Решение электромагнитной обратной задачи восстановления неоднородности в диэлектрическом теле двухшаговым методом по измерениям ближнего поля

Полный текст

Введение

Обратные электромагнитные (векторные) задачи восстановления структуры неоднородного тела вызывают большой интерес на протяжении нескольких десятилетий. Одним из наиболее популярных подходов к их решению является минимизация некоторых функционалов ошибок (с помощью регуляризации Тихонова) и использование итерационных методов, требующих выбора хорошего начального приближения.

В данной работе мы используем неитерационный метод к решению обратной электромагнитной задачи восстановления структуры неоднородного тела, на которое падает монохроматическая электромагнитная волна. Задача состоит в нахождении неизвестной диэлектрической проницаемости (или соответствующего ей показателя преломления) ограниченного объемного рассеивателя, расположенного в пространстве, по результатам измерений ближнего поля вне тела. В статье представлено описание, обоснование и применение двухшагового метода.

Сформулирована прямая задача о дифракции монохроматической электромагнитной волны на ограниченном объемном рассеивателе с заданной постоянной магнитной проницаемостью и известной диэлектрической проницаемостью. Исходная краевая задача для уравнений Максвелла сводится к системе, состоящей из сингулярного интегро-дифференциального уравнения электрического поля по области неоднородности и интегрального представления полного электрического поля вне рассеивателя. Приведены основные результаты о разрешимости прямой задачи дифракции.

Затем решается обратная задача, заключающаяся в нахождении неизвестной диэлектрической проницаемости объемного тела заданной формы. Показано, что интегро-дифференциальное уравнение первого рода имеет не более одного решения в конечномерных пространствах кусочно-постоянных функций.

Постановка задачи

Пусть дано некоторое тело $Q\subset {ℝ}^3$ – полушар, $\partial Q$ – кусочно-гладкая граница. Предполагаем, что диэлектрическое тело $Q$ является изотропным и неоднородным.

В пространстве вне тела предполагается, что среда однородна и имеет постоянные значения магнитной проницаемости ${\mu }_0$ и диэлектрической проницаемости ${\epsilon }_0$.

Поле возбуждается точечным источником излучения в точке $x_0\in {ℝ}^3\backslash \overline{Q},$ порождающим электромагнитную волну ${\mathbf{E}}_0$, ${\mathbf{H}}_0$, удовлетворящую системе уравнений Максвелла вне этой точки:

$\left\{\begin{array}{l}rot{\mathbf{H}}_0=-i\omega {\epsilon }_0{\mathbf{E}}_0,\\ rot{\mathbf{E}}_0=i\omega {\mu }_0{\mathbf{H}}_0.\end{array}\right.$ (1)

Полное электромагнитное поле в точке можно представить как сумму двух компонент: падающего поля ${\mathbf{E}}_0$, ${\mathbf{H}}_0$ и поля ${\mathbf{E}}_S$, ${\mathbf{H}}_S$, рассеянного от объекта (рис. 1):

$\mathbf{E}={\mathbf{E}}_0+{\mathbf{E}}_s,$ $\mathbf{H}={\mathbf{H}}_0+{\mathbf{H}}_s.$ (2)

 

Рис. 1. Графическая иллюстрация задачи

Fig. 1. Graphic illustration of the problem

 

Решение прямой задачи дифракции – полное электромагнитное поле $\mathbf{E},\mathbf{ }\mathbf{H}$ – удовлетворяет в ${ℝ}^3\backslash \partial Q$ уравнениям Максвелла:

$\left\{\begin{array}{l}rot\mathbf{H}=-i\omega \epsilon \mathbf{E},\\ rot\mathbf{E}=i\omega {\mu }_0\mathbf{H}.\end{array}\right.$ (3)

Предполагаем, что на границе раздела двух сред выполняются условия непрерывности касательных компонент поля на границе области неоднородности:

$\left[{\mathbf{E}}_{\tau }\right]{|}_{\partial Q}=\left[{\mathbf{H}}_{\tau }\right]{|}_{\partial Q}=\mathrm{0,}$ (4)

условия конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства:

$\mathbf{E},\mathbf{H}\in {\mathbf{L}}_{\mathrm{2,}loc}\left({ℝ}^3\right).$ (5)

Подробная постановка задачи (1)–(5) и исследование ее разрешимости имеются в [1].

Краевую задачу (1)–(5) можно свести [1] к системе, состоящей из интегро-дифференциального уравнения по области неоднородности:

$\mathbf{E}\left(x\right)-(k_0^2+graddiv){\int }_{Q}G(x,y)\left({\epsilon }_r\right(y)-1)\mathbf{E}\left(y\right)dy={\mathbf{E}}_0\left(x\right),x\in Q,$ (6)

и интегрального представления поля вне тела:

$\mathbf{E}\left(x\right)={\mathbf{E}}_0\left(x\right)+$

$\begin{array}{l}+(k_0^2+graddiv)\text{}{\int }_Q\text{}G(x,y)\left({\epsilon }_r\right(y)-1)\mathbf{E}\left(y\right)dy,\\ x\in {ℝ}^3\backslash \overline{Q},\end{array}$ (7)

где

$Gx\mathrm{,}y\frac{e^{i{k}_{0}x-y}}{4\pi x-y},$

а ${\epsilon }_r=\epsilon /{\epsilon }_0$ – относительная диэлектрическая проницаемость.

Магнитное поле всюду выражается через электрическое по формуле

$\mathbf{H}=\frac{1}{i\omega {\mu }_0}rot\mathbf{E}.$

Введем в области $Q$ вектор-функцию

$\mathbf{J}\left(x\right):=\left({\epsilon }_r\right(x)-1)\mathbf{E}\left(x\right),$

предполагая, что всюду в $Q$ выполнено условие $\left|{\epsilon }_r\left(x\right)\right|\ge \tilde{\epsilon }>1.$ Тогда из представления поля вне рассеивателя получим уравнение для $\mathbf{J}\left(x\right)$:

$(k_0^2+graddiv){\int }_{Q}G(x,y)\mathbf{J}\left(y\right)dy=$

$=\mathbf{E}\left(x\right)-{\mathbf{E}}_0\left(x\right),x\in D,$ (8)

а уравнение в области неоднородности перепишем в виде

$\frac{\mathbf{J}\left(x\right)}{{\epsilon }_r\left(x\right)-1}-(k_0^2+graddiv)\text{}{\int }_Q\text{}G(x,y)\mathbf{J}\left(y\right)dy=$

$={\mathbf{E}}_0\left(x\right),x\in Q.$ (9)

Для решения обратной задачи нахождения неизвестной диэлектрической проницаемости (или соответствующего ей показателя преломления) ограниченного объемного рассеивателя, расположенного в пространстве, по результатам измерений ближнего поля вне тела применим двухшаговый метод [2–3]. Первый шаг двухшагового метода заключается в решении линейного интегрального уравнения первого рода относительно тока поляризации (по известным значениям падающего поля ${\mathbf{E}}_{\mathbf{0}}\left(x\right)$ и полного поля $\mathbf{E}\left(x\right)$ в некоторой области $\mathcal{D}$ вне тела необходимо найти ток $\mathbf{J}\left(x\right)$ в $Q$ из уравнения (8)). На втором шаге $\epsilon \left(x\right)$ явно выражается через известную функцию $\mathbf{J}\left(x\right)$ с использованием уравнения (9).

Численная реализация двухшагового метода подробно описана в [4–7]. Ниже представлены результаты расчетов этим методом в случае тела в форме полушара.

Рис. 2 демонстрирует решение прямой (слева) и обратной (справа) задач для полусферы, содержащей неравномерно распределенные неоднородности с различными показателями преломления, значения которых отображены на цветовой шкале. Неоднородности визуализированы цветными фигурами внутри полусферы. Из рис. 2 видно, что изменения значений неоднородностей в прямой (точные значения) и обратной (вычисленные приближенные значения) задачах незначительны. Восстановленные данные, отражающие их положение и параметры неоднородности, хорошо различимы.

 

Рис. 2. Решение прямой и обратной задачи для тела формы полусфера

Fig. 2. Solving the direct and inverse problem for a hemisphere-shaped body

 

На рис. 3 представлена принципиальная схема измерительной установки, реализованная с использованием двухпортового векторного анализатора цепей (vector network analyzer) ZNLE6 производства компании Rohde&Schwarz (1) и персонального компьютера для анализа и обработки полученных измерений (2). Измерения проводились в диапазоне частот от 5 до 5,5 ГГц с применением микрополосковых печатных антенн, которые направлены друг на друга (3) и (4). При проведении измерений исследуемый образец с некоторой неоднородностью внутри (5) помещается между двух антенн. Объектами исследования являются полусферы с наличием внутри неоднородностей различных размеров: кубических неоднородностей со сторонами 1, 2, 3 см и эталонный объект с однородной структурой. Ниже эти варианты обозначены, соответственно, F₁, F₂, F₃, F₀.

 

Рис. 3. Схематичное представление измерительной установки

Fig. 3. Schematic representation of the measuring unit

 

На рис. 4 и 5 представлены значения модуля вещественной части измеренных коэффициентов отражения и прохождения при помещении объектов с неоднородностями и без. Из графиков видно, что значения параметров заметно изменяются в зависимости от размера неоднородности. Также проводились эксперименты при изменении положения неоднородностей (поворот образца), показывающие изменение S-параметров и в этих случаях.

 

Рис. 4. Значение параметра S11 для объектов F₀, F₁, F₂, F₃

Fig. 4. Value of the S11 parameter for objects F₀, F₁, F₂, F₃

 

Рис. 5. Значение параметра S12 для объектов F₀, F₁, F₂, F₃

Fig. 5. Value of the S12 parameter for objects F₀, F₁, F₂, F₃

 

Экспериментальные данные выявляют принципиальную возможность обнаружения неоднородностей в диэлектрическом теле с помощью измерений электромагнитного поля в ближней зоне.

Заключение

В статье рассмотрен метод решения электромагнитной обратной задачи СВЧ-томографии по измерениям ближнего поля, то есть восстановления структуры неоднородного диэлектрического тела по значениям электромагнитного поля вне этого тела с помощью измерительной установки. Для решения обратной задачи применялся двухшаговый неитерационный метод.

Приведенные численные результаты в случае тела в форме полушара показывают возможность достаточно точного восстановления структуры неоднородного тела по измерениям поля вне тела.

Экспериментальные данные, полученные с помощью измерительной установки, демонстрируют возможность обнаружения сравнительно небольших по размеру произвольно расположенных неоднородностей в диэлектрическом теле посредством измерений электромагнитного поля на различных частотах в ближней зоне.

Финансирование

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ по гранту Государственного Задания (Рег. № 124020200015-7).

Об авторах

Юрий Геннадьевич Смирнов

Пензенский государственный университет

Email: smirnovyug@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9040-628X
SPIN-код: 1415-9378
ResearcherId: A-4813-2014

доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования

Область научных интересов: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ

Россия, 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40

Андрей Олегович Лапич

Пензенский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: lapich.a@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5827-0298
SPIN-код: 1057-4361
ResearcherId: HTN-6344-2023

аспирант, ассистент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования

Область научных интересов: математические модели электродинамики

Россия, 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40

Список литературы

Дополнительные файлы