Reflection of circularly polarized light from a CdS semiconductor crystal near the exciton resonance taking into account spatial dispersion

Full Text

Введение

Исследование оптических свойств материалов вблизи фононных, экситонных и плазмонных резонансов является актуальной задачей по причине того, что в этом случае в среде возникают коллективные возбуждения – поляритоны или плазмоны, имеющие смешанный электромагнитный и механический характер. Так, вблизи экситонного резонанса в ряде полупроводников необходим учет пространственной дисперсии [1; 4; 5]. Такой учет приводит к возникновению дополнительных волн, одна из которых является продольной волной. Для корректного описания задачи об отражении определяются дополнительные граничные условия (ДГУ) [1]. Для описания ряда метаматериалов требуется построение математическая модели, которая учитывает гетерогенность, киральность и частотную дисперсию среды [8]. Необходимо отметить, что киральность по сути является эффектом пространственной дисперсии. Возбуждение поверхностных плазмонов и поляритонов вблизи фононных и плазмонных резонансов лежит в основе уникального метода диагностики резонансных сред – метода спектроскопии поверхностного плазмонного резонанса [3; 7], в этом случае возникают узкие резонансные линии в спектре отражения, которые несут информацию об исследуемой среде.

Использование поляризованного излучения при оптической диагностике материалов позволяет получать дополнительную информацию о свойствах материала из-за векторного характера электромагнитного поля. Наибольшее распространение получил эллипсометрический метод анализа оптических свойств материалов [2; 6], позволяющий анализировать сразу два эллипсометрических параметра. Еще большую информацию относительно оптических свойств дает использование света круговой поляризации – в этом случае при отражении возникает свет эллиптической поляризации, ориентация которого несет полезную информацию относительно исследуемой среды [9; 10].

Учет пространственной дисперсии при анализе оптических свойств полупроводниковых материалов приводит к возникновению дополнительных волн, одна из которых является продольной волной [1; 4; 5]. Для корректного описания задачи об отражении требуются дополнительные граничные условия (ДГУ) [1]. В настоящей работе приведены результаты расчета эллипсометрических параметров при отражении света круговой поляризации от среды с пространственной дисперсией.

1. Постановка задачи

На границу кристалла CdS вблизи экситонного резонанса падает световая волна с левой круговой поляризацией. Требуется найти частотно-угловые спектры эллипсометрических параметров отраженной волны, а также провести анализ изменения формы эллипса поляризации при изменении частоты и угла падения.

2. Методы решения

Задача решается на основе уравнений Максвелла в среде с пространственной дисперсией.

Диэлектрическая проницаемость кристалла CdS вблизи экситонного резонанса имеет вид [8]:

$\epsilon (\omega ,k)={\epsilon }_0+\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\omega \gamma +\frac{{\omega }^2}{D_0}{p}^2},$ (1)

Здесь ${\omega }_0$ – частота экситонного резонанса; ${\omega }_p$ – плазменная частота; $\omega$ – частота падающего света; ${\epsilon }_0$ – диэлектрическая проницаемость кристалла при $\omega \to \infty ;$ $\gamma$ – параметр затухания; p – показатель преломления; $D_0$ – параметр пространственной дисперсии:

$D_0=\frac{m_e^{*}{c}^2}{\hslash \omega };$

$m_e^{*}$ – эффективная масса экситона; c – скорость света.

В основе анализа распространения электромагнитных волн в среде лежат уравнения Максвелла:

$\text{rot\hspace{0.17em}}\overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\text{\hspace{1em}rot\hspace{0.17em}}\overrightarrow{H}=\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}.$ (2)

Решение этих уравнений ищем в виде нормальных волн:

$\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_0\exp i\left(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}-\omega t\right),\overrightarrow{H}={\overrightarrow{H}}_0\exp i\left(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}-\omega t\right).$ (3)

 

В качестве плоскости падения мы выбираем плоскость XZ. Поэтому y-составляющая волнового вектора для всех возникающих волн будет равна нулю – $k_y=0.$ Задача разбивается на 2 случая – s- и p-поляризацию. В первом случае имеем следующие значения для компонент поля $\overrightarrow{E}\text{:}$$E_y\ne \mathrm{0,}$ $E_x=E_z=0.$  Для p-поляризации –  $E_y=\mathrm{0,}$ $E_x\ne \mathrm{0,}$ $E_z\ne 0.$

Подстановка предполагаемого вида решения (3) в уравнения Максвелла (2) для случая s-поляризации приводит к дисперсионному уравнению:

$k^2=k_0^2\epsilon \left(\omega ,k\right).$ (4)

Здесь $k_0=\omega /c.$

В случае p-поляризации для нахождения дисперсионного уравнения получаем следующее условие:

$\epsilon \left(k_0^2\epsilon -k^2\right)=0.$ (5)

Из (5) вытекает существование трех нормальных волн в среде с пространственной дисперсией для p-поляризации: двух поперечных, дисперсионное уравнение для которых совпадает с уравнением (4), и одной продольной с дисперсионным уравнением

$\epsilon \left(\omega ,k\right)=0.$

Мы рассматриваем случай, когда частота падающего света ω близка к частоте экситона ${\omega }_0.$ В таком случае формулу (1) для диэлектрической проницаемости можно преобразовать к виду

$\epsilon \left(\omega ,k\right)={\epsilon }_0+\frac{B_0}{-2Y_0-i{\Gamma }_0+\frac{1}{D_0}{p}^2}.$

Здесь

$B_0=\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }_0^2},Y_0=\frac{\omega -{\omega }_0}{{\omega }_0},{\Gamma }_0=\frac{\gamma }{{\omega }_0}.$

Показатели преломления для поперечных волн находятся как корни следующего биквадратного уравнения:

$p{}^4-2F_1{p}^2+F_2=0.$ (6)

Для продольной волны получается следующее уравнение:

$p^2=F_3.$ (7)

В формулах (6), (7) введены следующие обозначения:

$F_1=Y_0{D}_0+\frac{{\epsilon }_0}{2}+i\frac{{\Gamma }_0{D}_0}{2},$

$F_2=2Y_0{D}_0{\epsilon }_0-B_0{D}_0+i{\Gamma }_0{D}_0{\epsilon }_0,$

$F_3=\frac{1}{{\epsilon }_0}{F}_2.$

Дополнительное граничное условие мы выбрали в виде следующего условия на поляризацию при z = 0 [1]:

$\overrightarrow{P}+\frac{1}{k_{0}T}\frac{\partial \overrightarrow{P}}{\partial z}=0.$

Для s-поляризации используется только y-составляющая уравнения (8), а для p-поляризации – x и z-составляющие. При учете дополнительного граничного условия (8), а также обычного условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{H},$ задача об отражении решается однозначно.

3. Результаты

Расчет частотно-угловых спектров эллипсометрических параметров проводился для следующих значений параметров, относящихся к полупроводниковому кристаллу CdS:

${\epsilon }_0=\mathrm{8,3,}$ $\hslash {\omega }_0=\mathrm{2,5524}$ eV, $B_0=\mathrm{1,25}\cdot {10}^{-2},$

$D_0=\mathrm{1,8}\cdot {10}^5,$ $T=\mathrm{13,8}-\mathrm{18,3}i.$

Результаты расчетов спектров эллипсометрических параметров приведены ниже на графиках 1–10.

На рис. 1–2 показаны частотные зависимости действительных и мнимых частей величин Ni, которые определяются как относительные значения z-компонент волновых векторов ${\overrightarrow{k}}_i$ нормальных световых волн в среде с пространственной дисперсией:

$\begin{array}{cc}{N}_i=\frac{k_{iz}}{k_0},& i=\mathrm{1,2,3.}\end{array}$

 

Рис. 1. Зависимость действительных частей величин N_i от частоты. Угол падения $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}$

Fig. 1. Dependence of the real parts of the N_i quantities on the frequency. Angle of incidence $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}$

 

Рис. 2. Зависимость мнимых частей величин N_i от частоты. Угол падения $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}$

Fig. 2. Dependence of the imaginary parts of the N_i quantities on the frequency. Angle of incidence $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}$

 

Рис. 3. Зависимость эллипсометрического параметра ñ от угла падения g для различных значений частоты: $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5544}$ eV, $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{55455}$ eV, $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5545}$ eV

Fig. 3. Dependence of the ellipsometric parameter ñ on the angle of incidence g for different frequency values: $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5544}$ eV, $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{55455}$ eV, $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5545}$ eV

 

Рис. 4. Зависимость эллипсометрического параметра $\mathit{\Delta }$ от угла падения g для различных значений частоты: $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5544}$ eV, $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5545}$eV, $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{55455}$ eV

Fig. 4. Dependence of the ellipsometric parameter $\mathit{\Delta }$ on the angle of incidence g for different frequency values: $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5544}$ eV, $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5545}$ eV, $\mathit{\hslash }{\mathit{\omega }}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{55455}$ eV

 

Рис. 5. Зависимость эллипсометрического параметра $\mathit{\Delta }$ от частоты при различных углах падения $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}\mathbf{,}$ 50°, 60°, 70°, 75°

Fig. 5. Dependence of the ellipsometric parameter $\mathit{\Delta }$ on the frequency at different angles of incidence $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}\mathbf{,}$ 50°, 60°, 70°, 75°

 

Рис. 6. Зависимость эллипсометрического параметра $\mathit{\rho }$ от частоты при различных углах падения $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}\mathbf{,}$ 50°, 60°, 70°, 75°

Fig. 6. Dependence of the ellipsometric parameter $\mathit{\rho }$ on the frequency at different angles of incidence $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}\mathbf{,}$ 50°, 60°, 70°, 75°

 

Из этих рисунков видно, что после значения частоты $\hslash {\omega }_0=\mathrm{2,5524}$ eV в среде распространяются сразу три волны, в то время как до этой частоты – только одна первая поперечная волна, две другие, включая продольную, здесь имеют большие мнимые части Im(N_i) и поэтому не распространяются.

4. Обсуждение результатов

Из рис. 3 видно, что угловые зависимости эллипсометрического параметра ñ при различных частотах значительно отличаются друг от друга, в то время как частотные зависимости испытывают наибольшие изменения в диапазоне частот $\hslash \omega$ = 2,554–2,555 eV (см. рис. 6).

Следует обратить особое внимание на сильную изменчивость второго эллипсометрического параметра $\Delta$ (рис. 3) как от угла падения, так и от частоты (рис. 5). Это приводит к тому, что отраженный эллипс поляризации может значительно менять свою конфигурацию в зависимости от частоты и угла падения. Это продемонстрировано на рис. 7–10. Первоначально на среду падала световая волна круговой поляризации.

 

Рис. 7. Круговая левая поляризация падающей волны

Fig. 7. Circular left polarization of the incident wave

 

Рис. 8. Левая эллиптическая поляризация отраженной волны: $\mathit{\hslash }\mathit{\omega }\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{554}$ eV, $\mathit{\rho }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{844}\mathbf{,}$ $\mathit{\Delta }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{354}\mathbf{,}$ $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}$

Fig. 8. Left elliptical polarization of the reflected wave: $\mathit{\hslash }\mathit{\omega }\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{554}$ eV, $\mathit{\rho }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{844}\mathbf{,}$ $\mathit{\Delta }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{354}\mathbf{,}$ $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{45}\mathbf{°}$

 

Рис. 9. Правая эллиптическая поляризация отраженной волны: $\mathit{\hslash }\mathit{\omega }\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{554}$ eV, $\mathit{\rho }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{857}\mathbf{,}$ $\mathit{\Delta }\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{329}\mathbf{,}$ $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{60}\mathbf{°}$

Fig. 9. Right elliptical polarization of the reflected wave: $\mathit{\hslash }\mathit{\omega }\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{554}$ eV, $\mathit{\rho }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{857}\mathbf{,}$ $\mathit{\Delta }\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{329}\mathbf{,}$ $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{60}\mathbf{°}$

 

Рис. 10. Правая эллиптическая поляризация отраженной волны: $\mathit{\hslash }\mathit{\omega }\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5545}$ eV, $\mathit{\rho }\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{173}\mathbf{,}$ $\mathit{\Delta }\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{653}\mathbf{,}$ $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{75}\mathbf{°}$

Fig. 10. Right elliptical polarization of the reflected wave: $\mathit{\hslash }\mathit{\omega }\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5545}$ eV, $\mathit{\rho }\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{173}\mathbf{,}$ $\mathit{\Delta }\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{653}\mathbf{,}$ $\mathit{g}\mathbf{=}\mathbf{75}\mathbf{°}$ 

 

Из приведенных рисунков видно, что характер эллипса поляризации существенно зависит от частоты падающего излучения и от угла падения.

Заключение

В работе приводятся результаты расчетов частотных и угловых спектров эллипсометрических параметров отраженного света для полупроводникового кристалла CdS вблизи экситонного резонанса с учетом пространственной дисперсии. Показано, что эллипсометрические параметры обладают высокой чувствительностью к характеристикам среды с пространственной дисперсией и могут служить для интерпретации экспериментальных данных.

About the authors

Valeriy V. Yatsyshen

Volgograd State University

Author for correspondence.
Email: yatsyshen.valeriy@volsu.ru
ORCID iD: 0000-0003-4185-2333
SPIN-code: 9693-4494
Scopus Author ID: 8442731600
ResearcherId: AAZ-6993-2021

Doctor of Technical Sciences, professor of the Department of Forensic Science and Physical Materials Science

Russian Federation, 100, University Avenue, Volgograd, 400062

Irina I. Borodina

Volgograd State University

Email: ipotapova28@mail.ru
ORCID iD: 0009-0008-4207-0660

postgraduate student of the Department of Forensic Science and Physical Materials Science

Russian Federation, 100, University Avenue, Volgograd, 400062

References

Supplementary files