Solution of electromagnetic inverse problem of inhomogeneity reconstruction in dielectric body by near-field measurements using two-step method

Full Text

Введение

Обратные электромагнитные (векторные) задачи восстановления структуры неоднородного тела вызывают большой интерес на протяжении нескольких десятилетий. Одним из наиболее популярных подходов к их решению является минимизация некоторых функционалов ошибок (с помощью регуляризации Тихонова) и использование итерационных методов, требующих выбора хорошего начального приближения.

В данной работе мы используем неитерационный метод к решению обратной электромагнитной задачи восстановления структуры неоднородного тела, на которое падает монохроматическая электромагнитная волна. Задача состоит в нахождении неизвестной диэлектрической проницаемости (или соответствующего ей показателя преломления) ограниченного объемного рассеивателя, расположенного в пространстве, по результатам измерений ближнего поля вне тела. В статье представлено описание, обоснование и применение двухшагового метода.

Сформулирована прямая задача о дифракции монохроматической электромагнитной волны на ограниченном объемном рассеивателе с заданной постоянной магнитной проницаемостью и известной диэлектрической проницаемостью. Исходная краевая задача для уравнений Максвелла сводится к системе, состоящей из сингулярного интегро-дифференциального уравнения электрического поля по области неоднородности и интегрального представления полного электрического поля вне рассеивателя. Приведены основные результаты о разрешимости прямой задачи дифракции.

Затем решается обратная задача, заключающаяся в нахождении неизвестной диэлектрической проницаемости объемного тела заданной формы. Показано, что интегро-дифференциальное уравнение первого рода имеет не более одного решения в конечномерных пространствах кусочно-постоянных функций.

Постановка задачи

Пусть дано некоторое тело $Q\subset {ℝ}^3$ – полушар, $\partial Q$ – кусочно-гладкая граница. Предполагаем, что диэлектрическое тело $Q$ является изотропным и неоднородным.

В пространстве вне тела предполагается, что среда однородна и имеет постоянные значения магнитной проницаемости ${\mu }_0$ и диэлектрической проницаемости ${\epsilon }_0$.

Поле возбуждается точечным источником излучения в точке $x_0\in {ℝ}^3\backslash \overline{Q},$ порождающим электромагнитную волну ${\mathbf{E}}_0$, ${\mathbf{H}}_0$, удовлетворящую системе уравнений Максвелла вне этой точки:

$\left\{\begin{array}{l}rot{\mathbf{H}}_0=-i\omega {\epsilon }_0{\mathbf{E}}_0,\\ rot{\mathbf{E}}_0=i\omega {\mu }_0{\mathbf{H}}_0.\end{array}\right.$ (1)

Полное электромагнитное поле в точке можно представить как сумму двух компонент: падающего поля ${\mathbf{E}}_0$, ${\mathbf{H}}_0$ и поля ${\mathbf{E}}_S$, ${\mathbf{H}}_S$, рассеянного от объекта (рис. 1):

$\mathbf{E}={\mathbf{E}}_0+{\mathbf{E}}_s,$ $\mathbf{H}={\mathbf{H}}_0+{\mathbf{H}}_s.$ (2)

 

Рис. 1. Графическая иллюстрация задачи

Fig. 1. Graphic illustration of the problem

 

Решение прямой задачи дифракции – полное электромагнитное поле $\mathbf{E},\mathbf{ }\mathbf{H}$ – удовлетворяет в ${ℝ}^3\backslash \partial Q$ уравнениям Максвелла:

$\left\{\begin{array}{l}rot\mathbf{H}=-i\omega \epsilon \mathbf{E},\\ rot\mathbf{E}=i\omega {\mu }_0\mathbf{H}.\end{array}\right.$ (3)

Предполагаем, что на границе раздела двух сред выполняются условия непрерывности касательных компонент поля на границе области неоднородности:

$\left[{\mathbf{E}}_{\tau }\right]{|}_{\partial Q}=\left[{\mathbf{H}}_{\tau }\right]{|}_{\partial Q}=\mathrm{0,}$ (4)

условия конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства:

$\mathbf{E},\mathbf{H}\in {\mathbf{L}}_{\mathrm{2,}loc}\left({ℝ}^3\right).$ (5)

Подробная постановка задачи (1)–(5) и исследование ее разрешимости имеются в [1].

Краевую задачу (1)–(5) можно свести [1] к системе, состоящей из интегро-дифференциального уравнения по области неоднородности:

$\mathbf{E}\left(x\right)-(k_0^2+graddiv){\int }_{Q}G(x,y)\left({\epsilon }_r\right(y)-1)\mathbf{E}\left(y\right)dy={\mathbf{E}}_0\left(x\right),x\in Q,$ (6)

и интегрального представления поля вне тела:

$\mathbf{E}\left(x\right)={\mathbf{E}}_0\left(x\right)+$

$\begin{array}{l}+(k_0^2+graddiv)\text{}{\int }_Q\text{}G(x,y)\left({\epsilon }_r\right(y)-1)\mathbf{E}\left(y\right)dy,\\ x\in {ℝ}^3\backslash \overline{Q},\end{array}$ (7)

где

$Gx\mathrm{,}y\frac{e^{i{k}_{0}x-y}}{4\pi x-y},$

а ${\epsilon }_r=\epsilon /{\epsilon }_0$ – относительная диэлектрическая проницаемость.

Магнитное поле всюду выражается через электрическое по формуле

$\mathbf{H}=\frac{1}{i\omega {\mu }_0}rot\mathbf{E}.$

Введем в области $Q$ вектор-функцию

$\mathbf{J}\left(x\right):=\left({\epsilon }_r\right(x)-1)\mathbf{E}\left(x\right),$

предполагая, что всюду в $Q$ выполнено условие $\left|{\epsilon }_r\left(x\right)\right|\ge \tilde{\epsilon }>1.$ Тогда из представления поля вне рассеивателя получим уравнение для $\mathbf{J}\left(x\right)$:

$(k_0^2+graddiv){\int }_{Q}G(x,y)\mathbf{J}\left(y\right)dy=$

$=\mathbf{E}\left(x\right)-{\mathbf{E}}_0\left(x\right),x\in D,$ (8)

а уравнение в области неоднородности перепишем в виде

$\frac{\mathbf{J}\left(x\right)}{{\epsilon }_r\left(x\right)-1}-(k_0^2+graddiv)\text{}{\int }_Q\text{}G(x,y)\mathbf{J}\left(y\right)dy=$

$={\mathbf{E}}_0\left(x\right),x\in Q.$ (9)

Для решения обратной задачи нахождения неизвестной диэлектрической проницаемости (или соответствующего ей показателя преломления) ограниченного объемного рассеивателя, расположенного в пространстве, по результатам измерений ближнего поля вне тела применим двухшаговый метод [2–3]. Первый шаг двухшагового метода заключается в решении линейного интегрального уравнения первого рода относительно тока поляризации (по известным значениям падающего поля ${\mathbf{E}}_{\mathbf{0}}\left(x\right)$ и полного поля $\mathbf{E}\left(x\right)$ в некоторой области $\mathcal{D}$ вне тела необходимо найти ток $\mathbf{J}\left(x\right)$ в $Q$ из уравнения (8)). На втором шаге $\epsilon \left(x\right)$ явно выражается через известную функцию $\mathbf{J}\left(x\right)$ с использованием уравнения (9).

Численная реализация двухшагового метода подробно описана в [4–7]. Ниже представлены результаты расчетов этим методом в случае тела в форме полушара.

Рис. 2 демонстрирует решение прямой (слева) и обратной (справа) задач для полусферы, содержащей неравномерно распределенные неоднородности с различными показателями преломления, значения которых отображены на цветовой шкале. Неоднородности визуализированы цветными фигурами внутри полусферы. Из рис. 2 видно, что изменения значений неоднородностей в прямой (точные значения) и обратной (вычисленные приближенные значения) задачах незначительны. Восстановленные данные, отражающие их положение и параметры неоднородности, хорошо различимы.

 

Рис. 2. Решение прямой и обратной задачи для тела формы полусфера

Fig. 2. Solving the direct and inverse problem for a hemisphere-shaped body

 

На рис. 3 представлена принципиальная схема измерительной установки, реализованная с использованием двухпортового векторного анализатора цепей (vector network analyzer) ZNLE6 производства компании Rohde&Schwarz (1) и персонального компьютера для анализа и обработки полученных измерений (2). Измерения проводились в диапазоне частот от 5 до 5,5 ГГц с применением микрополосковых печатных антенн, которые направлены друг на друга (3) и (4). При проведении измерений исследуемый образец с некоторой неоднородностью внутри (5) помещается между двух антенн. Объектами исследования являются полусферы с наличием внутри неоднородностей различных размеров: кубических неоднородностей со сторонами 1, 2, 3 см и эталонный объект с однородной структурой. Ниже эти варианты обозначены, соответственно, F₁, F₂, F₃, F₀.

 

Рис. 3. Схематичное представление измерительной установки

Fig. 3. Schematic representation of the measuring unit

 

На рис. 4 и 5 представлены значения модуля вещественной части измеренных коэффициентов отражения и прохождения при помещении объектов с неоднородностями и без. Из графиков видно, что значения параметров заметно изменяются в зависимости от размера неоднородности. Также проводились эксперименты при изменении положения неоднородностей (поворот образца), показывающие изменение S-параметров и в этих случаях.

 

Рис. 4. Значение параметра S11 для объектов F₀, F₁, F₂, F₃

Fig. 4. Value of the S11 parameter for objects F₀, F₁, F₂, F₃

 

Рис. 5. Значение параметра S12 для объектов F₀, F₁, F₂, F₃

Fig. 5. Value of the S12 parameter for objects F₀, F₁, F₂, F₃

 

Экспериментальные данные выявляют принципиальную возможность обнаружения неоднородностей в диэлектрическом теле с помощью измерений электромагнитного поля в ближней зоне.

Заключение

В статье рассмотрен метод решения электромагнитной обратной задачи СВЧ-томографии по измерениям ближнего поля, то есть восстановления структуры неоднородного диэлектрического тела по значениям электромагнитного поля вне этого тела с помощью измерительной установки. Для решения обратной задачи применялся двухшаговый неитерационный метод.

Приведенные численные результаты в случае тела в форме полушара показывают возможность достаточно точного восстановления структуры неоднородного тела по измерениям поля вне тела.

Экспериментальные данные, полученные с помощью измерительной установки, демонстрируют возможность обнаружения сравнительно небольших по размеру произвольно расположенных неоднородностей в диэлектрическом теле посредством измерений электромагнитного поля на различных частотах в ближней зоне.

Финансирование

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ по гранту Государственного Задания (Рег. № 124020200015-7).

About the authors

Yury G. Smirnov

Penza State University

Email: smirnovyug@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9040-628X
SPIN-code: 1415-9378
ResearcherId: A-4813-2014

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Department of Mathematics and Supercomputer Modeling

Research interests: mathematical modeling, numerical methods, mathematical physics, differential and integral equations, functional analysis

Russian Federation, 40, Krasnaya Street, Penza, 440026

Andrey O. Lapich

Penza State University

Author for correspondence.
Email: lapich.a@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5827-0298
SPIN-code: 1057-4361
ResearcherId: HTN-6344-2023

postgraduate student, teaching assistant of the Department of Mathematics and Supercomputer Modeling

Research interests: mathematical models of electrodynamics

Russian Federation, 40, Krasnaya Street, Penza, 440026

References

Supplementary files