухиным (2005), В. И. Данченко и П. В. Чунаевым (2011), и развитая автором статьи (2020) конструкция интерполирующих наипростейших дробей с полюсами на окружности. Наши теоремы дополняют и усиливают ряд результатов перечисленных работ. Используя свойства последовательности $\{\alpha_m\}$, удается доказать, в частности, что при ограничении $|f_m|\le \alpha_m$ все полюсы наипростейшей дроби Паде функции $f$ расположены во внешности единичной окружности.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):157-168
157-168
О приближении ограниченных функций тригонометрическими полиномами в метрике Хаусдорфа
Аннотация
Рассматривается задача о приближении в метрике Хаусдорфа ограниченной (не обязательно однозначной) $2\pi$-периодической функции $f$ тригонометрическими полиномами. Построение приближающего полинома проводится в несколько этапов. Сначала по функции $f$ строится подходящая кусочно-постоянная $2\pi$-периодическая функция $g$, обладающая свойством $\lambda$-монотонности, для которой получены оценки хаусдорфова уклонения от $f$, модуля непрерывности и вариации. Затем по функции $g$ строится $2\pi$-периодическая сплайн-функция $\varphi$ порядка $r$. Получена оценка производной $\varphi^{(r)}$ через модуль непрерывности функции $f$. На последнем этапе используется классическое неравенство Джексона для наилучшего приближения гладкой функции тригонометрическими полиномами. В итоге доказана точная по порядку оценка указанного отклонения функции $f$ в метрике Хаусдорфа с явно выписанной константой. По порядку оценка совпадает с известными результатами Б. Сендова и В. А. Попова, но лучше с точки зрения выбора константы.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):169-182
169-182
Единственность решения начально-граничной задачи для гиперболического уравнения со смешанной производной и формула для решения
Аннотация
Исследуется начально-граничная задача для неоднородного гиперболического уравнения второго порядка на конечном отрезке с постоянными коэффициентами и смешанной производной. Рассматривается случай закрепленных концов. Предполагается, что корни характеристического уравнения простые и лежат на вещественной оси по разные стороны от начала координат. Определяется классическое решение начально-граничной задачи. Формулируется и доказывается теорема единственности классического решения. Дается формула для решения в виде ряда, членами которого являются контурные интегралы, содержащие исходные данные задачи. Строится соответствующая спектральная задача для квадратичного пучка и формулируется теорема о разложении первой компоненты вектор-функции по производным цепочкам, соответствующим собственным функциям пучка. Эта теорема существенно используется при доказательстве теоремы единственности классического решения поставленной начально-граничной задачи.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):183-194
183-194
Сравнение аналитического и численного решений задачи о цилиндрической оболочке с круговым отверстием под действием различных нагрузок
Аннотация
Представлены результаты вычислений поля напряжений цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием и находящейся под воздействием различных нагрузок: одноосного растяжения, внутреннего давления и кручения. Шесть упрощенных уравнений теории цилиндрических оболочек с большим показателем изменяемости (совпадающие с уравнениями теории пологих оболочек) сводятся к уравнению математической физики относительно потенциала напряжений, которое решается методом Фурье. Основным препятствием к получению ответа является необходимость поиска коэффициентов в разложении решения в сумму базисных функций, при которых это решение удовлетворяет граничным условиям. Также это уравнение зависит от параметра $\beta$, ответственного за отношение между геометрическими характеристиками оболочки и отверстия. С механической точки зрения для малых и средних отверстий этот параметр имеет ограничения $\beta \leq 4$, тaк как при б\'ольших значениях отверстие считается больш\'им, и для описания напряженно-деформированного состояния применяются общие уравнения теории цилиндрических оболочек. При этом детальное изучение классических работ привело к пониманию того, что ни один из до сих пор предложенных методов поиска коэффициентов нельзя считать окончательно удачным, а результаты, полученные этими методами, разнятся. Среди разнообразия работ советских и западных ученых 60--70-х гг. ХХ в. выделяются численные результаты инженера Ван Дайка, которые он получил методом коллокаций. В отличие от своих современников, раскладывающих решение в ряд по малому параметру $\beta$ и оттого получающих только результаты, близкие к плоскому случаю, Ван Дайк впервые опубликовал численные результаты для всего рабочего диапазона параметра $\beta$ в рамках рассмотрения малых и средних отверстий. В данной статье предложен новый подход, основанный на разложении базисных функций в ряд Фурье. Впервые удалось составить бесконечную систему линейно независимых уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов. Существенно, что предложенный метод, в отличие от известного метода малого параметра, не имеет математических ограничений и может применяться не только для значений параметра $\beta$, близких к нулю, а для любых значений. Ограничения вплоть до $\beta=4$ наложены механической моделью. Составлены системы для нахождения неизвестных коэффициентов при базисных функциях для трех типов нагрузок, проведено сравнение результатов, полученных авторами, с результатами, полученными численным методом. При этом если в большинстве источников приводятся только результаты вычисления окружных напряжений на границе отверстия, то в предлагаемой работе найдено поле напряжений для всей цилиндрической оболочки, возникающее ввиду наличия отверстия, в зависимости от полярных координат $(r,\theta)$.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):195-206
195-206
Пассивное демпфирование колебаний цилиндрической оболочки, взаимодействующей с текущей жидкостью
Аннотация
Оценена возможность пассивного демпфирования колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с текущей жидкостью. Механизм основан на шунтировании закреплённого на поверхности конструкции разомкнутого пьезоэлектрического кольца внешней электрической цепью, состоящей из последовательно соединённых сопротивления и катушки индуктивности. Выбор их оптимальных величин осуществлён численно с использованием разработанного конечно-элементного алгоритма. Предложенный подход основан на решении серии модальных задач. Он позволяет получить более высокие показатели демпфирования, чем традиционно используемые для этой цели аналитические выражения, и приводит к наименьшей разнице между собственными частотами колебаний конструкции и электрической цепи. При моделировании пространственной оболочки её криволинейная поверхность аппроксимируется совокупностью плоских сегментов. В каждом из них выполняются соотношения теории слоистых пластин и уравнения линейной теории пьезоупругости, записанные для случая плоского напряжённого состояния. Данный подход позволяет оставить в векторах напряжённости электрического поля и электрической индукции отличными от нуля только компоненты, нормальные к электродированной поверхности пьезокольца. Основные соотношения, описывающие безвихревую динамику идеальной сжимаемой жидкости в случае малых возмущений, формулируются в терминах потенциала возмущения скорости. Соответствующее волновое уравнение записывается в связанной с конструкцией системе координат и совместно с условием непроницаемости и граничными условиями преобразуется к слабой форме методом Бубнова – Галёркина. В работе проанализировано изменение комплексных собственных значений электромеханической системы в зависимости от сопротивления и индуктивности последовательной электрической цепи. Проведено сравнение различных способов вычисления её оптимальных параметров. Построены амплитудно-частотные характеристики, демонстрирующие снижение амплитуды вынужденных гармонических колебаний при заданной скорости течения жидкости.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):207-226
207-226
Кинетика остаточных напряжений в тонкостенных цилиндрических образцах после двухстороннего поверхностного упрочнения в условиях ползучести при жестких ограничениях на угловые и осевые линейные перемещения
Аннотация
Приведена методика решения задачи о релаксации остаточных напряжений после двухстороннего поверхностного упрочнения полого цилиндра в условиях ползучести при жестко зафиксированных первоначально заданных осевой деформации и угла закручивания. Решение построено для сложных режимов нагружения, включающих чистую термоэкспозицию, осевую нагрузку, крутящий момент, внутреннее давление и их комбинации. Численный анализ выполнен на примере тонкостенного цилиндра из стали Х18Н10Т при температуре $T\!=\!600\,^\circ$C, внутренняя и внешняя поверхности которого упрочнены в режиме ультразвукового упрочнения. Реконструкция начальных полей остаточных напряжений и пластических деформаций выполнена на основании известной экспериментальной информации о распределении осевой и окружной компонент тензора напряжений в тонких поверхностно упрочненных областях на внешней и внутренней поверхностях. Построена феноменологическая модель ползучести стали Х18Н10Т при $T\!=\!600\,^\circ$C. Задача реологического деформирования в пределах первых двух стадий ползучести решалась численно с использованием дискретизации по времени и по радиусу. Расчетным путем установлено, что при наличии жестких ограничений на угловые и осевые линейные перемещения наблюдается уменьшение скорости релаксации остаточных напряжений по сравнению со случаем, когда эти ограничения отсутствуют. Приведены графики, отражающие кинетику остаточных напряжений в зависимости от последовательности приложения температурно-силовых нагрузок в различные временные сечения.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):227-240
227-240
Иерархический анализ рисков моделей угроз беспилотных летательных аппаратов
Аннотация
Актуальность рассматриваемых в работе вопросов определяется широким применением в деятельности человека беспилотных летательных аппаратов, высокой аварийностью и необходимостью научного обоснования затрат на их безопасность при использовании в различных условиях эксплуатации, в частности, в системах мониторинга распределенных в пространстве объектов. Цель исследования — разработка рекомендаций по оптимизации затрат на системы защиты беспилотных летательных аппаратов на основе иерархического анализа рисков моделей угроз. Результаты: разработанная концепция исследований базируется на принципе определения адекватных соотношений между рисками от угроз для летательных аппаратов и затратами на их защиту. В процессе исследования разработаны метод и программное средство, позволяющие осуществить построение и анализ трехуровневой модели рисков от угроз. На нижнем уровне данной модели определяются оценки рисков для частных моделей угроз отдельных участков маршрута, на среднем уровне — оценки рисков для кластеров частных моделей угроз и на верхнем уровне — максимальные оценки рисков для всего маршрута. В процессе вычислительных экспериментов с использованием разработанного метода было определено, в частности, превышение стоимостных затрат на защиту по общей модели угроз по сравнению с частной и кластерной моделями соответственно на 47 и 20%. Применение метода иерархического анализа позволяет рассчитать суммарные риски и оценить соответствующие стоимостные затраты для различных модификаций систем защиты. Результаты расчета могут быть использованы в качестве рекомендаций при оценке затрат на построение системы защиты беспилотных летательных аппаратов.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):241-252
241-252
Исследование необходимости использования переменного значения баллистического коэффициента при моделировании траектории пули в стрелковом тренажере
Аннотация
При разработке электронных стрелковых тренажеров для ручного автоматического оружия, не использующих боеприпасы, необходимо добиться максимально реалистичного моделирования траектории полета пули для каждого выстрела с учетом множества факторов. Традиционно при моделировании траектории используется система дифференциальных уравнений внешней баллистики. Использование в такой математической модели постоянного значения баллистического коэффициента не позволяет добиться высокой точности моделирования траектории по таким важным для решения «задачи встречи» параметрам, как полное время полета и превышение траектории для всех прицельных дальностей стрелкового оружия. Начальными значениями в математической модели на основе системы дифференциальных уравнений внешней баллистики являются угол бросания (зависит от установок прицела), начальная скорость и баллистический коэффициент пули, а рассчитываются такие параметры, как текущее превышение, дальность, время, скорость и направление. Приводятся оценки погрешностей расчета координат баллистической траектории при различных подходах к использованию значения баллистического коэффициента. Сделан вывод о том, что на текущий момент при моделировании траектории полета пули вполне оправданным является упрощение, основанное на использовании постоянного значения баллистического коэффициента, но при соответствующих требованиях тактико-технического задания актуальным будет вопрос исследования способов повышения точности моделирования траектории. Одним из таких способов является вариант использования значения баллистического коэффициента, зависимого от угла бросания, предложенный в настоящей статье.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):253-263
253-263
Оптимальное решение в модели управления экономической системой в условиях массового заболевания
Аннотация
В условиях массового заболевания перед органами управления экономической системы возникает ряд задач, связанных с необходимостью минимизировать его негативные эффекты. Для этого требуется инструмент, позволяющий оперативно прогнозировать динамику ситуации и определять, какие меры требуется принять. В данной работе в качестве такого инструмента предлагается специализированная математическая модель, учитывающая социально-биологические и экономические факторы. Модель представляет собой динамическую задачу оптимального управления с запаздыванием по фазовым переменным. Значения параметров модели оценены с использованием статистических данных о пандемии COVID-19 в Российской Федерации и Ульяновской области. В качестве целевого функционала рассматриваются: «социальный критерий» — уменьшение количества заболевших; «экономический критерий» — увеличение относительной прибыли экономической системы. Для решения задачи авторами применяется модификация численного метода параметризации, развиваемого ими в ранних исследованиях. В статье представлены и проанализированы результаты численного эксперимента, направленного на исследование полученных оптимальных решений. Показано, что оптимальное решение для социального и экономического критериев при изменении бюджетов является устойчивым; большинство параметров оптимального решения слабо эластичны относительно рассмотренных значений переменных; параметры оптимального решения при использовании экономического критерия более подвержены изменению, чем при использовании социального критерия; характер изменения параметров оптимального решения для Ульяновской области и для РФ является схожим. Таким образом, в работе предлагается инструмент анализа экономической проблемы в условиях массового заболевания, подтверждается применимость инструмента для поиска оптимальных стратегий управления в различных экономических системах.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(2):264-273
264-273