Method for approximate analytical calculation of electromagnetic wave reflection coefficients from a layer of inhomogeneous non-reciprocal chiral metamaterial taking into account dispersion of material parameters

Full Text

Введение

Современные достижения в области метаматериалов открывают новые горизонты для исследований и применения в различных областях науки и техники, включая оптику, радиофизику и инфокоммуникации [1]. Метаматериалы, обладающие уникальными электромагнитными свойствами, могут быть созданы с целью реализации возможности управления распространением электромагнитных волн на уровне, не реализуемом для традиционных материалов [2]. Одной из ключевых задач в этой области является изучение отражающих свойств указанных композиционных материалов, особенно при распространении неоднородных слоистых структур [3]. Отражение электромагнитных волн от границы раздела двух сред – это сложный процесс, зависящий от множества факторов, таких как влияние на коэффициенты отражения угла падения волны, поляризации и электрофизических свойств самих материалов. Одним из типов метаматериалов, известных и активно развивающихся с конца XX века, являются киральные метаматериалы. Они обладают асимметрией в распределении своих элементарных структур, что приводит к разнообразным эффектам их взаимодействия с электромагнитными волнами. Эти эффекты могут включать изменение поляризации, а также аномальное поведение коэффициентов отражения [4]. На сегодняшний день большинство исследований в этой области основывается на численных методах анализа [5]. Несмотря на то что численные методы позволяют получить высокоточные результаты для сложных геометрий и параметров структур, они часто требуют значительных вычислительных ресурсов и времени [6–8]. Это создает необходимость в разработке более эффективных методов анализа, которые смогли бы обеспечить быстрое получение результатов без потери точности. В данной работе предложен приближенный метод расчета коэффициентов отражения электромагнитной волны от слоя неоднородного невзаимного кирального метаматериала с учетом дисперсии материальных параметров. Цель исследования состоит в разработке аналитического подхода к решению данной задачи. Считается, что аналитические решения не только ускоряют процесс получения результатов, но также способствуют лучшему пониманию физики процессов взаимодействия волн с неоднородными структурами. Аналитические методы имеют ряд преимуществ: они позволяют быстро оценить влияние различных параметров на коэффициенты отражения и преломления; их можно использовать для предварительного анализа перед проведением более сложных численных расчетов; кроме того, они могут служить основой для дальнейших теоретических исследований и экспериментов.

1. Математическая модель неоднородной и невзаимной киральной среды

Для электрофизических параметров невзаимной неоднородной киральной среды можно записать материальные уравнения в виде [9; 10]:

$\overrightarrow{D}={\mathrm{\epsilon }}_0\left(\mathrm{\epsilon }\left(x,\mathrm{\omega }\right)\overrightarrow{E}+{\mathrm{\eta }}^{*}\left(x,\mathrm{\omega }\right)Z_0\overrightarrow{H}\right),$ (1)

$\overrightarrow{\mathit{B}}={\mathrm{\mu }}_0\left(\mathrm{\mu }\left(\mathrm{x},\mathrm{\omega }\right)\overrightarrow{\mathit{H}}+\mathrm{\eta }\left(\mathrm{x},\mathrm{\omega }\right)Z_0^{-1}\overrightarrow{E}\right).$

где $Z_0=\sqrt{{\mathrm{\mu }}_0/{\mathrm{\epsilon }}_0}$ – характеристическое сопротивление вакуума;

$\mathrm{\eta }\left(\mathrm{x},\mathrm{\omega }\right)=\mathrm{\chi }+i\mathrm{\beta }\left(\mathrm{x},\mathrm{\omega }\right)=\mathrm{\eta };$

${\mathrm{\eta }}^{*}\left(\mathrm{x},\mathrm{\omega }\right)=\mathrm{\chi }-i\mathrm{\beta }\left(\mathrm{x},\mathrm{\omega }\right)={\mathrm{\eta }}^{*};$

χ и $\mathrm{\beta }(\mathrm{x},\mathrm{\omega })$ – параметры невзаимности и киральности соответственно; $\mathrm{\epsilon }(\mathrm{x},\mathrm{\omega })=\mathrm{\epsilon }$ и $\mathrm{\mu }(\mathrm{x},\mathrm{\omega })=\mathrm{\mu }$– относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; ω – круговая частота; $i=\sqrt{-1}.$

При записи соотношений (1) предполагается, что неоднородность материальных параметров кирального метаматериала реализуется только вдоль одной пространственной координаты x.

Материальные параметры неоднородной киральной среды зависят от частоты ω координаты x и имеют следующий вид:

$\mathrm{\epsilon }\left(\mathrm{x},\mathrm{\omega }\right)={\mathrm{\epsilon }}_{\text{c}}+\frac{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\epsilon }}{\mathrm{\omega }}_{\text{рез}}^2\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{\omega }}_{\text{рез}}^2\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{\omega }}^2+i\mathrm{\gamma \omega }};$ (2)

$\mathrm{\mu }\left(\mathrm{x},\mathrm{\omega }\right)={\mathrm{\mu }}_{\text{c}}+\frac{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\mu }}{\mathrm{\omega }}^2}{{\mathrm{\omega }}_{\text{рез}}^2\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{\omega }}^2+i\mathrm{\gamma \omega }};$

$\mathrm{\chi }\left(\mathrm{x},\mathrm{\omega }\right)=\frac{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\chi }}{\mathrm{\omega }}_{\text{рез}}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{\omega }}{{\mathrm{\omega }}_{\text{рез}}^2\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{\omega }}^2+i\mathrm{\gamma \omega }},$

где ${\mathrm{\omega }}_{\text{рез}}\left(\mathrm{x}\right)$ – резонансная частота, которая имеет разные значения в произвольной точке пространственной координаты x; γ – частота демпфирования; ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\epsilon }}, {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\mu }}, {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\chi }}$ – коэффициенты, определяющие отклонение значений электрофизических параметров в области резонанса; ${\mathrm{\epsilon }}_{\text{c}}, {\mathrm{\mu }}_{\text{c}}$ – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды-контейнера соответственно.

При записи соотношений (2) учтено, что дисперсия диэлектрической и магнитной проницаемости подчиняются модели Лоренца, а параметр киральности – модели Кондона.

С помощью материальных уравнений в форме (1) и уравнений Максвелла в дифференциальной форме будем решать задачу об отражении плоской однородной электромагнитной волны от неоднородного невзаимного кирального слоя с учетом дисперсии. Волна падает на границы раздела под углом θ (рис.). На рис. введены следующие обозначения: $\left\{{\overrightarrow{E}}_s;{\overrightarrow{H}}_s\right\}$ – векторы напряженностей электрического и магнитного полей падающей волны; $\left\{{\overrightarrow{E}}_r;{\overrightarrow{H}}_r\right\}$ – векторы отраженной волны и $\left\{{\overrightarrow{E}}_t;{\overrightarrow{H}}_t\right\}$ – векторы прошедшей волны.

 

Рис. Геометрия задачи

Fig. Geometry of the problem

 

Для слоя из неоднородной невзаимной киральной среды толщиной L, используя материальные уравнения (1) для пространственных зависимостей y- и z-составляющих векторов напряженностей электрического и магнитного полей при гармонической зависимости от времени, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

$\frac{d{E}_y}{dx}=-i\omega {\mathrm{\mu }}_0\mathrm{\mu }{H}_z\left(x\right)-i\mathrm{\omega }\sqrt{{\mathrm{\mu }}_0{\mathrm{\epsilon }}_0}\mathrm{\eta }{E}_z\left(x\right),$ (3)

$\frac{d{H}_z}{dx}=-i{\mathrm{\omega \epsilon }}_0\mathrm{\epsilon }\left\{1-\frac{{\sin }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu \epsilon }-{\mathrm{\eta \eta }}^{*}}\right\}{E}_y\left(x\right)+$

$+i\mathrm{\omega }\sqrt{{\mathrm{\mu }}_0{\mathrm{\epsilon }}_0}\left\{\mathrm{\eta }-\frac{{\mathrm{\eta }}^{*}{\sin }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu \epsilon }-{\mathrm{\eta \eta }}^{*}}\right\}{H}_y\left(x\right),$

$\frac{d{E}_z}{dx}=i{\mathrm{\omega \mu }}_0\mathrm{\mu }\left\{1-\frac{{\sin }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu \epsilon }-{\mathrm{\eta \eta }}^{*}}\right\}{H}_y\left(x\right)-$

$-i\mathrm{\omega }\sqrt{{\mathrm{\mu }}_0{\mathrm{\epsilon }}_0}\left\{{\mathrm{\eta }}^{*}-\frac{{\mathrm{\eta sin}}^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu \epsilon }-{\mathrm{\eta \eta }}^{*}}\right\}{E}_y\left(x\right),$

$\frac{d{H}_y}{dx}=i{\mathrm{\omega \epsilon \epsilon }}_0{E}_z\left(x\right)+i\mathrm{\omega }\sqrt{{\mathrm{\mu }}_0{\mathrm{\epsilon }}_0}{\mathrm{\eta }}^{*}{H}_z\left(x\right).$

Если ввести в рассмотрение нормированные напряженности электрического $U_1\left(x\right)=E_y\left(x\right)/E_0,$ $U_2\left(x\right)=E_z\left(x\right)/E_0$и магнитного $V_1\left(x\right)=Z_0{H}_z\left(x\right)/E_0,$ $V_2\left(x\right)=Z_0{H}_y\left(x\right)/E_0$ полей, нормированную координату $\xi =x/L$ и нормированное волновое число $K=$$\mathrm{\omega }\sqrt{{\mathrm{\epsilon }}_0{\mathrm{\mu }}_0}L,$ то уравнения (3) можно записать следующим образом:

$\frac{d{U}_1}{d\xi }=-iK\mathrm{\mu }{V}_1\left(\xi \right)-iK\mathrm{\eta }{U}_2\left(\xi \right),$ (4)

$\frac{d{V}_1}{d\xi }=-iK\epsilon \left\{1-\frac{{\sin }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu \epsilon }-{\mathrm{\eta \eta }}^{*}}\right\}{U}_1\left(\xi \right)+$

$+iK\left\{\mathrm{\eta }-\frac{{\mathrm{\eta }}^{*}{\sin }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu \epsilon }-{\mathrm{\eta \eta }}^{*}}\right\}{V}_2\left(\xi \right),$

$\frac{d{U}_2}{d\xi }=iK\mathrm{\mu }\left\{1-\frac{{\sin }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu \epsilon }-{\mathrm{\eta \eta }}^{*}}\right\}{V}_2\left(\xi \right)-$

$-iK\left\{{\mathrm{\eta }}^{*}-\frac{{\mathrm{\eta sin}}^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu \epsilon }-{\mathrm{\eta \eta }}^{*}}\right\}{U}_1\left(\xi \right),$

$\frac{d{V}_2}{d\xi }=iK\epsilon U_2\left(\xi \right)+iK{\mathrm{\eta }}^{*}{V}_1\left(\xi \right).$

Запишем систему уравнений (4) в более компактной форме:

$\frac{d{U}_1}{d\xi }=A_1\left(\xi ,K\right)V_1\left(\xi \right)+A_2\left(\xi ,K\right)U_2\left(\xi \right),$ (5)

$\frac{d{V}_1}{d\xi }=A_3\left(\xi ,K\right)U_1\left(\xi \right)+A_4\left(\xi ,K\right)V_2\left(\xi \right),$

$\begin{array}{l}\frac{d{U}_2}{d\xi }=A_5\left(\xi ,K\right)V_2\left(\xi \right)+A_6\left(\xi ,K\right)U_1\left(\xi \right),\\ \frac{d{V}_2}{d\xi }=A_7\left(\xi ,K\right)U_2\left(\xi \right)+A_8\left(\xi ,K\right)V_1\left(\xi \right),\end{array}$

где

$A_1\left(\xi ,K\right)=-iK\mathrm{\mu }\left(\xi ,K\right);$ $A_2\left(\xi ,K\right)=-iK\mathrm{\eta }\left(\xi ,K\right);$

$A_3\left(\xi ,K\right)=$$-iK\epsilon \left(\xi ,K\right)\left\{1-\frac{{\sin }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu }\left(\xi ,K\right)\epsilon \left(\xi ,K\right)-\mathrm{\eta }\left(\xi ,K\right){\mathrm{\eta }}^{*}\left(\xi ,K\right)}\right\};$

$A_4\left(\xi ,K\right)=$$=iK\left\{\mathrm{\eta }\left(\xi ,K\right)-\frac{{\mathrm{\eta }}^{*}\left(\xi ,K\right){\sin }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu }\left(\xi ,K\right)\epsilon \left(\xi ,K\right)-\mathrm{\eta }\left(\xi ,K\right){\mathrm{\eta }}^{*}\left(\xi ,K\right)}\right\};$

$\begin{array}{l}{A}_5\left(\xi ,K\right)=\\ =iK\mathrm{\mu }\left(\xi ,K\right)\left\{1-\frac{s{\mathrm{in}}^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu }\left(\xi ,K\right)\epsilon \left(\xi ,K\right)-\mathrm{\eta }\left(\xi ,K\right){\mathrm{\eta }}^{*}\left(\xi ,K\right)}\right\};\end{array}$

$\begin{array}{l}{A}_6\left(\xi ,K\right)=\\ =-iK\left\{{\mathrm{\eta }}^{*}\left(\xi ,K\right)-\frac{\mathrm{\eta }\left(\xi ,K\right){\sin }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu }\left(\xi ,K\right)\epsilon \left(\xi ,K\right)-\mathrm{\eta }\left(\xi ,K\right){\mathrm{\eta }}^{*}\left(\xi ,K\right)}\right\};\end{array}$

$A_7\left(\xi ,K\right)=iK\epsilon \left(\xi ,K\right);$ $A_8\left(\xi ,K\right)=iK{\mathrm{\eta }}^{*}\left(\xi ,K\right).$

Для системы уравнений (5), исходя из условий непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей на границах раздела сред, запишем следующие граничные условия для случая волны горизонтальной поляризации:

$U_1\left(0\right)=1+R_{ee}, U_2\left(0\right)=-R_{eh}\mathrm{cos\theta },$ (6)

$V_1\left(0\right)=\left(1-R_{ee}\right)\mathrm{cos\theta }, V_2\left(0\right)=-R_{eh},$

$U_1\left(1\right)=T_{ee}, U_2\left(1\right)=T_{eh}\mathrm{cos\theta },$

$V_1\left(1\right)=\frac{Z_0}{Z_L}{T}_{ee}\mathrm{cos\theta },$ $V_2\left(1\right)=-\frac{Z_0}{Z_L}{T}_{eh}.$

Граничные условия для случая вертикальной поляризации представляются в следующем виде:

$U_2\left(0\right)=\left(1-R_{hh}\right)\mathrm{cos\theta },$ $U_1\left(0\right)=R_{he},$ (7)

$V_2\left(0\right)=-\left(1+R_{hh}\right), V_1\left(0\right)=-R_{he}\mathrm{cos\theta },$

$U_2\left(1\right)=T_{hh}\mathrm{cos\theta }, U_1\left(1\right)=T_{he},$

$V_2\left(1\right)=-\frac{Z_0}{Z_L}{T}_{hh}, V_1\left(1\right)=-\frac{Z_0}{Z_L}{T}_{he}\mathrm{cos\theta }.$

В соотношениях (6) и (7) $R_{ee},$ $R_{eh}$ – коэффициенты отражения основной и кросс-поляризованной волн в случае горизонтальной поляризации; $T_{ee}, T_{eh}$ – коэффициенты прохождения основной и кросс-поляризованной волн в случае горизонтальной поляризации; $Z_L$ – характеристическое сопротивление во второй области; $R_{hh}, R_{he}$ – комплексные коэффициенты отражения основной и кросс-поляризованной волн в случае вертикальной поляризации; $T_{hh}, T_{he}$ – комплексные коэффициенты прохождения основной и кросс-поляризованной волн в случае вертикальной поляризации. Отметим, что соответствующий выбор величины импеданса $Z_L$ позволяет проводить расчеты для слоя на поверхности металла.

Как видно из соотношений (6) и (7), при решении учтена кросс-поляризация поля, возникающая при падении электромагнитной волны на киральный слой.

Входящие в выражения (4) материальные параметры кирального метаматериала являются нормированными и имеют вид

$\epsilon \left(\xi ,K\right)={\epsilon }_{\text{c}}+\frac{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\epsilon }}{K}_{\text{рез}}^2\left(\xi \right)}{K_{\text{рез}}^2\left(\xi \right)-K^2+i{K}_{\gamma }K};$

$\begin{array}{l}\mathrm{\mu }\left(\xi ,K\right)={\mu }_{\text{c}}+\frac{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\mu }}{K}^2}{K_{\text{рез}}^2\left(\xi \right)-K^2+i{K}_{\gamma }K};\\ \chi \left(\xi ,K\right)=\frac{{\mathrm{\Omega }}_{\chi }{K}_{\text{рез}}\left(\xi \right)K}{K_{\text{рез}}^2\left(\xi \right)-K^2+i{K}_{\gamma }K}.\end{array}$

Здесь $K=\mathrm{\omega }L/c, K_{\gamma }=\gamma L/c, K_{рез}\left(\xi \right)={\text{ω}}_{\text{рез}}\left(\xi \right)L/c$ – нормированные волновые числа.

2. Методика вывода аналитических выражений для коэффициентов отражения

Рассмотрим методику получения аналитических выражений для коэффициентов отражения для случая слоя из неоднородного невзаимного кирального метаматериала. Пусть известны электрофизические параметры кирального слоя с координатными зависимостями относительных диэлектрической и магнитной проницаемостей, а также параметра киральности. Кроме того, из системы граничных условий (6)–(7) можно определить значения нормированных полей в точке $\mathrm{\xi }=\mathrm{0,}$ выраженные через искомые коэффициенты отражения. В этом случае, применяя непосредственную их подстановку в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (5), можно получить значения первых производных нормированных полей в точке $\mathrm{\xi }=0,$ также выраженные через коэффициенты отражения:

${\left.\frac{d{U}_1}{d\xi }\right|}_{\xi =0}=A_1\left(\mathrm{0,}K\right)V_1\left(0\right)+A_2\left(\mathrm{0,}K\right)U_2\left(0\right),$ (7)

${\left.\frac{d{V}_1}{d\xi }\right|}_{\xi =0}=A_3\left(\mathrm{0,}K\right)U_1\left(0\right)+A_4\left(\mathrm{0,}K\right)V_2\left(0\right),$

$\begin{array}{l}{\left.\frac{d{U}_2}{d\xi }\right|}_{\xi =0}=A_5\left(\mathrm{0,}K\right)V_2\left(0\right)+A_6\left(\mathrm{0,}K\right)U_1\left(0\right),\\ {\left.\frac{d{V}_2}{d\xi }\right|}_{\xi =0}=A_7\left(\mathrm{0,}K\right)U_2\left(0\right)+A_8\left(\mathrm{0,}K\right)V_1\left(0\right).\end{array}$

Повторно дифференцируя исходную систему (5) и подставляя в нее уже найденные значения полей и их производных (7), можно определить значения производных сколь угодно высокого порядка в точке $\mathrm{\xi }=\mathrm{0,}$ выраженные через коэффициенты отражения. Предполагается, что нормированные поля их производные вплоть до n-порядка являются непрерывными функциями координаты $\mathrm{\xi }.$ Зная значения функций нормированных напряженностей полей и всех их производных в точке $\mathrm{\xi }=\mathrm{0,}$ представим каждую из них рядом Маклорена:

$U_1\left(\xi \right)=U_1\left(0\right)+\frac{{U^{\text{'}}}_1\left(0\right)}{1!}\xi +\frac{{U^{\text{'}\text{'}}}_1\left(0\right)}{2!}{\xi }^2+\dots +$ (8)

$+\frac{U_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}{\xi }^k+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{U_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}{\xi }^k;$

$\begin{array}{l}{U}_2\left(\xi \right)=U_2\left(0\right)+\frac{{U^{\text{'}}}_2\left(0\right)}{1!}\xi +\frac{{U^{\text{'}\text{'}}}_2\left(0\right)}{2!}{\xi }^2+\dots +\\ +\frac{U_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}{\xi }^k+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{U_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}{\xi }^k;\\ V_1\left(\xi \right)=V_1\left(0\right)+\frac{{V^{\text{'}}}_1\left(0\right)}{1!}\xi +\frac{{V^{\text{'}\text{'}}}_1\left(0\right)}{2!}{\xi }^2+\dots +\\ +\frac{V_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}{\xi }^k+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{V_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}{\xi }^k;\\ V_2\left(\xi \right)=V_2\left(0\right)+\frac{{V^{\text{'}}}_2\left(0\right)}{1!}\xi +\frac{{V^{\text{'}\text{'}}}_2\left(0\right)}{2!}{\xi }^2+\dots +\\ +\frac{V_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}{\xi }^k+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{V_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}{\xi }^k.\end{array}$

При $\mathrm{\xi }=1$ из соотношения (8) следует:

$U_1\left(1\right)=U_1\left(0\right)+\frac{{U^{\text{'}}}_1\left(0\right)}{1!}+\frac{{U^{\text{'}\text{'}}}_1\left(0\right)}{2!}+\dots +$ (9)

$+\frac{U_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{U_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!};$

$\begin{array}{l}{U}_2\left(1\right)=U_2\left(0\right)+\frac{{U^{\text{'}}}_2\left(0\right)}{1!}+\frac{{U^{\text{'}\text{'}}}_2\left(0\right)}{2!}+\dots +\\ +\frac{U_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{U_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!};\\ V_1\left(1\right)=V_1\left(0\right)+\frac{{V^{\text{'}}}_1\left(0\right)}{1!}+\frac{{V^{\text{'}\text{'}}}_1\left(0\right)}{2!}+\dots +\\ +\frac{V_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{V_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!};\\ V_2\left(1\right)=V_2\left(0\right)+\frac{{V^{\text{'}}}_2\left(0\right)}{1!}+\frac{{V^{\text{'}\text{'}}}_2\left(0\right)}{2!}+\dots +\\ +\frac{V_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{V_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}.\end{array}$

Правые части уравнений системы (9) представляют собой линейные функции искомых коэффициентов отражения $R_{ee}, R_{eh}$ и $R_{hh}, R_{he},$ а значения левых частей каждого из уравнений определены из системы граничных условий (6)–(7) соответственно.

Для случая падающей на планарный слой волны горизонтальной поляризации из соотношений (6) и (9) получаем два линейных алгебраических уравнения относительно неизвестных коэффициентов отражения $R_{ee}, R_{eh}\text{:}$

$\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{U_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}}}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{V_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}}}=\frac{Z_L}{Z_0\mathrm{cos\theta }},$ (10)

$\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{U_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}}}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{V_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}}}=-\frac{Z_L\mathrm{cos\theta }}{Z_0}.$

Для случая падающей на планарный слой волны вертикальной поляризации из (7) и (9) получаем два линейных алгебраических уравнения относительно искомых коэффициентов отражения $R_{hh},$ $R_{he}\text{:}$

$\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{U_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}}}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{V_1^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}}}=-\frac{Z_L}{Z_0\mathrm{cos\theta }},$ (11)

$\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{U_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}}}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{V_2^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}}}=-\frac{Z_L\mathrm{cos\theta }}{Z_0}.$

Для вывода приближенных аналитических выражений коэффициентов отражения достаточно взять некоторое конечное число членов слагаемых в суммах слева в соотношениях (10)–(11) и выразить из полученных уравнений искомые коэффициенты отражения.

Заключение

В данной статье был представлен метод приближенного расчета коэффициентов отражения электромагнитной волны от слоя неоднородного невзаимного кирального метаматериала с учетом дисперсии материальных параметров. Показано, что использование предлагаемого аналитического подхода может существенно упростить процесс анализа взаимодействия электромагнитных волн с метаматериалами, обеспечивая при этом требуемую точность результатов. Применение предложенного метода позволяет быстро и эффективно оценивать характеристики отражения волн, что особенно важно в условиях ограниченного времени.

About the authors

Dmitry N. Panin

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: d.panin@psuti.ru
ORCID iD: 0000-0003-0598-8591
SPIN-code: 9999-0844
ResearcherId: AAT-1882-2020

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, head of the Department of Theoretical Foundations of Radio Engineering and Communication

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

Oleg V. Osipov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: o.osipov@psuti.ru
ORCID iD: 0000-0002-2125-9228
SPIN-code: 2741-3794
ResearcherId: B-7134-2018

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, head of the Department of Higher Mathematics

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

Yuliya S. Mamoshina

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: u.mamoshina@psuti.ru

postgraduate student of the Department of Theoretical Foundations of Radio Engineering and Communications

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

References

Supplementary files